Методы порогов несравнимости
На основе выбранного бинарного отношения осуществляется попарное сравнение всех альтернатив, причем альтернативы, оказавшиеся лучшими при всех сравнениях, выделяются в новое множество, называемое ядром. Размер ядра характеризуется количеством альтернатив. Если бинарное отношение является отношением доминирования одной альтернативы над другой, при котором одна альтернатива имеет по всем критериям не худшие, а хотя бы по одному из критериев лучшие оценки, то появившееся при этом ядро называется множеством Парето.
Отметим, что проблемой выделения множества Парето издавна интересовались многие математики и экономисты. Выделение множества Парето может использоваться как самостоятельный предварительный этап во многих приведенных ранее методах принятия решений. Однако лишь для данной группы методов этот этап наиболее естественно согласуется с последующими.
После выделения ядра — множества Парето элементы этого ядра объявляются несравнимыми. Однако эта несравнимость имеет временный характер. После первого бинарного отношения задается второе, более слабое. Ядро, соответствующее второму отношению, содержит в общем случае меньшее число несравнимых элементов. Потом задается третье отношение и т.
д. Процесс получения ядер с уменьшающимся числом элементов продолжается до тех пор, пока количество элементов в ядре не достигнет требуемого значения. Эти элементы вместе с последним бинарным отношением предъявляются ЛПР как решение задачи. Наряду с этим ЛПР получает информацию о промежуточных этапах: о последовательности бинарных отношений, о совокупности ядер, об элементах, входящих в ядра (если их число невелико). Полученные в качестве решения элементы последнего ядра должны рассматриваться ЛПР двояко. С одной стороны, это «лучшие» элементы в смысле последнего бинарного отношения, с другой — эти элементы «крайне непохожи друг на друга».На изложенных идеях основаны известные французские методы ЭЛЕКТРА I, II, III (исключение и выбор в условиях реальности)18,00'51, а также некоторые дру-
ГІІ0
Бинарные отношения. В методах ЭЛЕКТРА бинарные отношения между альтернативами строятся следующим образом. Каждому из N критериев, имеющих числовые шкалы, ставится в соответствие целое число /;, характеризующее важность критерия. Б. Руа предлагает рассма-тривать р как «число голосов» членов жюри, голосующих за данный критерий 48.
Выдвигается гипотеза о превосходстве альтернативы а над альтернативой Ь. Множество /, состоящее из Л7 критериев, разбивается на три подмножества:
/+ Ъ) — подмножество критериев, по которым а предпочтительнее Ъ;
Is* (а, Ъ) — подмножество критериев, по которым а равноценно b;
/""(а, Ь) — подмножество критериев, по которым b предпочтительнее а.
Далее формулируется индекс согласия с гипотезой о превосходстве а над b. В методе ЭЛЕКТРА I этот индекс определяется как отношение суммы весов критериев подмножеств и /= к общей сумме весов:
2 Pi
с
— I==
ab — N
2 Pi
i-l
Наряду с этим в методе ЭЛЕКТРА I определяется индекс несогласия с гипотезой о превосходстве а над Ь. Для критериев подмножества /"(я, Ъ) определяются ^-—разности оценок альтернатив b и а. Эти разности для удобства выражаются в долях L — наибольшей (по длине) числовой шкалы критериев.
Индексы несогласия dab упорядочиваются по величине.. Очевидно, чтоВ методе ЭЛЕКТРА I бинарное отношение превосходства задается уровнями индексов согласия и несогласия. Если Саь^сі и dab^di (где си d\ — заданные уровни), то альтернатива а объявляется превосходящей альтернативу Ь. Уровни си d\ позволяют выделить ядро, в которое входят доминирующие и несравнимые элементы.
В методе ЭЛЕКТРА II гипотеза о превосходстве а над Ъ принимается, если индексы
pi 2 PI + і PI
. ІЗ/ ~ tah = -ІЛ Г И "
ab v n ~ab AT
~ 1 1 v />.
ІЄІ . ' *
г~ і
достаточно велики, а наибольший из индексов dab — достаточно мал. Здесь используются два типа отношения превосходства — сильное и слабое. Задаются уровни индексов согласия и несогласия:
1>сі>с2>с3>0, l>d2>di>0.
Отношения сильного превосходства определяются усло-виями:
СаЬ>Си ИЛИ СаЬ>С2,
dab саЬ^Съ\ dab Следующим логичным шагом является использование размытого отношения превосходства, использующего идеи размытых множеств54. Этот шаг сделан в методе ЭЛЕКТРА III51. Бинарное отношение между альтернативами в общем случае может определяться одним или несколькими индексами. При формировании этих отношений совсем не обязательным является использование весов критериев: так, в одном из методов53 критерии разбиваются на подгруппы, эквивалентные по важности, причем используется следующее бинарное отношение: альтернатива а превосходит альтернативу b тогда, когда хотя бы по одной подгруппе критериев она имеет больше лучших оценок (все критерии имеют шкалы с одинаковым числом оценок"), а по остальным подгруппам — не меньше число хо-роших оценок, чем альтернатива Ь. В отличие от методов ЭЛЕКТРА, метод предназначен для сужения первоначального множества альтернатив (достигающего нескольких тысяч) до подмножества, содержащего не более 20—30 альтернатив. Любое бинарное отношение определяет на множестве альтернатив подмножество недоминируемых альтернатив, называемое ядром. В качестве первого бинарного отношения во всех методах данной группы используется отношение полного доминирования, приводящее к выделению множества Парето. Далее рекомендуется использовать вложенные бинарные отношения 97 4 О И Ларичев SxCzSzCzSs... Так, в методе ЭЛЕКТРА I для индексов согласия и несогласия справедливо: cJ+i В связи с этим возникают проблемы общего характера: при каком виде бинарных отношений возможна не- транзптивность; когда результаты сравнения зависят от введения в исходное множество новых альтернатив. Эти проблемы нашли свое решение в работе М. А. Айзермана и его сотрудников56. Последовательное изучение множества альтернатив. Одной из причин, обусловивших появление методов ЭЛЕКТРА, была необходимость создания способов, позволяющих ЛПР влиять на процесс сравнения альтернатив. Совокупность параметров (веса критериев, уровни индексов согласия п несогласия) назначается ЛПР а изменяется им в случае необходимости. С помощью по-следовательности бинарных отношений ЛГІР изучает име-ющееся множество альтернатив. При числе альтерпатив, не превышающем 40—50, такое изучение может быть достаточно детальным. Прп большом числе альтернатив могут быть даны полезные количественные оценки. Пример применения одного из методов. На первом этапе решения задачи было построено дерево вариантов и предложен метод систематического перебора и оценки этих вариантов. На множестве вариантов, имевших оценки по 25 критериям, были последовательно — от сильных к слабым — использованы бинарные отношения. Первое из них, отношение было отношением строгого доминирования. Множество допустимых вариантов было частично упорядочено отношением Rі. Следовательно, все несравнимые элементы, не имеющие более предпочтительных, т. е. максимальные элементы исходного множества, образуют подмножество наиболее предпочтительных. При большом количестве вариантов исходного множества подмножество наиболее предпочтительных элементов, полученное с помощью отношения Ru также содержит слишком много элементов. Это приводит к необходимости формирования совокупности отношении, последовательное применение которых позволит выделить под-множество, содержащее количество вариантов, близкое к требуемому. Анализ критериев показал, что оценки по различным критериям не в одинаковой степени влияют на общую оценку качества технологической схемы. Из двух критериев более важным следует считать тот, ухудшение оценки по которому на одну градацию шкалы менее желательно с точки зрения экспертов. Оказалось, что критерии могут быть распределены по группам, содержащим одинаково важные критерии, а сами группы могут быть упорядочены по важности. Далее было использовано бинарное отношение R2, при котором сопоставлялось общее число хороших и плохих оценок по каждой группе критериев: вариант Ах лучше, чем A^AiR^Aj) тогда и только тогда, когда имеет хотя бы по одной группе критериев больше предпочтительных оценок, чем вариант Аи а по остальным группам не уступает ему. Анализируя варианты, несравнимые при использовании отношения можно выделить несравнимость оценок вариантов по одной группе критериев. Эта несравнимость может быть устранена при переходе от порядковых шкал для всех критериев к интервальным. При осуществлении этого перехода был введен штраф за понижение оценок по шкале каждого критерия, а затем бинарное отношение R3. Отношение /?3 на исходном множестве определяется следующим образом: АД^А^ тогда и только тогда, когда Ах имеет хотя бы по одной груп- 4* 99 пе критериев штраф меньше, чем Ah а по другим группам критериев не имеет больших штрафов. Варианты А{ и Aj эквивалентны, т. е. Ai^Ah если по каждой группе критериев они имеют одинаковые штрафы. Варианты At и Aj несравнимы, если один из них имеет меньшие штрафы по одним группам критериев, а другой — по Другим. Применение последовательности из бинарных отношений Ru Но и позволило уменьшить множество вариантов технологических схем шахт от нескольких тысяч до 1—2 десятков, которые и рассматривались далее на стадии окончательного выбора. Блок-схема метода приведена на рис. 11. Метод был дважды использован для решения практических задач. Предварительная оценка. Методы данной группы дают возможность ЛИР вмешиваться в процесс выбора, однако обилие параметров, которыми он располагает, ставит под сомнение их эффективное использование. При примене- нпи данных методов следует учитывать, что вид бинарного отношения, а также их последовательность существенно предопределяют результат выбора. Кроме того, надо поставить вопрос: всегда ли множество предпочтительных альтернатив должно включать доминирующие и несравнимые элементы? Существуют проблемы, когда необходимо выбрать подмножество лучших альтернатив. Если взять безусловно лучший вариант и вариант, незначительно отличающийся от него в худшую сторону по одному критерию, то второй из них не войдет во множество Парето. Между тем в ряде ситуаций логика выбора, безусловно, требует его включения в группу лучших. Непохожее не всегда является лучшим и об этом пе следует забывать.
