Степенной ряд.

Опр. Степенным наз. функциональный ряд вида

= a₀ + a₁(x – x₀) + a₂(x – x₀)² + .

где х₀ и коэффициенты ряда а_n Î R . При х₀ = 0 получаем ряд по степеням х

= a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + . . . ( 6 )

Теорема Абеля Если степенной ряд ( 6 ) сходится при х = х₁, то он абсолютно сходится при всех значениях х меньших х₁ по модулю ( |x| < |x₁| ). Если ряд ( 6 ) расходится при х = х₂ , то он расходится при всех значениях х больших х₂ по модулю ( |x| > |x₂| ).

Док-во. Пусть при х = х₁ ряд ( 6 ) сходится, т.е. и все его члены ограничены a_nxⁿ < M. Преобразуем ( 6 ) к виду ( 7 )

Введем в ряд ( 7 ) модули ( 8 )

и сравним его с рядом ( 9 )

Большими оказываются члены ряда ( 9 ) : |a_n x₁ⁿ| (|x/x₁|)ⁿ < M (|x/x₁|)ⁿ , который является геометрической прогрессией. При |x| < |x₁| ряд ( 9 ) сходится, следовательно, сходится и ряд с меньшими членами ( 8 ) и абсолютно сходятся ряды ( 7 ) и ( 6 ).

Пусть при х = х₂ ряд ( 6 ) расходится. Предположим, что существует х большее х₂ по модулю (|x| > |x₂|), при котором ряд ( 6 ) сходится. Но тогда он должен сходится и при x₂. Это противоречие исключает предположение о сходимости ряда при |x| > |x₂| .