Прямые методы

Прямые методы можно разделить на пять групп:

постулируется как сама основная формула полезности для многокритериальной альтернативы, так и все ее параметры. Для обоснования выбора этой формулы используются обычно некоторые принципы (например, принцип одинаковой степени достижения экстремума но всем критериям);

Л11Р выбирает один из способов определения полезности альтернатив при неизвестной информации о вероятности различных внешних условий. Обоснованием выбора считается привлекательность того или иного способа для ЛИР;

постулируется основная форма зависимости, но ее параметры непосредственно назначаются ЛПР. Примером является известный метод взвешенных сумм оценок критериев. В работах с изложением этих методов обычно не приводится иных обоснований, кроме: «это удобпо и просто, проблему следует решать именно таким способом»;

основная форма зависимости задается, а ее параметры определяются путем вычислений, проводимых на оспове прямой оценки ЛПР полезностей некоторых мпо-

гокрптериальных альтернатив. Обоснованием являются обычно рассуждения, что примерный вид зависимости ясен из качественных соображений, но его надо уточнить;

5) за основу берется формула максимизации ожидаемой полезности (которая постулируется), а ЛПР определяет вероятностные оценки различных исходов на деревьях решений. Обоснованием является представление о принципе максимизации ожидаемой полезности как о «един-ственном рациональном» принципе в принятии решений.

Мы рассмотрим эти группы более подробно.

Постулируемые принципы.

N

и -- 2 *

где а і —-наилучшее значение но і-му критерию, xt — фактическая оценка по г-му критерию.

При такой зависимости для всех критериев как бы вводится квадратичный штраф отклонений от наилучше-го значения.

Выбор глобального критерия. Для методов данной группы исходной информацией является следующая таблица: Варианты инепших угл.шн і Ал ьт.-р пати Jbl Вг в> в

та л, У її и12 1 m Ay ff.YI ' U 42 U л* ih

В таблицу заносятся оценки лолезностей альтернатив при том или ином варианте внешних условий, характеризующих обстановку после принятия решений. Считается, что вероятности внешних условий заранее неизвестны, а сама таблица известна при принятии решений (весьма сильное предположение). Обычно рассматриваются агрегированные оценки альтернатив, но нет принципиальных препятствий против рассмотрения оценок альтернативно многим критериям (при известной формуле их агрегации).

Выбор предпочитаемой альтернативы (с полезностью ?/*) производится на основании одного из следующих критериев31:

Максиминный критерий (наибольшая осторожность). Выбирается:

U* = max min Uih

і j

где і — ппдекс строки, / — индекс столбца таблицы.

Критерий минимаксного сожаления.

Си—m ах Ui} — ?/7>

г

Далее выбирается:

L/* = min C{j.

э

Критерий макспмакса (крайний оптимизм)

Z7*=max max Ui}.

і j

Критерий Гурвича. Пусть для i-ii альтернативы

гаг=тіп Uu; М<=тах Ui}. о і

Для каждой альтернативы А{ вычисляют показатель: ?7j(a)=amj+(l—а)Л/„

где

Далее выбирается (при заданном а)

?7* = max Ui(a),

5) Критерий Лапласа. Все варианты внешних условий принимаются равновероятными и для каждой альтернативы А{ определяется показатель

л ™

uicp = 2 ии.

Далее выбирается:

?/*=тах Uі Ср.

Нет никаких оснований считать априори один критерий чем-то лучшим, чем другой. Поэтому принято, что такой выбор должен делать руководитель. Если исключить очевидные случаи (доминирование одной альтернативы над всеми), то для ЛПР выбор критерия столь же труден как и прямой выбор одной из альтернатив.

Двойники аксиоматических методов. Существует группа простых методов, форма зависимостей в которых имеет тот же вид, что и в некоторых аксиоматических методах. Как известно, основная направленность аксиоматических методов состоит в обосновании таких зависимостей, в то время как в прямых методах они просто постулируются. Это различие практически исчезает в случаях, когда не выполняются те или иные аксиомы и определенная зависимость принимается без достаточных обоснований. Выделение этой группы прямых методов не-обходимо, особенно если учесть их значительную попу-лярность.

Если среди некоторых теоретиков аксиоматические методы рассматриваются как единственные средства решения проблем оценки многокритериальных альтернатив, то примерно такое же отношение к данной группе прямых методов наблюдается среди некоторых практиков («естественно нужно назначить веса, помножить их на оценки и сложить»).

К основным методам данной группы следует отнести:

1. Метод взвешенной суммы2732,33 (наиболее популярный по числу посвященных ему работ) N

и = 2 и\х'п

4=1

где Wi — вес (важность) г-го критерия, назначаемый ЛПР; Хі —- оценка альтернативы по г-му критерию.

N

2 ~і.

1

Иногда этот метод используют при единичных весах32.

Мультипликативный метод32

і= 1

Чаще всего принимают /(?,)=?,. Есть работа32, где приведен метод с зависимостью j(Xi)=ex'\ Путем логарифмирования мультипликативный метод можно свести к суммированию логарифмов оценок, поэтому иногда его объединяют с методом взвешенных сумм20. Логическим обоснованием мультипликативного метода является представление об оценках по критериям, как о вероятностях достижения определенных показателей качества.

Лексикографическое упорядочение критериев5 s. В данном методе критерии упорядочиваются по важности, после чего считается лучшей альтернатива, имеющая более высокую оценку по более важному критерию вне зависимости от оценок по прочим критериям (методы лексикографического упорядочения критериев по важности имеют аксиоматическое обоснование 18, но для них не разработаны процедуры проверки аксиом, характерные для аксиоматических методов).

Существует множество модификаций приведенных выше основных типов прямых методов. Укажем ряд приемов, использование которых (либо их совокупности) приводит к той или иной модификации.

Приемы, используемые при определении весов критериев:

Упорядочение критериев по важности20.

Определение отношений по важности для весов критериев34. При этом ЛПР дает отношение Wi/Wj в числовом видо,

3. Построение таблиц на основе попарного сравнения критериев по важности34

1

2

N

ах 02

О 1

іу

В приведенной таблице строки и столбцы соответствуют номерам критериев. На пересечении г-й строки и /-го столбца заносится 1, если і-й критерий важнее /-го и О — в противном случае. В последнем столбце содержится сумма элементов строк.

Определение весов при помощи совокупности по-следовательных сравнений (метод Черчмена — Лкоффа). Путем сравнения валености критериев между собой и суммарной важности критериев ищут неравенства, определяющие диапазоны значений для каждого из весов, после чего выбирают любое множество чисел, не противоречащее полученным соотношениям (изложение метода дано в обзоре Фишборна35, а его справедливая критика — в книге Холла 36).

Нахождение весов после предварительного определения средней точки37. Определяются «средние» значення на шкалах критериев, совокупность которых дает координаты «средней» точки в пространстве критериев, Веса рассматриваются при этом как отношения важности критериев при отклонениях относительно средней точки,

Многократное повторное сравнение пар критериев по важности?8. В таблицу, аналогичную приведенной выше, заносится на пересечении i-ii строки и /-го столбца число раз, когда ЛПР предпочел i-ii критерий /-му при многократном сравнении (и многократном (?) забывании). Данный подход представляет попытку применения известного метода Терстоуиа 39,40.

Использование иерархии критериев27,41. В ряде случаев можно построить иерархию критериев, выделив

в каждом из сложных критериев совокупность простых, входящих в него. Важность составного критерия считается пропорциональной числу входящих в него простых критериев.

8. Определение вместо точных значений весовых коэффициентов важности критериев диапазона их возможных значений42.

Приемы, используемые при построении и применении шкал критериев:

Предварительные отсечки по качеству32. На шкалах критериев определяется уровень качества. Если хотя бы одна оценка альтернативы ниже этого уровня, альтернатива исключается из рассмотрения.

Определение «диапазонов нечувствительности». На шкале критериев определяется интервал значений такой, что оценки двух альтернатив, находящиеся внутри данного интервала, рассматриваются как одинаковые.

Непосредственное получение от ЛПР кривых полезности для шкал критериев27.

Построение кривых полезности по каждому из критериев путем поэтапного выявления предпочтений ЛИР тем или иным способом (сравнения оценок, интервалов между оценками и т. д.)21.

Интерполяция функции полезности. При данном подходе также постулируется общий вид функции полезности. Отличие от предыдущего заключается в том, что па-раметры функции не назначаются ЛПР, а определяются расчетным путем на основе прямой (числовой) оценки ЛПР некоторых многокритериальных альтернатив. Так, в работе Интемы и Клема43 фупкция полезности задавалась в виде

Я 2

и = А + 2 Ьіхі + 2 CiXiXi+i + с3хххз +dxx:r2.r8, i= 1 І--1

где Xi — оценка по і'-му критерию, Л, bh си d — коэффи-циенты.

Руководитель оценивал количественную полезность восьми многомерных альтернатив. Эти значення подставлялись в приведенную зависимость, после чего аналитическим путем находились ее параметры.

Наука о решениях. Именно под таким названием (decision science) известен в литературе подход, связанный с оценкой вероятностей на деревьях решений 18. Ос-новная идея данного подхода заключается в следующем. Имеются два варианта действии: А и Б (например, разрабатывать одну либо другую технологию производства нового продукта). Пусть при выборе варианта А точный результат заранее неизвестен и возможны три альтернативных исхода 1, 2, 3, привлекательность которых может быть оценена в деньгах: Dj, Z>2, Аз. Предположим, что известны вероятности этих исходов: р2, рг- Тогда полезность варианта А определяется по формуле (ожидаемая денежная оценка): з

UА ^ S PiDi< і— 1

Аналогично оценивается полезность варианта Б. Выбор между А и Б должен соответствовать большему значению полезности.

Остаются две проблемы: как заранее определить все возможные исходы различных действий — именно для этого строится так называемое дерево решений; как определить вероятности исходов — для этого используется метод лотерей.

Деревья решений строят, исходя из последовательного анализа всех возможных событий. Примером может служить небольшое дерево на рис. 7.

Более интригующим является вопрос о том, как получить субъективные вероятности, (вероятности, назначаемые ЛІІР) для неизвестных событий. Ответ на это сформулирован в книге Г. Райфы 18 следующим образом. Пусть Е — некоторое случайное событие реального мира, а 1Е — лотерея, которая дает выигрыш И7, если Е произойдет и выигрыш L — в противном случае. Если ЛІІР не может определить, что для него лучше — лотерея 1Е или лотерея, дающая W с вероятностью р и L с вероятностью (1—/?), то субъективная вероятность Е принимается равной р.

Итак, определение субъективных вероятностей событий производится путем поиска безразличия между двумя лотереями подбором вероятности осуществления событий в одной из них. Подход применим как при оценках

Рис. 7

альтернатив по одному критерию, так и при многокрите-риальных альтернативах.

В последнем, наиболее интерес-ном для пас случае, Г. Раифа предлагает определять ко-эффициент отношения между полезностями по разным критериям (предполагается линейное изменение полезности вдоль шкалы критерия) и использовать взвешенную сумму оценок критериев.

Пример применения одного из методов. В последние ГОДЫ активную деятельность ПО приложению ИрЯхМЫХ методов (второй группы) проводит в США исследовательский институт по социальным наукам, возглавляемый профессором В. Эдвардсом. Он называет применяемый им метод простым методом многокритериальной оценки (SMART)27. Блок-схема основных этапов метода приведена на рис. 8.

1

Рис. 8

Приложения этого метода описаны в отчете Эдвард- са44. Одна из практических задач состояла в оценке программы исследований для так называемой государственной организации развития детей (Office of Child Deve- lopment), проведенной в 1972—1973 гг. Эта организация рассматривалась как ЛПР.

Оставшийся список направили тем же людям для ранжирования и присвоения весов, после чего критерии, получившие малые веса, также были удалены из рассмотрения. Поскольку при этом наблюдались существенные рас- хождения, материал был передан директору организации, который назначил окончательные веса для 13 критериев (пример критерия: степень соответствия проекта общей политике организации — вес 0,16). Далее 56 проектов были оценены по критериям тремя сотрудниками организации, выступавшими в роли экспертов. Совпадение агрегированных оценок было хорошим (учитывались средние значення количественных оценок). Разброс оценок проектов по каждой из шкал был существенным. На результирующем этапе определялись полезности всех проектов: среднее значение —¦ 483, стандартное отклонение — 204. Далее директор назвал 10 проектов, которые явпо не устраивали организацию. На основе его оценки был определен уровень полезности ?7 = 295, проекты, имеющие меньшую полезность, исключались из рассмотрения.

Предварительная оценка. Для многих прямых методов характерны высокие требования к ЛПР на начальных этапах работы. Так, для методов первой группы ЛПР должен сделать выбор «наиболее справедливого и обоснованного» принципа. В задачах принятия решений с субъективными критериями такой выбор сделать крайне сложно, если не невозможно. Аналогичные сложности возникают для методов второй и третьей групп. Как и для аксиоматических методов, остаются нерешенными проблемы зависимых критериев.