Неканоническая модель стационарного случайного сигнала(по Чернецкому)

M[X(t)]=M[XM(t)] (1.163)

80

D^t^D^t)] (1.164)

Rx( т т) (1.165)

Модель стационарного случайного процесса можно предположить в следующем виде:

X(t)=mx+b1sin(wt)+b2cos(wt), (1.166)

где b1, b2, w - центрированные, независимые случайные величины.

X(t) = mx + л/ b2 + b2*sin(wt + arctg(b1b2)).

То есть, случайный процесс представляет аддитивную смесь постоянной составляющей и суммы гармоник со случайными амплитудами, частотами и фазами.

В данной модели компактность достигается за счет того, что частота носит случайный характер. В этом и заключается ее основное отличие от канонической модели Пугачева.

Для центрированного случайного сигнала модель имеет вид

о

X(t) = b1sin(wt)+ b2cos(wt) .

Найдем дисперсию модели

о 2

D м = M [X м (t)];

о 2

X м (t) = b2sin2(wt) + 2b1b2sin(wt)cos(wt) + b2cos2(wt) = = b2sm2(wt) + b1b2sin(2wt) + b2cos2(wt) = bfsm2(wt)+ b1b2sin(2wt) + + b2 - b2sin2(wt) = (b2 - b2)sin2(wt) + b2 + b1 b2sin(2wt)

В соответствии с этой формулой находим дисперсию:

DM = M[(b?- b2)]*M[sn2(wt)]+ M[b2] + M[b,]M[b2]M[sm(2wt)] = = {M[b22]- M[b2]}*M[sn2(wt)]+ M[b2] + 0,

т. к. b1 и b2 центрированы.

Должно выполняться условие: DH=Dx, то есть

{M[b?]- M[b2]}*M[sin2(wt)]+ M[b2] = Dx

Левая часть не должна зависеть от времени. Это выполняется,

2 2 2 когдаM [bf] = M [b2] , тогда M[b2] = Dx , таким образом

M[b?] = M[b2] = Dx (1.167)

То есть, случайные величины, входящие в модель Чарнецкого, могут быть любыми, но непременно центрированными и с равными

дисперсиями, которые, в свою очередь, должны быть равны дисперсии моделируемого сигнала .

Напомним еще об одном требовании, которому должна удовлетворять модель - равенстве корреляционных функций исследуемого сигнала и модели: Rx( т)= R м (т)

о о о

Rм(т) = м [Xм(t)Xм(t — т)]; Xм(t) = b1 sin(wt) + b2 cos(wt);

о

Xм(t — т) = b1 sin(w(t — т)) + b2 cos(w(t — т));

Хм (t)X^ (t — т) = b2 sin(wt) sin(w(t — т)) + b1b2 sin(wt) cos(w(t — т)) + + b1b2 cos(wt)sin(w(t — т)) + b2 cos(wt)cos(w(t — т))

Rм(т) = M[b2]M[sin(wt) sin(w(t — т))] + + M[b1]M [b2]M [sin(wt) cos(w(t — т))] + + M[b1]M [b2]M [cos(wt) si n(w(t — т))] +

+ M[b2]M[cos(wt) cos(w(t — т))]

Но так как b1 и b2 являются центрированными случайными величинами, то их математические ожидания равны нулю, и тогда

R м (т) = M[b?]M[sin(wt)sin(w(t — т))] +

M[b2]M [cos(wt) cos(w(t — т))] = (1 168)

= DxM[si n(wt) si n(w(t — т))] + + DxM [cos( wt) cos(w(t — т))] = DxM [cos( wт)]

Следует отметить, что данные функции корреляции удовлетворяют условию стационарности (не зависят от времени, но лишь от временного сдвига между сечениями процесса) и имеет

одинаковую с исследуемым сигналом дисперсию.

Rx( т) = DxM[cos(wт)]

Зададимся теперь вопросом, как правильно выбрать значение частоты w?

Параметры же b1 и b2 выбираются из условия равенства дисперсий оцениваемого сигнала и модели.

Для этого разделим левую и правую части выражения для АКФ на Dx.

px( т) = M[cos(wi)]

Пусть f(w) - плотность вероятности распределения случайной величины w, тогда

ж

M[cos(wx)] = J f(w)cos(wx)dw

—ж

Но нормированная АКФ равна

ж

рх( т) = Jf(w)cos(wT)dw

—ж

Из этого интегрального уравнения можно найти плотность распределения f(w) случайной величины w .

Однако, памятуя о том, что нормированная спектральная плотность стационарного случайного процесса и его нормированная АКФ связаны друг с другом парой преобразований Фурье:

ж

SH (w) = 2П Jpx(т)coS(wT)dT

—ж

Rx( т) = DxM [cos(wT)]

Корреляционная функция не зависит от выбора параметров b1 и b2, но лишь от случайной частоты w. Напрашивается вывод о том, что плотность распределения случайной величины w численно должна быть равна

f(w) = S (w) (1.169)

83

То есть, случайные величины b1, b2 и w, входящие в модель Чернецкого, должны представлять собой центрированные и независимые случайные величины.

Плотность распределения случайной величины w должна быть при этом равна нормированной спектральной плотности моделируемого сигнала.