Радиус сходимости.
Из теоремы Абеля следует, что должно существовать такое граничное значение x =R ниже которого ряд ( 6 ) сходится, а выше расходится. Величина R наз. радиусом сходимости, а интервал (-R, R) наз.
интервалом сходимости степенного ряда ( 6 ).Для определения значения радиуса сходимости введем модули для всех членов ряда ( 6 ) и исследуем его сходимость по признаку Даламбера
lim (un+1 / un) = lim |an+1 xn+1/ anxn| = |x| lim |an+1 /an| £ 1 при n® ¥
Отсюда получаем R = 
( 10 )
При |x| < R ряд сходится, а при |x| > R расходится.
Пр. 
. Найти радиус и интервал сходимости.
R = lim |an /an+1 | = lim 3(n+2)/(n+1) = 3 при n® ¥ . Исследуем границы интервала.
При х = 3 имеем 
1/n - гармонический ряд. Он расходится.
При х = -3 имеем (-1)n /n - знакочередующийся ряд. По признаку Лейбница:
1) lim 1/n = 0 n® ¥ - да ; 2) un = 1/n > un+1 = 1/(n+1) - да. Ряд сходится. Ответ [-3, 3).
Степенной ряд ( 5 ) сводится к ряду ( 6 ) заменой переменных x – x0 = t . Если ряд с переменной t абсолютно сходится для |x – x0| < R, то интервал сходимости для ряда ( 5 ) принимает вид (x0 – R, x0 + R).