Методы компенсации
Переход от сравнения качеств по различным критериям к сравнению альтернатив может быть осуществлен различными путями. Среди них следует выделить построение кривых безразличия и сравнение разностей оценок альтернатив по критериям.
Точки и кривые безразличия. На рпс. 9 дан пример кривых безразличия для двух критериев оценки альтерна
щел-лга
/7у уху я л яце/ґА'а
Х/иЛГфаїї Ї
РИС. 9
тив. Точки Рь Р2, Рг называют исходными.
Построение кривой безразличия
/;< осуществляется следующим образом:выбирается исходная точка Р\ (х\, yi), где хІ9 у і — значение критериев X, Y в данной точке;
выбирается приращение Д по критерию X (поло-жительное или отрицательное) и определяется Я2 = *І+А;
определяется значение г/2 по критерию Y такое, что точка Рі(х2, IJ2) эквивалентна по полезности точке
Рі(хи у0; *
по найденным точкам проводится кривая безразличия.
Различпые процедуры выявления предпочтений ЛПР при построении кривых безразличия предложены К. Маккриманом25 26. Если в многокритериальном пространстве построены поверхности безразличия, то сравнение многокритериальных альтернатив крайне просто, поскольку эти поверхности (или исходные точки) можно упорядочить по полезности.
Так, точка Р2 на рис. 9 предпочтительней Р\.Поиск точек безразличия может быть использован для построения функции полезности для одного критерия, имеющей общую единицу измерения с функцией полезности по другому критерию. Процедура построения состоит из следующих этапов:
выбирается исходная точка (яі, у\) па плоскости двух критериев;
один из критериев X выбирается как основной^ значение Х\ фиксируется;
выбирается отклонение Д от значения х\\
ставятся вопросы к ЛПР о том, каково значение у2, при котором приращение Ь\ — у2—у\ эквивалентно Д;
ставятся вопросы к ЛГІР о значении при котором 62 = г/з — У2 эквивалентно Д, и т. д.
Данная процедура получила название двойной стандартной последовательности20, или процедуры зубьев пилы35.
Методы сравнения разностей оценок альтернатив. Во многих методах принимается как очевидный порядок действий, при котором нужно сначала оценить полезность альтернативы, а уже потом сравнить альтернативы между собой. Между тем существует группа методов, в которых принят совсем иной порядок: альтернативы сначала сравниваются покритериальио, а уже потом осуществляется общее сопоставление всех достоинств и недостатков каждой из них.
Пусть (х\, х2, ..., xN), (у 1, 7/2, у к) — оценки альтернатив х и у по N критериям. Тогда альтернатива х предпочтительней, чем альтернатива у, если
2 Ті [Ut (xt)-Ut (»,)]> 0t
«=1
где Uі — функция полезности ДЛЯ І-ГО критерия, фі — функция, определяющая влияние разностей оценок по г-му критерию на результат сравнения двух альтернатив.
Теоретическое обоснование модели сравнения сумм разностей оценок альтернатив было дано Л. Тверским 4:\ Он показал, что метод сложения разностей оценок совпадает с методом взвешенных сумм оценок критериев, если в первом из них все функции линейны. Он исследовал также свойства этого метода и доказал теоремы о транзитивности альтернатив. Эти теоремы утверждают:
При N=1 транзитивность будет всегда.
При N—2 транзитивность будет тогда и только тогда, когда cpt(?) = фj(t-z), где t — положительная постоянная.
При 3 транзитивность будет тогда и только тогда, когда все функции cpf линейны, т.
е. q>i(x)=tix.Рассмотрим случай, когда имеются две альтернативы и N критериев. Тогда при сравнении разностей оценок необходимо сделать N попарных сравнений оценок по N критериям. При непосредственной же оценке каждой из альтернатив необходимо 2N сравнений между оценками по различным критериям. Отметим также, что сравнение оценок по одному критерию осуществлять проще, так как при этом размерность не является помехой. При попарном сравнении можно ввести округления и считать оценки по ряду критериев примерно одинаковыми при малых различиях. Тогда все внимание будет перенесено на существенные различия. Но при всех этих достоинствах необходимо иметь в виду, что при нелинейной кривой полезности хотя бы по одному критерию в принципе возможна нетранзнтпвность в сравнении альтернатив.
Следует отметить интересный метод «припасовыва- ния»46, в котором используется сравнение разностей оценок для упорядочивания многомерных альтернатив. К последовательности альтернатив, упорядоченной по полезности
1Т\(Хи У\)>и2{х2, У2)>иг{Хъ, 7/з),
добавляется альтернатива U(xk4 ур). Место этой альтернативы в последовательности определяется путем сравнений
= xh и ,A2 = yi—yp.
Пример применения одного из методов. Метод сравнения разностей оценок альтернатив использовался для ре-шения задачи о назначениях исполнителей на определенные работы47. Исполнители и выполняемая работа оценивались по одним и тем же критериям. Оценки работы рассматриваются как требования, предъявляемые к исполнителю, а оценки исполнителя — как его возможности выполнять определенного вида работу.
Рассмотрим проблему выбора одного из двух исполнителей для определенной работы. Требуется выбрать ис-полнителя, оценки которого по критериям были бы ближе к оценкам работы. Полное совпадение оценок характеризуется как случай идеального назначения.
Первоначально рассматриваются попарно характеристики (совокупность оценок по критериям) работы и каждого из исполнителей. ЛПР путем попарного сопоставления величии падения качества (отклонение от оценок работы в худшую сторону) упорядочивает по- критериальные отклонения характеристик исполнителей от характеристики работы.
Относительно каждой пары отклонений принимается одно из следующих решений:а) одно из падений качества явно превосходит другое,
б) они примерно эквивалентны.
Далее ЛПР осуществляет первую операцию сравнения (OGP-1). Сравнивая упорядоченные по падению качества отклонения для двух исполнителей, определяет, не является ли наибольшее отклонение для какого-либо исполнителя столь большим, что явно доминирует над другим. Если в результате ОСР-1 удается установить факт доминирования одного исполнителя над другим по близости к работе, то сравнение окончено. Если нет, то ЛПР осуществляет операцию сравнения ОСР-2: поочередно сравнивает по два (начиная с наибольших) отклонения падения качества для разных исполнителей. При этом возможны два результата сравнения: а) падение качества для исполнителя Сі но одному критерию превосходит по своему значению (потере полезности) падение качества для исполнителя С} по другому критерию; б) оба падения качества эквивалентны (либо примерно эквивалентны).
Если в результате ОСР-2 удается определить отношения доминирования падений качества одного субъекта над другим, то сравнение окончено. Если нет, то ЛПР осуществляет операцию ОСР-3, сравнивая одно из падений качества для одпого исполнителя с совокупностью из двух падений качества для другого, пытаясь получить один из следующих результатов: а) доминирование, б) эквивалентность,
Если в результате ОСР-3 удается определить отношение доминирования падений качества одного исполнителя над другим, то сравнение окончено. Если же после использования операций ОСР-1, ОСР-2 и ОСР-3 информация, полученная от ЛПР, не позволяет установить большую близость (в пространстве критериев) характеристики одного из исполнителей к характеристике работы, то возможности исполнителей объявляются эквивалентными для данной работы.
При выполнении ОСР-1, ОСР-2 и ОСР-3 ЛПР факти-чески сравнивает элементы, отличающиеся оценками по 1—3 критериям. Если простые операции сравнения не позволяют явно установить факт доминирования, то исполнители имеют резко отличающиеся характеристики примерно одной величины близости к характеристикам работы.
Статистические оценки позволяют сделать вывод (при TV^IO) об очень большом проценте случаев, когда операции ОСР-1, ОСР-2 п ОСР-3 приводят к выводам об эквивалентности или доминировании47. При выявлении противоречий в ответах ЛПР требуются повторные опросы.Блок-схема метода приведена на рис. 10.
Рис. 10
П
редварительная оценка. Методы построения кривых или поверхностей безразличия очень трудоемки и малопригодны при N^'S.
Возможное появление иетранзитивностей при использовании методов сравнения разностей оценок альтернатив требует построения замкнутых процедур итеративного типа, в которых полученная при сравнениях информация проверялась бы на непротиворечивость. В большинстве случаев методы сравнения разностей оценок приводят к необходимости непосредственного сравнения многокритериальных альтернатив.