Сила зависит от скорости
Пример 7. Точка массой m падает вертикально вниз без начальной скорости под действием силы тяжести, испытывая силу сопротивления воздуха 
, где k – положительная константа, которая зависит от плотности среды и площади проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению движения (рис.
Решение. Направим ось х вертикально вниз, выбрав за начало координат положение точки в нулевой момент времени, т.е. 
(рис. 1.9). В произвольный момент времени прикладываем к точке действующие на нее силы 
и 
. Составим дифференциальный закон движения (1.5а)
.
Сократив на m правую и левую части уравнения и заменим 
на 
, получим
. (а)
Разделим переменные, помножим на dt и разделим на 
правую и левую части (а). Проинтегрируем полученное выражение с учетом начальных условий:
.
Вычисляя интегралы, получим
,
откуда
или
, (б)
поскольку lg1=0.
Потенцируя уравнение (б) и далее решая относительно V, имеем
,
откуда
. (в)
Переходя к пределу при 
, получим предельную скорость падения тела:
.
Предельную скорость можно получить проще из условия максимума скорости, т.е. равенства нулю ускорения (а):
Скорость, близкая к предельной, устанавливается довольно быстро (рис. 1.10). Величина скорости зависит от значения константы k. Если не учитывать сопротивление среды (k=0), то предельного значения скорости нет: 
пунктирная кривая на (рис. 1.10); при увеличении константы k , предельная скорость уменьшается.
На (рис. 1.11) показано падение тела массой 
с высоты без парашюта (k
0,003) – кривая В и с парашютом (k0,4) – кривая С. Если начальная скорость падения тела не нулевая (например 
), то при падении тела с парашютом (k0,4), скорость быстро затухает до своего критического значения – пунктирная кривая кривая D на (рис. 1.11).
Продолжим вычисление уравнения движения падающей точки. Заметим, что правую часть выражения (в) можно представить через гиперболический тангенс (th х):
.
Тогда выражение (в) можно записать как
.
Подставим вместо V ее значение 
, разделяя переменные и интегрируя правую и левую части, получим
,
или
.
Итак, уравнение движения падающей точки имеет вид
.
Здесь ch х – гиперболический косинус.
Замечание. При вычислении интегралов полезно пользоваться таблицей интегралов.