§ 6. Классификация устойчивых решений

Выясняя вопрос о существовании устойчивых траекто­рий в линейной динамической системе

задаваемой матрицей Лесли, начнем, как и в случае одного разностного уравнения (§ 2), с рассмотрения простейших типов решения— равновесия и циклов.

Равновесие, т. е. решение, обладающее свойством

есть не что иное, как собственный вектор L, соответствую­щий максимальному собственному значению г = 1, — поло­жительный по теореме Перрона — Фробениуса. В силу линейности модели при возмущении равновесного состоя­ния на величину

динамика отклонения 8х (/) определяется исходной мат­рицей L:

Разлагая 8х (0) по векторам жорданова базиса, легко убе­диться, что на конечном числе шагов t малость отклонения 8х (/) обеспечивается достаточной малостью начального отклонения. Следовательно, свойства локальной устойчи­вости определяются в конечном счете асимптотическим по­ведением L^l8x (0), которое при г = 1 описывается предель­ной функцией X (8х (0), /). Как видно из (5.20), выбором достаточно малого 8х (0) предельная функция X (8х (0), t) может быть сделана сколь угодно близкой к нулю. Тем са­мым удовлетворяется формальное определение локальной устойчивости по Ляпунову. Таким образом, если равнове­сие х* существует (г = 1), то оно локально устойчиво. За­метим, что асимптотической устойчивости в этом случае быть не может, поскольку при всяком конечном 8х (0) предельная функция 35 (8х (0), t) отлична от нуля.

Все вышесказанное обобщается на случай любой траек- тории х* (/)■ Действительно, при t-> оо

Таким образом, когда г>1, всякое решение х* (t) неустойчиво.

При г = 1 любое решение х* (/) локально неасимпто­тически устойчиво. Точнее говоря, если матрица L прими­тивна, то х* (0 имеет при оо предел, пропорциональ­ный равновесному состоянию с коэффициентом пропорцио­нальности, линейно зависящим от координат начального распределения. Если же индекс импримитивности h> 1, то всякое, отличное от равновесия решение х* (0 стремится к периодичной предельной функции, период которой явля­ется делителем числа h и зависит от начального распределе­ния х* (0) (см. (5.26)). Отклонение от этого решения — малое при достаточно малом 8х (0) — также асимптоти­чески периодично со своим периодом.

При г < 1 любое решение х* (/) глобально асимптоти­чески устойчиво, что является попросту отражением общей картины поведения траекторий: все траектории стремятся к нулевому распределению.

Возможны ли чисто циклические траектории, или циклы, в модели Лесли? Если вектор х^(й) принадлежит циклу периода k, то для него должно выполняться условие

Значит, x^w является собственным вектором матрицы L^k с собственным значением р = 1. То же справедливо и для всех остальных векторов, образующих &-цикл. Поскольку собственные числа L^k равны X*, где X — собственные числа L, то единичное собственное значение L^k возможно лишь при наличии в спектре L корней 6-й степени из 1. Ясно, что при этом г 1. Поскольку г > 1 соответствуют неустой­чивые траектории, ограничимся случаем г — 1. Тогда все корни, по модулю равные 1,удовлетворяют уравнению X^й — 1=0; следовательно,означает, что числа k

и h имеют общие делители.

Если матрица L примитивна, то любая натуральная ее степень L* неразложима и примитивна, и по теореме Перрона — Фробениуса имеет максимальный корень г* = 1 единичной кратности. Значит, векторы х^(й) (0), x^w (1),... ..., x^w (k— 1), образующие й-цикл, принадлежат одному и тому же положительному собственному направлению, т. е.

По смыслу цикла

откуда (0) является собственным вектором L с собст­венным значением 0j > 0. Так как единственным поло­жительным собственным значением L является г = 1, то 01 = 1 и

Аналогичными рассуждениями получается цепочка равенств

т. е. наш &-цикл на самом деле — просто равновесие. Для примитивных матриц Лесли с г = 1 циклы невозможны.

Тот же результат вытекает и из других соображений. Поскольку всякое начальное распределение при оо стремится к предельной вектор-функции Х(х, t), которая постоянна по t в примитивном случае, циклы в данном слу­чае не могут иметь места.

Когда же индекс импримитивности h> 1, периодиче­ская предельная функция X (х, t) сама образует точный цикл. Действительно, в силу (5.19) и поскольку г = 1,

h

Длина этого никла определяется, очевидно, периодом Т функции , , который по теореме предыдущего пара­

графа является делителем числа h.

Если бы в системе (6.1) существовал истинный цикл длины k, отличной от делителей h, то траектория, начи­нающаяся с одного из векторов данного цикла yW, должна была бы стремиться к X (yW, t).

Таким образом, для матрицы Лесли возможны циклы лишь такой длины k, которая является делителем индекса цмпримитивности h. Все эти циклы принадлежат подпро­странству собственных векторов матрицы L^h, соответствую­щему максимальному собственному значению 1 кратности h. Обозначим это подпространство через Л^(й>. Так как геоме­трическая кратность собственного значения любой матрицы не превосходит его алгебраической кратности, то

С другой стороны, из соотношения (6.3) и теоремы о периодичности вытекает, что для любого начального вектора х

т. е. пространство всевозможных векторовпри­

надлежит Л^(Л>:

Но, как явствует из (5.19), векторы {X (X, /)} представляют собой линейную комбинацию собственных векторов Ci, ... ..., C_ft матрицы L, которые соответствуют различным соб­ственным значениям 1, е'^2я-⁷‘, ..., е^і2л и потому ли­

нейно независимы. Значит,

что вместе с условиями (6.4) и (6.5) означает совпадение обоих пространств:

Итак, истинные циклы в системе (6.1) с импримитивной матрицейL — это траектории, образованные векторами видас периодом, делящим h и зависящим от х

в соответствии с (5.26).

то с учетом (5.17) имеем

В частном случае, когда h = п, имеет место равенство

I

где / — тождественная матрица, ато значит, что люоой вектор х переходит за п шагов в себя, т. е. принадлежит некоторому циклу длины, равной п или какому-то дели­телю п. Матрицы L, обладающие свойством (6.8), соот­ветствуют жизненному циклу с однократным репродуктив­ным актом, после которого родители погибают. Пример такого рода дает матрица

рассматривавшаяся Г. Бернаделли как модель «популя­ционных волн».

Что касается хаотических режимов, т. е. таких траек­торийкоторые не постоянны, не периодичны и не

стремятся ни к постоянному распределению, ни к циклу, то невозможность подобных траекторий в системе (6.1) при г = 1 вытекает из сущест^пппоии° для любого

предельной функции которая лиоо по­

стоянна, либо периодична. Когда г с 1, все траектории стремятсяк нулю.

Пример. Рассмотрим гипотетическую популяцию, состоящую из п = 6 возрастных групп, которые выбраны таким образом, что рождаемость есть лишь в 3-й и 6-й группах. Пусть

а выживаемости s_t таковы, что

Характеристический многочлен

максимальное собственное число

индекс импримитивности

значит, в системе возможны лишь равновесия и 3-циклы; пр"

Собственные вектор-строки в соответствии с (5.16):

Собственные вектор-столбцы:

Всякое распределение численностей, пропорциональное вектору С₁₍ остается неизменным на каждом шаге. Любое другое распределение х стремится со временем к 3-циклу, образованному векторами X (х, 0), X (х, 1) и X (х, 2). Пусть начальное распределение по группам одинаково и равно, например,

Тогда

Итак, траектория, начинающаяся с х = [16, 16, 16, 16, 16, 16]⁷", стремится к 3-циклу на векторах

Скорость сходимости равнат. е. за

6 поколений разница между начальным и предельным рас­пределением уменьшается примерно в 10 раз, за 12 поколе­ний — примерно в 100 раз и т. д.

Условия (5.27) соблюдены, и общая численность N (/) также стремится к 3-циклу по значениям 130, 176, 156.