ПРИЛОЖЕНИЕ ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ТЕОРИИ ПРОИЗВОДСТВА

Теория производства, изложенная в этой главе, может быть представлена графически. В табл. 26-2 приведен числовой пример простой функции производства, характеризующей отношение между затратами двух факторов производства (труда и капитала) и выпуском продукции.

На вертикальной оси нанесены данные, характеризующие величину используемого капитала, от 1 единицы и до б единиц. На горизонтальной оси указывается количество применяемого труда, от· 1 единицы до 6 единиц. Размеры выпуска продукции при использовании определенного сочетания между капиталом и трудом показаны внутри квадрата на месте пересечения соответствующих строки и колонки.

Если вы хотите точно определить выпуск продукции при наличии 5 единиц капитала и 2 единиц труда, вы отсчитываете по вертикальной оси 5 единиц капитала, а затем по горизонтально^ — 2 единицы труда. Ответ можно видеть на пересечении соответст

бочего составляет 48 единиц, или 448 единиц минус 400 единиц.

Под «физическим объемом предельного продукта капитала» мы понимаем, разумеется, дополнительный продукт, полученный в результате использования добавочной единицы капитала; при этом количество применяемого труда остается неизменным. Для определения физического объема предельного продукта капитала необходимо сравнить между собой смежные цифры в данной графе. Так, если имеются 2 единицы капитала и 4 единицы труда, то физический объем предельного продукта капитала составляет 90 единиц, или 490 единиц минус 400 единиц. Читатель должен уметь определять физический объем предельного продукта труда или капитала для любой точки, нанесенной на таблице.

Определив то, что мы называем физическим объемом предельного продукта, производимого с помощью данного фактора производства, мы теперь можем сформулировать закон убывающей доходности по-новому.

Если мы расширяем использование одного какого-либо фактора производства и сохраняем при этом неизменными затраты всех остальных факторов, то физический объем предельного продукта, производимого с помощью переменных затрат указанного фактора, станет, по крайней мере начиная с какой-то определенной стадии, убывать.

Это положение можно иллюстрировать следующим примером. Предположите в табл. 26-2 величину капитала неизменной, рассматривая тем самым лишь те данные, которые относятся к одной и той же строке, — допустим, например, что размеры капитала составляют 2 единицы. Теперь давайте увеличим количество используемого труда с 1 до 2 единиц, с 2 до 3 единиц и так далее. Как будут изменяться размеры выпускаемой продукции на каждой из этих стадий?

Поскольку количество труда возрастает с 1 до 2 единиц, продукт увеличивается с 200 до 282 единиц, или на 82 единицы. Но последующее добавление еще 1 единицы труда прибавит только 64 единицы, или 346-282. Началось постепенное убывание доходности. Дальнейшее прибавление к используемому количеству труда по единице будет обеспечивать нам соответственно только 54 единицы, 48 единиц и, наконец, только 42 единицы дополнительной продукции. Читатель может рассмотреть какую-нибудь другую строку и проверить, что закон убывающей доходности сохраняет силу и в этом случае. Он может также проверить следующее обстоятельство; этот же закон остается верным и в том случае, когда количество труда не изменяется, а размеры капитала последовательно увеличиваются. (Проверьте вдоль любой колонки изменения в размерах выпускаемой продукции.)

В этой связи уместно напомнить о приводившейся выше трактовке закона убывающей доходности. В главе 2 убывающая доходность связывалась со следующим фактом; когда один из факторов производства используется в неизменном масштабе, его затраты сокращаются по отношению к увеличивающимся затратам другого фактора. Каждая новая единица пере ^{[322] [323] менного фактора производства может взаимодействовать лишь с относительно уменьшающимися затратами постоянного фактора, поэтому естественно ожидать, что и размеры дополнительного продукта должны начать сокращаться.}

Бели такое рассуждение справедливо для всех случаев, то при увеличении затрат обоих факторов производства в соответствующих пропорциях не должно происходить никакого убывания доходности. Если количество применяемого труда возрастает с 1 до 2 единиц и размеры используемого капитала соответственно увеличиваются с 1 до 2 единиц, то мы должны получить такое же увеличение размеров выпускаемой продукции, как и в случае одновременного увеличения затрат обоих факторов производства с 2 до 3 единиц. Это можно проверить по табл. 26-2 ¹. В первом случае выпуск продукции увеличивается с 141 до 282, а во втором случае размеры продукции возрастают с 282 до 423, что составляет расширение производства опять-таки на 141 единицу.

Кроме того, подобная трактовка закона убывающей доходности, сводящаяся к изменению в пропорциях между затратами отдельных факторов производства, должна привести нас к следующему предположению. Если увеличить размеры капитала, то это приведет к увеличению физического объема предельного продукта труда. Это опять-таки можно проверить по нашей таблице; при использовании 2 единиц капитала 5-я единица труда произведет 48 единиц продукта, а при наличии 3 единиц капитала 5-я единица труда увеличит выпуск продукции на 58 единиц.

Сочетание факторов производства, обеспечивающее наименьшие издержки при данных масштабах производства

Числовые значения функции производства показывают, что инженер не может дать однозначный ответ на вопрос о том, как следует изготовлять данное количество продукции. Существует не один, а несколько способов убить кота. Точно так же и произвести любое заранее заданное количество продукции можно несколькими способами. Так, данные, приведенные в табл. 26-2, свидетельствуют о том, что 346 единиц продукции могут быть произведены любым из способов, указанных в табл. 26-3.

Что касается инженера, то, с его точки зрения, каждая из этих комбинаций затрат различных факторов производства одинаково хороша при изготовлении 346 единиц продукции.

Предположим, что цена единицы труда составляет 2 долл., а цена единицы капитала — 3 долл.

Рис. 128. Кривая равного продукта. Все точки на. кривой равного продукта представляют различные сочетания капитала и труда, которые могут быть использованы для выпуска одного и того же объема, продукции — в 346 единиц

Тогда сумма затрат на труд и капитал в случае А будет составлять 20 долл. (1x2 долл. + 6x3 долл.), а в случаях В, C и D будет составлять соответственно 13, 12 и 15 долл. При таких заранее заданных ценах не может возникнуть никаких вопросов: способ C является наилучшим способом для производства данного количества продукции!

Как отыскать с помощью графических методов точку наименьших издержек? Во-первых, при изготовлении одного и того же объема продукции факторы производства могут замещать друг друга:

Таблица 26-3

Различные сочетания факторов производства при выпуске одного и того же количества продукции. При производстве одного и того же количества продукции (346 единиц) большее количество труда может быть замещено меньшим количеством капитала. Исчислите общую сумму издержек на заработную плату плюс расходы на приобретение капитала при предположении, что цена труда Pi = 2 долл., а цена капитала P_c f 3 долл. На основе этих расчетов покажите, что при различных сочетаниях указанных факторов производства наименьшие издержки достигаются в точке С. Покажите, что понижение затрат на капитал P_c до 1 долл, за единицу вызывает необходимость замещения труда капиталом, в результате чего вы передвигаетесь вдоль кривой от точки C к точке В.

Если цены на каждый из факторов производства изменяются, то пропорции между ними, определяющие условия равновесия, всегда будут изменяться таким образом, чтобы использовать в меньшей степени тот фактор производства, у которого цена повысилась наиболее значительно в сравнении с ценами остальных факторов. Это в точности соответствует эффекту замещения, описанному в главе 21. Так, например, если цена на труд остается на уровне 2 долл, за единицу, а цена на капитал снижается до 1 долл, за единиіцг, то новым оптимальным сочетанием явится способ В, при котором используется большее количество капитала и меньшее количество труда, а общая сумма издержек в этом случае составляет только 7 долл. Читателю следовало бы проверить это, подсчитав новые суммы издержек производства по всем другим сочетаниям, и убедиться в том, что все остальные методы производства обходятся дороже. (Рассчитайте и впишите в табл. 26-3 пропущенные данные об издержках производства.)

Точно такие же расчеты можно проделать по любым другим видам продукции; если цены на все факторы производства известны, то мы можем экспериментировать до тех пор, пока не найдем такое сочетание между различными факторами производства, при котором достигаются наименьшие издержки. (Для того чтобы закрепить ваши знания в данной области, решите вопрос об оптимальном сочетании факторов производства, обеспечивающем наименьшие издержки, когда цена на единицу труда составляет 2 долл, и цена единицы капитала — 3 долл.)

Кривые равного выпуска продукции и равных издержек. Графическое решение вопроса о наименьших издержках

Те повседневные арифметические расчеты, с помощью которых подбирается сочетание факторов, обеспечивающее для фирмы наименьшие издержки производства, можно сделать еще более наглядными, если использовать графики. Исходя из приведенных в таблице значений функции производства, мы можем графически изобразить различные сочетания факторов производства, которые обеспечат выпуск данного количества продукции. Рис. 128 представляет точное воспроизведение данных, приведенных в табл.

Если даны цены на труд и капитал, фирма может рассчитать общую сумму издержек производства для точек A₁ В, C и D или для любой другой

Во-вторых, различные сочетания факторов производства при одном и том же количестве выпускаемой продукции также могут быть изображены графически:

точки, находящейся на кривой равного продукта. Очевидно, что эти расчеты покажут максимум прибыли для фирмы только в том случае, когда на кривой равного продукта будет обнаружена точка оптимального сочетания факторов, при которой обеспечиваются наименьшие издержки производства.

Фирма может попытаться избавить себя от утомительных арифметических расчетов, используя более простой, чисто графический прием: один раз рассчитать и нанести на график общую сумму издержек производства для каждого возможного сочетания между собою факторов — капитала и труда. Это ' проделано при составлении графика на рис. 129, где семейство параллельных отрезков прямых линий представляет все возможные кривые равных издержек при цене труда в 2 долл, за единицу и цене капитала в 3 долл, за единицу (см.рис. 129).

Чтобы найти общую сумму издержек производства для любой точки, мы должны просто прочесть число, обозначающее проходящую через эту точку линию равных издержек. Все линии равных издержек изображены прямыми и параллельными, так как предполагается, что фирма может купить по постоянным ценам любое количество тех факторов производства, которые она пожелает приобрести. Угол наклона этих линий к оси абсцисс составляет несколько менее 45, так как цена единицы труда, Pt, несколько ниже цены единицы капитала, P_c. Точнее говоря, мы всегда • можем утверждать, что числовое значение угла наклона каждой линии равных издержек по отношению к оси абсцисс должно равняться отношению цены единицы труда к цене единицы капитала^[324], то есть в данном случае должно составлять Уз.

I* Теперь нетрудно обнаружить условия оптималь

ні ного сочетания затрат различных факторов производ- !’ ства, — условия равновесия, при котором общая I сумма издержек фирмы на производство данного ко- ■■ личества продукции сводится к минимуму. На семей- u ство линий равных издержек налагается одна кривая равного продукта. Это показано на рис. 130. Фирма / всегда будет подбирать сумму издержек производства, " двигаясь вдоль сильно вогнутой кривой на рис. 130, S;, до тех пор, пока эта кривая не пересечет линию E- наиболее низких издержек производства. Равновесие поэтому будет достигаться не в точках А, В и D. Оно будет достигаться в точке С, где кривая равного продукта касается (но не пересекает) той линии f равных издержек, которая имеет наименьшую величину. Эта точка является и точкой касания, где угол наклона касательной к кривой равного продукта, ко- I нечно, в точности равен углу наклона линии равных издержек и кривые соприкасаются между собой только в одной точке. '

Мы уже знаем, что угол касательной к кривым равных издержек выражает отношение Pt: P_c. Но что же выражает угол наклона кривой равного продукта? Последний представляет своего рода «коэффициент замещаемости» для двух факторов производства. Этот «коэффициент замещаемости» зависит от относительной величины физических объемов предельного продукта двух факторов производства, точно так же, как и описанный ранее коэффициент замещаемости по двум товарам на кривой безразличия потребительских расходов, который равен отношению между предельными или добавочными полезностями двух товаров (см. приложение к главе 21).

Условия обеспечения наименьших издержек

Итак, наше равновесие, при котором достигаются наименьшие издержки, может быть определено любым из описанных ниже эквивалентных между собой соотношений.

1. Отношение физических объемов предельного продукта для любых двух факторов производства должно равняться отношению цен на эти факторы. Это можно выразить следующим образом: Коэффици-t ент замещаемости, или отношение:

2. Физический объем предельного продукта в расчете на последний доллар издержек должен быть равным для каждого из факторов производства. Это можно выразить следующим образом:

Это условие сохраняет силу при любом количестве факторов производства. Содержание условия (2) подробно рассматривалось в основном тексте данной главы. (Оно могло бы быть выведено из условия (1) путем перестановки членов из числителя одной дроби в знаменатель другой дроби, то есть путем «коммутативного перемещения», которое всегда справедливо для алгебраических расчетов.)

Но исследователь не должен удовлетворяться любым абстрактным объяснением такого рода. Ему следует всегда помнить повседневный экономический смысл, содержащийся в этих соотношениях: данные соотношения показывают, как фирма перераспреде-

В-третьих, линии равных издержек выражаются отрезками параллельных прямых:

Рис. 129. Линии равных издержек. Каждая точка на данной линии выражает одну и ту же общую сумму издержек производства. Линии равных издержек являются прямыми потому, что цены на факторы производства сохраняют постоянные значения. Все эти линии имеют одинаковый угол наклона к оси абсцисс, численно равный отношению цены на рабочую силу к цене капитала, то есть 2 долл./З долл., поэтому все они расположены параллельно друг другу.

ляет свои затраты между различными факторами производства в том случае, если какой-либо фактор обещает принести более высокий доход в расчете на последний доллар, израсходованный на покупку этого фактора производства. Наконец, мы можем выразить указанные условия обеспечения наименьших издержек в следующей форме:

3. Цены на отдельные факторы производства должны быть пропорциональны соответствующим физическим объемам производимых с их помощью предельных продуктов, при атом коэффициентом пропорциональности будут предельные издержки производства. Почему каждый из этих физических объемов предельного продукта в расчете на 1 долл, издержек производства равен обратной величине предельных издержек, или I/MCi Потому, что дополнительный BbtnyCK продукции, приходящийся на 1 доля, издержек, представляет собой не что иное, как обратную величину дополнительных денежных затрат в долларах в расчете на единицу продукции, то есть величину, которую мы на протяжении всей книги называем предельными издержками, МС. Это можно выразить так:

Предельные издержки MC для выпускаемой продукции, умноженные на физический объем предельного продукта труда, равны цене единицы труда.

Предельные издержки MC для вытыкаемой продукции, умноженные на физический объем предельного продукта капитала, равны цене единицы капитала.

И так далее для любого количества факторов производства.

Условия (1), (2) и (3) обеспечения наименьших

В-четвертых, мы подвигаемся по кривой равного продукта к линии, характеризующей наименьшую общую сумму издержек:

Рис. 130. Замещение факторов производства с целью обеспечения минимальных издержек производства. Точка, в которой кривая равного продукта касается (но не пересекает) линии, характеризующей наименьшую общую сумму издержек, выражает оптимальные условия обеспечения наименьших издержек. Соприкосновение с касательной означает, что отношения цен факторов производства пропорциональны соответствующим отношениям физических объемов предельного продукта (или «коэффициенты замещаемости» пропорциональны).

издержек эквивалентны между собой. Каждое из них сохраняет силу для любой точки, расположенной на кривой общей суммы затрат, независимо от того, в каких размерах выпускается продукция. Они ничего не говорят фирме о том, в какой точке кривой она Должна наконец приступить к производству.

Соотношения для дохода от предельного продукта, обеспечивающие получение наибольшей прибыли

Теперь, однако, мы дополнительно введем в анализ условие обеспечения наивысшей прибыли, которое выражается формулой MR = MC. При этом вспомним определение дохода от предельного продукта: он равен физическому объему предельного продукта, умноженному на предельный доход, Теперь мы можем сочетать между собой отношение (3), характеризующее условия достижения наименьших издержек с условием обеспечения наивысшей прибыли; благодаря этому нам удается получить окончательную формулу, характеризующую условия равновесия: Доход от предельного продукта труда =

ш Цене единицы труда

Доход от предельного продукта капитала =

* Пене единицы капитала

и так далее для любого числа факторов производства.

Таким образом, наш графический анализ привел нас в конечном счете к тому же выводу, к какому мы пришли в основном тексте данной главы на основе обычных здравых рассуждений. Этот вывод заключается в том, что мы перестанем расширять использование определенного фактора производства только тогда, когда доход от предельного продукта, производимою с помощью этого фактора, снизится до уровня рыночной цены на единицу данного фактора. Именно это соотношение и лежит в основе кривой, характеризующей спрос фирмы на факторы производства.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Объясните, что понимается под функцией производства. Используйте это определение для описания закона убывающей доходности. Как выглядела бы функция производства при наличии трех факторов производства? Как бы вы описали ее?

2. Если цена на единицу капитала увеличивается с 2 долл, до 3 долл., как изменятся параллельные линии графика на рис. 129? Почему возрастет угол их наклона к оси абсцисс? Почему они будут оставаться параллельными? Как переместится точка нового равновесия, обеспечивающего наименьшие издержки производства, на рис. 130? Согласуется ли это с аргументацией, приведенной ранее на основе общих соображений?

3. Какое отношение существует между углом наклона кривой равного продукта и линией, характеризующей предельную физическую выработку? Покажите, что условие касания линий на рис. 130, по сути дела, совпадает с описанными выше предельными условиями обеспечения наименьших издержек. Как осложнились бы условия касания обеих линий, если бы кривая равного продукта оказалась выпуклой, а не вогнутой? (Примечание. В этом случае издержки производства достигали бы минимального или максимального уровня? Как бы вы поступили в этом случае?)