§ 3. Циклы и «хаос» в решениях разностного уравнения

Решениеуравнения (2.1), состоящее из конечного набора Т значений, повторяющихсяв строгой последова­тельности (т.

/ = 1, 2, ... , Т — 1), называется циклом длины Т (Т-точеч- ным циклом или Т-циклом). На рис. 6, б изображен двух­точечный цикл, на рис 6, в — четырехточечный цикл.

Чтобы выяснить, существуют ли среди решений уравне­ния (2.1) циклы, например, периода Т =- 2, и найти эти циклы, следует искать решение, обладающее свойством

Ясно, что

Если рассматривать последовательность {Nt} с шагом уравнение

вновь представляет собой разностное уравнение первого порядка, и для его исследования мы воспользуемся изло­женным выше методом.

Цикл длины 2 возможен, если существуют два различ­ных положительных корня системы уравнения

. ?

которые мы обозначим через N{ и N%. Очевидно, они нахо­дятся среди корней уравнения

Графически подобную ситуацию иллюстрирует рис. 6, а.

Рис. 6. Циклическое поведение решений (2.4): а) диаграмма Ламерея для 2-точечного цикла (г = 2,4); б) 2-цикл (г = 2,1; /Vq = 0,15); в) 4-цикл (г = 2,6; ;V₀ = 0,1).

Линеаризовав уравнение (3.1) в точке, напримери проверив условие (2.9), имеющее в данном случае вид

мы выясним, является липредельной точкой для доста­точно близких траекторий уравнения (2.1). По правилу дифференцирования сложной функции и с учетом (3.2) получаем

Легко видеть, что значение производной dF'^/dN в другой точке цикла, N}, совпадает с полученным выражением, т. е.

Таким образом, обе точки цикла одновременно либо яв­ляются, либо не являются предельными точками для траек­торий уравнения.

Аналогично, при исследовании vcToftunRocTn цикла лю­бого периода Т со значениямр нас будет

интересовать значение производной в этих точ­

ках Т-цикла. Так, для точки_ имеем

Значения производной зо всех остальных точках

цикла совпадает с полученным выражением с точностью до порядка сомножителей; следовательно, все они одинаковы и равны

так что все точки Т-цикла могут лишь одновременно быть или не быть предельными точками для траекторий уравне­ния.

Циклназывается притягивающим, оттал­

кивающим или нейтральным, если соответственно

или

Очевидно, введенные определения аналогичны соответ­ственно асимптотической устойчивости, неустойчивости и устойчивости неасимптотической.

Пример. Для уравнения (2.4)

и (3.2) приводит к уравнению

которое заменой переменных

сводится к

где

Число корней трансцендентного уравнения (3.7) выяс­няется графическим анализом (рис. 7). Ппп г 9 сущест­вует лишь одно решение х = 0 (т. е. которое

соответствует глобальному устойчивому равновесию, най­денному ранее. При г > 2 существуют три точки пересече­ния прямой у = хс кривой% = 0 их=±х₀,

где 0 0 среди всех решений может быть не более одного притягивающего цикла;

2) если существует притягивающий цикл периода п, то почти при всех начальных значениях траектории стремятся к этому циклу;

3) если закон изменения численности популяции (2.1) не совпадает с законом (2.4), имеющим притягивающий цикл, но близок к нему (в некотором смысле), то асимпто­тическое поведение траекторий обеих систем одинаково, т. е.

4) для всякого п существует такое имеет притягивающий цикл периода «;

5) при возрастании г в пределах некоторого ограничен­ного интервала (0, г₀) происходят бифуркации решений: циклы периода 2* сменяются циклами

Заметим, что подобное аналитическое исследование кар­тины поведения решений имеет не только чисто теоретиче­ский интерес. Дело в том, что когда мы вычисляем траекто­рию любого разностного уравнения на ЭЦВМ, в силу огра­ниченности разрядной сетки результатбудет отли­

чаться от истинной траектории. Ясно, что в машине возможно лишь конечное — хотя и очень большое — чи­сло 2^т (где т — размер разрядной сетки) различных зна­чений N_t, Следовательно, начиная с некоторого достаточно большого момента t, мы неизбежно получим встречавшееся уже ранее значение N_t__T, т. е. последовательность будет периодичной — с достаточно большим периодом Т — независимо от того, является ли истинная траектория {Nt} периодичной или нет. Аналитическое же исследова­ние уравнений позволяет установить, насколько верно вы­числяемая последовательность отражает характер

истинной траектории (

Наряду с равновесием и циклами можно выделить еще один тип поведения решений разностного уравнения.

Пример. Для уравнения (2.4) трехточечный цикл ищется как

откуда числа а, b и с должны удовлетворять системе

Прологарифмировав каждое из уравнений (3.10) и сложив их почленно, получим соотношение

с использованием которого можно показать, что а является наименьшим положительным корнем трансцендентного урав­нения

I

)

»

»

Итак, на примере одного лишь уравнения (2.4) мы убе­дились, сколь разнообразными могут быть решения разност­ного уравнения. Богатый спектр поведения траекторий

Рис. 8. Хаотические режимы \3.7) при г = 3,2 (К = 1): a) N„ = 0,05; расходящиеся колебания возле неустойчивого равновесия N* = 1 попадают, начиная с t = 23 в окрест­ность 3-цикла. Поскольку этот цикл неустойчив, в даль­нейшем характер траектории обязательно сменится; б) N_o — = 0,7; хаотическая траектория без видимых «закономерно­стей».

б)

содержит устойчивое равновесие, устойчивые циклы любой длины, а также хаотический режим с решающим значением начальных условий. По-видимому, успешное применение

разностных уравнений к моделированию реальных популя­ций и объясняется отчасти этим богатством динамического поведения модельных траекторий.