§ 6. О предельных циклах в системе хищник — жертва
В настоящее время не существует какого-либо общего метода нахождения предельных циклов. Даже для такой достаточно простой системы, как (2.1), не удается провести общее исследование при более или менее произвольном выборе вида трофической функции V(x).
Поэтому мы несколько упростим задачу, предположив, что рассматриваемая система достаточно близка к классической вольтерровской (в каком смысле, будет ясно ниже).Прежде чем переходить к поиску предельных циклов, сделаем замену переменных
Здесь
і — нетривиальное равновесие системы, зада
ваемое уравнениями (5.2). Вместо У(х) мы будем использовать (Ьункпию
В классической вольтерровской модели V(x) = кх и 
Предположение о близости рассматриваемой мо* дели к вольтерровской означает, что щ(£) можно представить в виде
где е — некоторый малый параметр, а
_ ограничена и имеет конечную производную.
криволинейный интеграл
'У (/г) = — ф ф (g) ея dii + 6 0;
б) этот предельный цикл является грубым и притом устойчивым, если e'Pft (h*) < 0, и неустойчивым, если єТд(/і*) > 0.
Эта теорема устанавливает лишь существование таких значений є, при которых система имеет предельный цикл, но не дает никаких оценок.
Нам удобнее вместо криволинейного интеграла (6.6) рассматривать эквивалентный ему интеграл по области Sh, заключенной внутри вольтерровской кривой Н(£, ц) = h:
¥(/і) = -^ф^®ЄМ^т1, (6.8)
Sh
или, в старых переменных,
т - - і И РЯ *