Корреляционное отношение

1. Оценивание и свойства корреляционного отношения

Как отмечалось в п. 4.2.1.1, при отклонении парной статистической зависимости от линейной коэффициент корреляции теряет свой смысл как характеристика степени тесноты связи.

Корреляционное отношение применимо в тех случаях, когда:

• между парой исследуемых признаков отмечается нелинейная зависимость;
• характер выборочных данных (количество, плотность расположения на диаграмме рассеяния) допускает, во-первых, их группирование по оси предикторной переменной, во-вторых, возможность подсчета «частных» математических ожиданий внутри каждого интервала группирования.

Приведем последовательность методики вычисления корреляционного отношения.

Пусть имеет место выборка из двумерной генеральной совокупности              i              =              \,n,              а              между              X              и              Y              существует              нелинейная

зависимость (см. рис. 23) и компоненты X и Y имеют совместно нормальное распределение.

О              10              20              30              40              50              60              X

Рис. 23. Нелинейная зависимость между компонентами Хн Y двумерного признака

1. Разобьем диаграмму рассеяния по предикторной переменной X на L непересекающихся интервалов группирования, которые могут иметь разную длину.
2. Найдем «частные» математические ожидания отклика Y в каждой из L выделенных групп

Л, •!gt;lt;/’              '              (73)

nj к=\

где j = \,L, ? = 1,И-, «у - количество элементов выборки в j-м интервале группирования.

3. Найдем математическое ожидание по группированному отклику, используя «частные» тУ/,

(74)

4. Получим групповую дисперсию выходной переменной Y

и дисперсию, найденную по негруппированному отклику

. 1 я

(75)

(76)

5. Корреляционное отношение зависимой переменной Y по независимой (предикторной) переменной X может быть получено из отношения

(77)

2              _              «‘у              -2              _              У

РГ Х ~ -2 ’ УУ-Х ~ _

Свойства корреляционного отношения. Корреляционное отношение не обладает свойством симметрии, т. е. рух ф рх.у . Кроме того, Ру.х неотрицательно, поскольку предполагается, что оно является результатом извлечения корня квадратного из ру.х. Корреляционное отношение ру.х lt; 1.

Из Ру.х = 1 следует, что между Y и X существует однозначная функциональная зависимость. Обратное утверждение в общем случае неверно.

Отсутствие корреляционной связи между Y и X означает, что условные средние ту. сохраняют от группы к группе постоянное

значение, равное общему среднему тг, поэтому ру.х = 0.

Необходимо также отметить, что между ру.х и рХ У нет какой- либо определенной зависимости. Некоррелированность Y от X не означает некоррелированности X от Y.

И, наконец, исследования показали, что ру.х gt; \гух\. Условие равенства выполняется в случае линейной зависимости Хи Y.

Все замечания относительно смысловой интерпретации ру,х аналогичны интерпретации значений г,\,у.

^80 Пример 36. Для данных примера 33 получить оценку корреляционного отношения для пары компонентов, между которыми можно предположить наличие нелинейной связи. Из диаграммы рассеяния (рис. 22) такую связь можно предположить в парах признаков (U, 7) и (У, U). Получим оценки корреляционных отношений р7,и и pv.z . Для этого сформируем группы по предикторной переменной, считая ею вначале переменную U (случай А), а затем переменную Z (случай Б), и получим соответственно оценки р7 и и pf/ z . Результаты группирования приведены на рис. 24.

Случай А. Предикторная переменная - U, отклик - Z.

Рис. 24. Результаты группирования точек диаграммы рассеяния для пары признаков (U. 7)

Значения z(, в зависимости от группы j = 1, 4 , а также оценки групповых математических ожиданий т7 приведены в табл. 8.

Таблица 8

Значения г,- дляУ-групп и тг (предикторная переменная U)

Оценки т7 =49,11, 6Z =356,43. Вычислим с2, из выраже ния(75)

Следовательно, согласно (77) 320,89

Pzu -

— 0,9, Pz u ~~ 0*95.

356,43

Случай Б. Предикторная переменная Z, отклик U. По этой переменной элементы отклика разбиваются также на 4 группы.

Значения Ut, в зависимости от группы j = 1,4, а также оценки

ти приведены в табл. 9.

Таблица 9

Значения Uj дляу-групп и rhv. (предикторная переменная Z)

Оценки щ =49,39, б2 =368,24. Вычислим б2-,(; из выражения (75)

о

Л =324 21

Следовательно, согласно (77)

324 21

р2 =              1—              = 0,88, р(/ z = 0,94.

uz 368,24              ииг

Полученные оценки свидетельствуют о наличии сильного нелинейного влияния U на Z и Z на U.