2.12. Нестационарная космологическая модель Эйнштейна-Фридмана (без космологической постоянной)
k(c/R)2 + (R/R)2 + 2(R/R) = - 8-TTGP/C2 k (c/R) 2 + (R/R)2 = 8- ж- G-p /3,
где G - постоянная в законе всемирного тяготения Ньютона, с - скорость света, р - плотность, Р - давление, к = О, 1 или -1 в зависимости от знака кривизны. Здесь символы R и R обозначают первую и вторую производную R по времени соответственно. Заметим, что если эти производные обратить в ноль, то мы получим в точности уравнение Эйштейна для стационарной модели.
Скалярное давление, которое содержится в правой части первого уравнения, может быть обусловлено скоростями частиц, т.е. связано с их кинетической энергией, так что для
2. Время и теория относительности
29
покоящейся материи такое (динамическое) давление равно нулю. Как уже было сказано, первоначально Эйнштейн пытался использовать отрицательное давление, не связанное с движением материи, чтобы получить не зависящее от времени решение. Это был вынужденный шаг с его стороны, поэтому позже он отказался от этой идеи в пользу нестационарного решения, предложенного Фридманом (в этой модели присутствие Л уже необязательно).
Хорошо известны три класса таких решений (найденных при условии постоянства энергии Вселенной), выбор между которыми зависит от соотношения между реальной (р) и "критической" (pd) величиной средней плотности материи во Вселенной в настоящую эпоху:
при р > ро радиус кривизны сначала растет со временем, а затем убывает, кривизна положительна;
при ро > р > 0 радиус кривизны неограничено возрастает со временем, кривизна отрицательна;
при р = ро Вселенная имеет плоскую метрику, кривизна отсутствует.
Здесь под критической плотностью подразумевается величина
p0=3H2/(8-7tG)
где Н - параметр ("постоянная") Хаббла.
Отметим, что в случае р = ро параметр Хаббла оказывается обратно пропорциональной возрасту Вселенной.На рис. 2.11. приведены графики возможной эволюции Вселенной (заимствованные из книги [Эйнштейн, 1953]) в зависимости от соотношения между р и ро.
/У / < Предельный случай для р = О
R Ro
R А
а) р> ро
б) р<р0
Рисунок 2.11. Типы эволюции Вселенной (при Л = 0)
Завершу краткое изложение первоначальной космологической модели Эйнштейна-Фридмана, подчеркнув принципиальное обстоятельство: и давление, и плотность материи вводятся в уравнения "внешним" образом. Эти параметры в правой части уравнений определяют неизвестные параметры в левой части, так что решение уравнений сводится к поиску формальных зависимостей неизвестных геометрических величин от заданных физических величин. В эти зависимости в качестве аргумента включают и время, предварительно постулировав априорное наличие этой физической сущности.