§ 9. Функции Ляпунова и устойчивость трофической цепи
До сих пор при исследовании устойчивости состояний равновесия в экосистемах с вертикальной структурой мы пользовались критерием качественной устойчивости. Однако все эти результаты (и даже более общие) можно получить, применяя прямой метод Ляпунова к системам, линеаризованным в окрестности этих состояний.
Выше мы показали, что проблема устойчивости трофической цепи сводится к исследованию устойчивости матрицы Л? или, что то же самое, к исследованию устойчивости тривиального решения системы
Прежде чем приступать к построению функций Ляпунова, введем некоторые обозначения. Пусть х, с. b —
Последнее уравнение представляет собой известное матричное соотношение Ляпунова, которое для устойчивой матрицы В должно удовлетворяться при некоторых положительно определенных матрицах G и F. Поскольку матрица В и вид матрицы G уже определены, уравнение (9.5) имеет единственное решение, которое задается элементами
§ 9. ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА И УСТОЙЧИВОСТЬ ЦЕПИ
199
Отсюда, вследствие положительной определенности F, сразу же получаем достаточное условие для отрицательной опре- деленности
Поскольку , .
только в точке [0, 0] и при
то, если существует такое gi > 0, что имеет место неравенство (9.8), функция является функцией Ляпунова ДЛЯ системы (9.1), T. с.
этой системы устойчиво. Естественно, 
что тогда устойчива и матрица Ад.
Покажем, что такое gt существует. Неравенство (9.8) можно записать в виде
где
Нам достаточно найти минимум этого квадратного трехчлена и потребовать, чтобы он достигался при (gi)min > 0 и был
5 10. ВЕТВЯЩИЕСЯ ТРОФИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
201
чиво. Это следует из теоремы Барбашина — Красовского *) об асимптотической устойчивости в целом. В ней говорится, что для асимптотической устойчивости достаточно, чтобы
