Задача о касательной

Пусть на плоскости дана непрерывная функция и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке .

Уравнение прямой по точке , принадлежащей этой прямой, и угловому коэффициенту имеет вид: , где , ( - угол наклона прямой). Из (рис.5.1) найдем тангенс угла наклона секущей : . Если точку приближать к точке , то угол будет стремиться к углу , т.е. при . Следовательно, .

Из задачи о касательной следует геометрический смысл производной: производная f′(x₀) есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой у=f′(x) в точке х₀, т.е. k= f′(x₀).

Следовательно, уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке х₀ примет вид

Пример. Найти производную функции f(x)=х².

Решение. Придавая аргументу х приращение ∆х, найдем соответствующее приращение функции:

Составим отношение:

Найдем предел этого отношения при ∆х → 0: