Аксиоматические методы
Обычно аксиоматические методы подразделяют на две подгруппы:
оценки альтернатив по многим критериям считаются известными (принятие решений при определенности) :
заданы функции распределения вероятностей оценок альтернатив (принятие решении при риске).
Обе подгруппы используют близкую систему аксиом.
Система аксиом. Обычно используются три группы аксиом5>б.
1. Аксиомы «слабого порядка» и транзитивности. Эгн аксиомы определяют отношение превосходства одной альтернативы над другой при наличии таких свойств, как связность и транзитивность.
В условиях определенности эти аксиомы могут быть записаны в следующем виде.
Пусть и, у, w&U — полезности альтернатив. Тогда
а) для любых и, v имеет место одно из следующих отношений:
u — v, u>v, u В условиях риска эти аксиомы могут быть сформулированы следующим образом. Пусть R — множество распределении вероятностей на множестве альтернатив. L=(PiA и р2А2, ..., ргАг), где р\, ..., р, — вероятности осуществления альтернатив 1 2 — альтернативные варианты ре- хпення. Каждому распределению Р или Q в R можно приписать определенное числовое значение ожидаемой полезности U(P) или U((J) такое, что P^Q, тогда, когда U(P)*ZU(Q). Тогда для распределений Р, Q, W: а) имеет место одно из следующих отношений: U(P)>U(Q), U(P) 2. Аксиомы, исключающие так называемые ненормальности в предпочтениях. Имеются две такие аксиомы. Одна из них утверждает, что можно использовать любые части полезности двух альтернатив (объектов) для выражения эквивалентной полезности третьей: Из u>iv>v следует существование такой а, что сш+ (1+а) v = w. Обычно эту аксиому называют аксиомой растворимости. Для условий риска ее можно записать в таком виде: при U(P)>U(Q)>U(W) и при 0<а<1 aU(P) + (1-а) U{W)=U(Q). Вторая аксиома запрещает использование альтернатив, неизмеримо превосходящих другие альтернативы (архимедова аксиома): из w>v>u следует: и>аи+(1— a) w; 0<а<1. Для условий риска архимедова аксиома имеет вид: если Р, Q, W — распределения в R и если V{W)>U{Q)>U{P)- 0 а) слабая условная независимость по полезности: предпочтения для двух альтернатив, отличающихся лишь оценками по шкале одного критерия, не зависят от оценок этих альтернатив по шкалам других критериев; б) совместная независимость: предпочтения между альтернативами, отличающимися оценками по определенному подмножеству критериев, не зависят от одинаковых оценок по критериям оставшегося подмножества. В условиях риска в качестве аксиом независимости используются: в) аксиома (принцип) эквивалента определенности (sure thing): предпочтения между лотереями не должны зависеть от одинаковых составляющих исходов лотереи; г) аксиома строгой условной независимости по полезности (SCUI): предпочтения среди многокритериальных альтернатив, для которых часть оценок по критериям задана распределением вероятностей, а другая часть имеет постоянные значения, не зависят от этих постоянных значений. д) аксиома маргинальное™: многокритериальные аль-тернативы сравнимы между собой только на основе рас-смотрения распределений вероятностей оценок по отдельным критериям (т. е. эти распределения рассматриваются как независимые). Использование аксиом. Приведенные аксиомы используются обычно для доказательств существования функции полезности определенного вида. Так, доказано20, что при справедливости аксиом групп 1 и 2, а также при выполнении аксиом условной независимости по полезности и совместной независимости функция полезности многокритериальной альтернативы может быть выражена в виде: і-і где Xi — оценка по і-му критерию, /і — функция полезности по і-му критерию. Случаи мультипликативной и квазиаддитивной функции полезности также могут быть формально сведены к этому виду20. При выполнении аксиом определенного эквивалента, строгой условной независимости по полезности и маргинальное™ полезность распределения Р вероятностей многокритериальных альтернатив может быть выражена в виде U(P)= I>PjU(AJ)= 2pjU{xj)% і-1 /=і где pj — вероятность осуществления /-й альтернативы, Xj — вектор многокритериальных оценок /-й альтернативы. Довольно часто формулируются другие аксиомы независимости с целью доказать существование функции полезности определенного конкретного вида. Так, Р. Кини использует аксиомы независимости по предпочтению и независимости но полезности21. Первую из них можно рассматривать как частный случай аксиомы о совместной независимости: предпочтения для альтернатив, различающихся оценками по двум критериям, не зависят от одинаковых оценок по прочим критериям. Рассмотрим лотерею, два исхода которой представляют комбинацию двух разных оценок по шкале одного критерия и одинаковых оценок по шкале прочих критериев. Условие независимости по полезности состоит в том, что определенный эквивалент этой лотереи независим от фиксированных значений оценок критериев, одинаковых для двух исходов. Р. и = і ktUt (*,) при І к і = 1, *-=1 г~\ N N или 1 + Ш = П II + kkiUi (xt)] при 2 кі ф і, і-1 І---1 где U, ^ — нормированные функции полезности (0^(7, 72 Разработка перечня критериев и шкал оценок по критериям I Проверка условий независимости по предпочтению I Проверка условий независимости по полезности 1 Оценка весовых коэффициентов важности критериев I Построение кривых полезности по отдельным критериям I Вычисление функции полезности для альтернатив Рис. 4 С/,-< 1), ki — постоянные (0<А,<1), к — постоянная (А>-1). Пример применения одного из методов. В качестве типичного метода решения проблем при аксиоматическом подходе рассмотрим метод Р. Кини22. Изучалась проблема выбора энергетической политики (различных способов производства электроэнергии: постройка электростанций на угле или атомных) до 2000 г. для штата Висконсин, США. Блок-схема метода приведена на рис. 4. В качестве критериев оценки альтернатив рассматривались: выра-ботка электроэнергии, количество земли, используемое под электростанцию, наличие радиоактивных отходов и т. д. (всего 11 критериев). Были определены верхняя и нижняя оценки на количественных шкалах оценок критериев. При проверке независимости по предпочтению Р. Ки- ни спрашивал ЛПР, например, какому количеству радиоактивных отходов эквивалентны 2000 акров земли, занятой под электростанцию, при лучших оценках по остальным 9 критериям. Далее этот вопрос повторялся при худших оценках по остальным 9 критериям. В случае одинакового ответа делался вывод о независимости по предпочтению для этих двух критериев. Проверка независимости по полезности проводилась следующим образом. От ЛПР требовался эквивалент оп- ределевностп (sure thing) для лотереи, дающей с вероятностью 0,5 либо 200 т радиоактивных отходов либо их отсутствие нрн лучших оценках но прочим 10 критериям. Проверка аксиом привела автора к выводу об их справедливости. Далее рассматривалась задача нахождения весовых коэффициентов важности критериев. Первоначально критерии упорядочивались по важности, при этом от ЛГ1Р требовалось сравнение по важности перехода от худших к лучшим оценкам для двух критериев. Затем критерии рассматривались попарно, и ЛПР находил две точки без-различия: первую — с лучшей оценкой по более важному критерию и худшей по менее важному и вторую — с лучшей оценкой по менее важному критерию и промежуточной поболее важному. Так, например, определялось, что альтернатива с 0,5 млрд. кВт. ч электроэнергии (минимальное значение) при отсутствии радиоактивных отходов эквивалентна для ЛПР альтернативе с 3 млрд. кВт. ч выработанной электроэнергии (максимум) при определенном количестве радиоактивных отходов. На основе пар безразличия была составлена система линейных уравнений, решение которых дало согласованные веса критериев. Сумма этих весов оказалась близкой к единице, что позволило использовать аддитивное представление функции полезности. Построение кривых полезности по отдельным критериям осуществлялось при помощи сравнения лотерей. Лучшей оценке присваивалась полезность ?7=1, худшей U=0. От ЛПР требовался эквивалент определенности для лотереи, дающей с вероятностью 0,5 лучшую и с вероятностью 0,5 худшую оценку. Далее находились эквиваленты определенности для лотерей, включающих найденное значение из первой лотереи и одно из крайних, и т. д. Зная оценки альтернатив, кривые полезности для отдельных критериев и весовые коэффициенты, можно подсчитать по формуле взвешенной суммы оценок полезность любой из альтернатив. Трудности проверки аксиом и стремление к аддитив-ности. При практическом использовании аксиоматического подхода чаще всего подвергаются проверке аксиомы 3-й группы. Справедливость аксиом 1-й группы обычно не оспаривается. Подлинным камнем преткновения для аксиоматического подхода в целом являются аксиомы о независимости. Прежде всего во многих практических случаях они нарушаются. Так, в работе фон Вннтерфельда и Фишера 20 приведен житейский пример нарушения аксиомы слабой условной независимости по полезности: можно всегда предпочитать большую машину малой при гидравлической коробке передач, но без нее предпочтения могут измениться из-за трудностей управления большой машиной с механической коробкой передач. В работе Хэмпфри23 приводится пример нарушения аксиомы о совместной независимости при соблюдении аксиомы слабой условной независимости по полезности: выбор между отдельным домом и квартирой с учетом времени проезда (на автомобиле) до места работы зависит от оценки по третьему критерию -- наличие или отсутствие электрички рядом с местом жительства. Наблюдалось большое число случаев, когда действия людей при выборе не соответствуют аксиоме определенного эквивалента. К этим случаям относится и извест-ный парадокс Алле 18. В работе П. Словика и А. Тверского24 убедительно показано, что аксиома определенного эквивалента, выдвинутая Сэвиджем, никак не может претендовать на какой-то логический принцип, что люди сознательно нарушают ее при выборе и не изменяют предпочтений даже после детального обсуждения этого факта. В работе фон Вннтерфельда и Фишера20 приводится пример нарушения аксиомы сильной условной независимости по полезности. Предлагается выбор из двух лотерей (рис. 5), исходы которых равновероятны. Многие могут предпочесть первую лотерею второй, поскольку потеря 50 долларов не так уж страшна при выигрыше цветного телевизора, а выигрыш в 100 долларов привлекательней, чем гарантированные 15 долларов второй лоте- +fS fojrst. u я qfamrw j/ цМлтмя /77Ї/7М Др/яе/гея 2 Рис. 5 реп. Предположим, что в качестве выигрыша остались те же деньги, по нет цветного телевизора. Тогда некоторые предпочтут уже вторую лотерею, так как возможная потеря 50 долларов кажется весьма непривлекательной. В работе Хэмпфри23 дай пример нарушения аксиомы маргинальное™ (рис. 6). Имеются две лотереи, исходы которых равновероятны. В соответствии с аксиомой маргинальное™ ЛПР должен быть безразличен к выбору любой из них. Но большинство людей явно предпочтут вторую лотерею, нарушая эту аксиому. Проблема заключается пе только в случаях нарушений аксиом, а в тех путях решения, которые использу- 4 m fa?*. Г fcrjT. і' wfaf -'яиі/яа U SffffaA я кяшаяа JD Рис. 6 /to. и ?/77/7/74Д /гашиш і/ шядял каш и на ются при нарушениях аксиом независимости. При нарушении аксиом слабой условной независимости по полезности и совместной независимости рекомендуется чаще всего строить кривые компромисса25 между полезностями различных критериев (этот метод мы рассмотрим далее). Еще хуже обстоит дело с нарушениями аксиом независимости в условиях риска. При нарушениях аксиомы определенного эквивалента рекомендуется либо попытаться иначе сформулировать задачу, исключив условия риска н перейдя к определенности, либо не обращать внимания на эти нарушения. П. Хэмпфрп 23 отмечает отсутствие тостов для проверки аксиомы строгой условной независимости по полезно-сти. При обнаружении нарушений этой аксиомы, а также аксиомы маргиналышети рекомендуется перегруппировкой критериев устранить их зависимость либо просто не обращать внимания иа нарушения аксиом и использовать формулу взвешенной суммы оценок критериев. Основанием для второго подхода служат хорошие результаты использования аддитивной модели для предсказания оценок альтернатив при повторяющихся решениях. Но этот довод не имеет силы в ситуации однократного выбора. При практическом использовании аксиоматических методов сама проверка аксиом независимости осуществляется выборочно, по отдельным точкам. Но даже такая проверка требует специальной подготовки ЛПР и его многочасовой работы (Р. Кшш отмечает22, что получение информации от ЛПР заняло 8 часов). Из описания случаев применения аксиоматических методов ВИДНО явное стремление использовать Л'ЮбоЙ ценой аддитивную (или мультипликативную) функцию полезности. Удовлетворительные способы решения проблемы при зависимости критериев фактически отсутствуют. Предварительная оценка. Критически оценивая аксиоматические методы, следует отметить их искусственность — в основу положены чисто формальные донуще- ния и главная проблема сравнения альтернатив (отметим, что в приведенном примере выбора энергетической политики было всего 6 альтернатив!) отступает на второй план перед чисто формальной проблемой поиска функции полезности в определенной форме. Несмотря на известность данного подхода в среде теоретиков, трудно дать общую оценку возможности его применения в практических случаях. Работа Кини28 пе убеждает, что подход имеет массу приложений: большинство примеров имеет искусственный характер (как и в приведенной выше работе этого автора22).
