<<
>>

Радиус сходимости.

Из теоремы Абеля следует, что должно существовать такое граничное значение x =R ниже которого ряд ( 6 ) сходится, а выше расходится. Величина R наз. радиусом сходимости, а интервал (-R, R) наз. интервалом сходимости степенного ряда ( 6 ).

Для определения значения радиуса сходимости введем модули для всех членов ряда ( 6 ) и исследуем его сходимость по признаку Даламбера

lim (un+1 / un) = lim |an+1 xn+1/ anxn| = |x| lim |an+1 /an| £ 1 при n® ¥

Отсюда получаем R = ( 10 )

При |x| < R ряд сходится, а при |x| > R расходится.

Пр. . Найти радиус и интервал сходимости.

R = lim |an /an+1 | = lim 3(n+2)/(n+1) = 3 при n® ¥ . Исследуем границы интервала.

При х = 3 имеем 1/n - гармонический ряд. Он расходится.

При х = -3 имеем (-1)n /n - знакочередующийся ряд. По признаку Лейбница:

1) lim 1/n = 0 n® ¥ - да ; 2) un = 1/n > un+1 = 1/(n+1) - да. Ряд сходится. Ответ [-3, 3).

Степенной ряд ( 5 ) сводится к ряду ( 6 ) заменой переменных x – x0 = t . Если ряд с переменной t абсолютно сходится для |x – x0| < R, то интервал сходимости для ряда ( 5 ) принимает вид (x0 – R, x0 + R).

<< | >>
Источник: Опорные конспекты лекций. Ряды.. 2017

Скачать готовые ответы к экзамену, шпаргалки и другие учебные материалы в формате Word Вы можете в основной библиотеке Sci.House

Воспользуйтесь формой поиска

Радиус сходимости.

релевантные научные источники: