Исчерпывающее описание случайных процессов

Сигнал (процесс) превращается в систему бесконечного числа случайных величин {X(t1), X(t2), . . . X(tN)}.

Исчерпывающей характеристикой системы случайных величин является совместный закон распределения, заданный в той или иной форме, например, в дифференциальной: f{X(t1), X(t2), . . . X(tN)}. Таким образом, для случайного процесса исчерпывающей характеристикой является бесконечномерная плотность распределения сечений. Для удобства в дальнейшем станем записывать ее в следующей форме:

f(Xb ^ ^ ^ . . . XN tN. . . ).

И теперь вернемся к определению стационарности или не стационарности сигнала и зададим его несколько строже, нежели это было выполнено ранее.

В зависимости от поведения плотности распределения при прибавлении к каждому временному аргументу одной и той же величины, различают нестационарные процессы, слабо стационарные и стационарные в узком смысле.

Если при прибавлении к каждому временному аргументу одной и величины бесконечномерная плотность вероятности не изменяется, то сигнал (процесс) называется стационарным в узком смысле (см. определение выше), а в противном случае процесс таковым не является (т. е. это - либо процесс, стационарный лишь в широком смысле, либо вовсе нестационарный процесс).

То есть условие стационарности (в узком смысле) может быть записано следующим образом:

f(X1,t1+u;X2,t2+u;...Xm,tm+u;...)=f(X1,t1;X2,t2;...Xm,tm;...) (1.62)

Выберем t1+u=0, тогда u=-t1: выражение для плотности приобретает вид:

42

f(X1,0;X2,t2-t1 ;...Xm,tm-t1;...)

для двумерной плотности распределения соблюдается соотношение

f(X1,0;X2,t2-t1)= f(X1,t1;X2,t2) (1.63)

то есть плотность вероятности зависит не от времени, а от временного сдвига между сечениями, а одномерная плотность распределения вообще не зависит от какого-либо временного аргумента:

f(X1,t1)= f(X1,0) (1.64)

Вместо плотностей вероятностей для описания случайных процессов можно использовать и характеристические функции, представляющие собой преобразования Фурье от соответствующих плотностей распределения. Так, например, N - мерная характеристическая функция определяется соотношением:

9n(u1,u2,..,un;t1,t2,..,tn) =

да да да

j j..

—да —да —да

= M[exp(ju1x1 + ju2x2+. ..+junxn)]

Отметим, что для независимых случайных величин характеристическая функция системы равна произведению характеристических функций величин, составляющих систему.

Иногда вместо плотностей вероятностей используют интегральные законы распределения - функции распределения. Одномерная функция распределения определяет относительную долю значений xi(t), i=1, 2, 3, . . . , которые меньше некоторой величины Х^

X1

F1(X1,t1)= j f(u,t1)du (1.66)

— да

Очевидно, что для значений Х1, в которых функция F(x1,t1) дифференцируема, справедливо равенство

f(Xbt1>

(1.67)

д F (X 1, 11) д x1

Двумерная функция распределения определяется соотношением

X1 X 2

(1.68)

F1(X1,t1,X2,t2)= J J f(ubt1, u2,t2)du1du2

— да — да

откуда следует, что

f(X1,t1 X2,t2)= d2F(X1,t1>X 2,t2) (1.69)

3x1dx2

где функция, приведенная в выражении, есть N - мерная функция распределения.