7 Истинные и ложные • проблемы теории вероятностей. Стратегия игры в рулетку
Теория вероятностей — область знаний, богатая всякого рода парадоксами. Это связано с двумя обстоятельствами.
Во-первых, порой нас подводит математическая интуиция. Примером этому служит приведенный здесь знаменитый «Петербургский парадокс» 1 Проще говоря, наш ум отказывается принять, что, после того как на рулетке десять раз подряд выпадает «черное», вероятность того, что в следующий раз выпадет «красное», не больше, чем вероятность, что в одиннадцатый раз выпадет «черное».
Во-вторых, теория вероятностей всегда абстрагируется от объекта своего исследования и имеет дело с некой математической идеализацией, которая порой противоречит здравому смыслу.
Здесь сталкиваются две школы: «пуристов» и «лак- систов» [4] [5]. Пуристы хотели бы ограничить область применения теории вероятностей исключительно теми задачами, ради которых она была создана. Лаксисты же хотели бы применять ее повсюду; при прогнозирова нии погоды, решении вопроса о жизни на других мирах, в разгадке тайны знаменитой «Железной маски» и т д Между этими двумя крайностями возможен разумный компромисс. Тем не менее в рассматриваемой ниже задаче мы можем следовать школе пуристов. БАНКНОТА В 100 ФРАНКОВ Месье Дюбуа положил на стол пачку банкнот по 50 и 100 франков. Чему равна вероятность того, что третья сверху банкнота будет 100-франковой? Ответ лаксистов. Поскольку мы не знаем ни общей суммы денег в пачке, ни числа банкнот у месье Дюбуа, искомая вероятность равна 1/2. Комментарий. Теория вероятностей неприменима к подобным задачам. Если нам совсем Не известны никакие данные, придающие задаче хоть какое-то подобие определенности, то нам остается лишь признаться в нашей несостоятельности — и не претендовать ни на что большее. Говоря, что имеется один шанс из двух за то, что неизвестная банкнота окажется достоинством в 100 франков, мы ничего нового не добавляем к тому простому утверждению, что это есть либо банкнота достоинством в 100 франков, либо банкнота достоинством в 50 франков. Точно так же не следует утверждать, что «в силу нашего полного незнания» имеется один шанс из двух за то, что существует жизнь на других мирах. Классическая теория вероятностей 1 применима к событиям, связанным с множеством событий равновероятных. То, что мы ничего не знаем про два взаимно дополнительных случайных исхода, вовсе не означает, что эти исходы равновероятны. Следует ли, однако, накладывать на область приложения теории вероятностей слишком сильные ограничения? Прилагательное «вероятный» используется в повседневности не только в чисто математическом смысле. Если, говоря о «вероятной погоде на завтра», мы заявляем, что имеется один шанс из трех за то, что завтра будет хорошая погода, то это означает, что если известные нам факторы (давление, температура, статистика за прошлые годы) не изменятся, то в среднем они в одном случае из трех влекут за собой хорошую погоду на завтра, а в двух случаях из трех — дождь. Точно так же под «Железной маской» скрывалась вполне определенная личность. Говорить при этом о «вероятности» весьма рискованно — нас могут осмеять. Но при тех исторических сведениях, какими мы располагаем, некоторые кандидаты кажутся более «вероятными», чем другие. Условившись не терять из виду точного содержания термина «вероятность», хороший историк все же может рискнуть сказать, что есть девять шансов из десяти за то, что под железной маской скрывался некий Есташ Доже [6] [7] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ В круге дана хорда АВ, длина которой равна радиусу круга (рис. 14). Чему равна вероятность того, что случайно проведенная хорда в этом круге окажется меньше, чем АВ? Можно рассуждать двумя различными способами. Проведем хорду АС, равную АВ (рис. 15). Затем проведем новую хорду из точки А. Если другой конец D новой хорды окажется на дуге САВ, то эта хорда будет меньше хорды АС. Искомая вероятность, следовательно, равна отношению дуг данного круга, ограниченных точками В и С, т. е. Но чтобы определить искомую вероятность, можно было бы равным образом отталкиваться от серединного перпендикуляра ОН, проведенного к хорде АВ (рис. Искомая вероятность равна тогда Обсуждение парадокса. Эти противоречивые результаты получились из-за того, что задача не была поставлена достаточно точно. Эту задачу нельзя отнести к правильно поставленным задачам теории вероятностей, в частности, потому, что способ выбора случайной хорды нам точно не указан. Аналогично задачи, начинающиеся словами «выбирается случайное число», или «точка на прямой», или «прямая на плоскости», могут приводить к ошибочным и противоречивым выводам, если способ «случайного выбора» числа, точки или прямой не указан точно. Возвращаясь к области приложений, более близкой к теории вероятностей, рассмотрим следующий парадокс. ПАРАДОКС «МАЛЬЧИК ИЛИ ДЕВОЧКА?» В некой семье — двое детей, причем известно, что по крайней мере один из них — мальчик. Чему равна вероятность того, что другим ребенком окажется девочка? Комментарий. На ум приходят два ответа. Либо мы считаем, что имеется один шанс из двух за то, что вторым ребенком окажется девочка. Но тогда наш ответ базируется на интуиции, доверять которой опасно. Либо мы констатируем, что эта задача, сформулированная подобным образом, не имеет особого смысла. В самом деле, поскольку мы знаем, что в семье есть два ребенка, один из которых — мальчик, то второй ребенок — либо мальчик, либо девочка. Значит, как и в задаче о банкнотах в 100 франков иди о жизни на Марсе, мы вынуждены ограничиться лишь повторением того, что нам известно. На самом деле, если поставить эту задачу более точно, то ее можно свести к ситуации с множеством равновероятных элементарных исходов; однако здесь как будто тоже можно прийти к двум разным ответам. Действительно, поставим задачу так: какую долю среди всех семей, где есть двое детей, хотя бы один из которых — мальчик, составляют семьи, где другой ребенок — девочка? Эту задачу можно свести к сходной задаче. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ИЗВЛЕЧЕНИЕ ДВУХ ШАРОВ Рассмотрим следующую игру. Имеется некоторое множество шаров, состоящее из равного количества черных и белых шаров. Игрок извлекает шары из этого множества случайным образом, так что вероятность вытянуть белый шар в точности равна 1/2. (Можно представить себе, что другой человек после каждого вытягивания шара добавляет к множеству всех шаров шар того же цвета, что и извлеченный, дабы поддержать равенство между числом черных и белых шаров.) Игрок вытягивает последовательно два шара. Таким образом, мы оказываемся в той же ситуации^ что и в предыдущей задаче (с той лишь разницей, что вероятность появления мальчика или девочки не равна в точности 1/2). Известно, что один из двух вынутых шаров — белый. Чему равна вероятность того, что другой шар окажется черным? Анализ этой задачи можно провести двумя разными способами, благодаря чему, собственно, и возникает парадокс «Мальчик или девочка». Первое решение. При вытягивании двух шаров имеются четыре возможных исхода: белый — белый, белый — черный, черный — белый, черный — черный. Известно, что один из двух вытянутых шаров оказался белым. Но это происходит в одном из первых трех случаев, причем в двух из них другой шар оказывается черным, а в одном — белым. Значит, шансы за то, что второй шар окажется черным, равны двум из трех: искомая вероятность 2/3 — 0,66. Второе решение. Имеются четыре возможных исхода. В этих четырех исходах белый шар фигурирует четыре раза. Известный нам белый шар может быть любым из этих четырех шаров. Два раза из четырех этот белый шар встретится нам «в компании» с другим белым шаром (этот другой белый шар может быть первым или вторым в первой позиции из предыдущего решения) и два раза из четырех — с черным шаром. Обсуждение парадокса «Мальчик или девочка». Какой же результат является правильным: 2/3 или 1/2? Ответ на этот вопрос можно получить, более тщательно анализируя постановку задачи. В первом решении мы не продвинулись дальше констатации того факта, что «один из вынутых шаров оказался белым»; мы, не раздумывая, заявили, что среди семей, где есть хотя бы один мальчик, в двух семьях из трех есть мальчик и девочка, никак не уточняя, что же мы точно имеем в виду, говоря «в двух семьях из трех». Поэтому хотя первое решение и нельзя, строго говоря, назвать «ложным» — ведь ошибки мы, кажется, не совершили,— но его все-таки следует отбросить, поскольку оно не содержит никакого анализа условия задачи. Во втором решении мы стремились уточнить способ действия (который не был дан в условии задачи). Можно, например, представить себе, что два вынутых шара один за другим падают в ящик и что игрок затем случайно выбирает один шар из этого ящика. Пусть этот шар оказался белым. Чему равна вероятность того, что другой шар окажется черным? После такого уточнения возможностей вынуть белый шар на самом деле окажется четыре, причем два раза из четырех «еппровождающим» шаром будет черный. В результате уточнения способа, с помощью которого извлекаются шары, мы получаем согласующийся с нашей интуицией ответ: 1/2. В заключение заметим, что математические выводы возможны лишь в задачах с достаточно ясными условиями, допускающими перевод на, язык логики Когда имеется некая двусмысленность, как в нашем первом решении, или же, как мы это увидим в последней главе, в случае логических парадоксов математические рассуждения не приводят ни к каким конкретным выводам. Рассмотрим теперь несколько задач из теории вероятностей, где, с одной стороны, нас подводит интуиция, а с другой — точное, но недостаточно внимательное к существу дела применение математических методов ведет к совершенно нереальным выводам, показывая тем самым границы применимости теории вероятностей. РУЛЕТКА Безусловно, именно рулетка породила многочисленные искажения теории вероятностей при выработке подходящей стратегии игры. В Приложении III описана рулетка, даны соответствующие стратегии игры в рулетку и дан всесторонний математический анализ этой игры. Математически обоснованная стратегия, согласно Д’Аламберу, состоит в том, что ставят на простой выигрыш, например на «красное», так, чтобы в каждой серии выиграть 1 франк, удваивая ставку в случае проигрыша до тех пор, пока не выиграют (см. Приложение III). 1 Вот задача почти такая же, как та, которую мы разбирали, и сформулированная достаточно строго: чему равна вероятность того, что среди двух первых детей в некой семье по крайней мере один окажется мальчиком? Здесь условие не содержит никаких двусмысленностей и приводит к ответу 3/4 (при этом мы, конечно, абстрагируемся от того, что вероятность появления мальчика не равна в точности 1/2) Эта стратегия была бы беспроигрышной, если бы не существовало ограничений на ставки игроков либо в виде максимально допустимой ставки, либо просто из-за того, что игрок не располагает достаточно большой суммой денег. Второй тип стратегии состоит в том, что наблюдают некоторую серию предыдущих игр и в зависимости от ее результатов с помощью более или менее сложных правил выводят, какой именно цвет при очередной ставке следует предпочесть. При таких стратегиях предполагается, что шарик рулетки обладает своего рода памятью и поэтому результат очередной партии зависит от серии предыдущих партий. Если применить теорию вероятностей к предыдущим правилам, дабы определить последовательные ставки как функции предыдущих, то мы легко получим, что при любой выбранной системе игры математическое ожидание проигрыша всегда составляет 1/74 сделанных ставок \ Априори имеется только один шанс из 1024 за то, что «решка» выпадет подряд 10 раз. Но когда «решка» выпадает подряд 9 раз, то 9/10 всего «пути» оказывается уже пройденным. И потому имеется один шанс из двух, что решка выпадет и в 10-й раз. Похоже, что из подобных же соображений солдаты в первую мировую войну прятались во время артобстрела в воронке от снарядов, считая, что вероят- 1 1/74 при простых ставках и 1/37 при ставках на числах (см. Приложение III) ность попадания снаряда дважды в одну и ту же воронку ничтожно мала *. Здесь тот факт, что снаряд уже попал в данное место, снова означает, что половина «пути» пройдена, однако шансов на то, что следующий снаряд упадет в уже готовую воронку, ничуть не меньше, чем на то, что он упадет на тридцать метров дальше. И тем не менее, хотя логика и заставляет нас рассуждать подобным образом, разве интуиция не побуждает нас поставить на «красное» в десятый раз («красное» обязательно должно выпасть сейчас!) и спрятаться в воронку от снаряда? Сейчас мы увидим на примере так называемого «Петербургского парадокса», что чисто математическое рассуждение, даже безупречное, может привести к выводам, которые здравый смысл отказывается принять. «ПЕТЕРБУРГСКИЙ ПАРАДОКС» И НЕСКОЛЬКО ВЕРОЯТНОСТНЫХ ЗАДАЧ Первая предварительная задача. Игрок и банкир встречаются за игорным столом, причем игра идет на следующих условиях. Игрок делает ставку на некий номер, выбранный произвольно из десяти возможных номеров (от 1 до 10). Если выпадает номер, выбранный игроком^ то банкир вручает игроку 9 франков. Если же этого не происходит, то банкир забирает ставку игрока. Какой должна быть ставка игрока, чтобы игра оказалась честной? Ответ. Пусть пг — это ставка. У игрока есть один шанс из 10 выиграть 9 франков и 9 шансов из 10 потерять m франков. Чтобы игра была честной, должно выполняться соотношение Следовательно, пг = 1. Вторая предварительная задача. Игрок и банкир встречаются за игорным столом при тех же условиях 1 В этом теоретическом (и притом — неправильном!) рассуждении мы не учитываем, очевидно, того чисто практического соображения, что солдату лучше укрыться на дне воронки, чем находиться под огнем на открытой местности. цгры с той только разницей, что на сей раз игрок вместо 9 франков получает 9000. Чему должна равняться ставка т нашего игрока? Ответ. Чтобы игра была честной, ставка игрока должна равняться 1000 франков. Если игрок и банкир решат провести на этих условиях ряд партий, то риск для игрока окажется приемлемым. Теперь выигрыши и проигрыши игрока оказываются более значительными, чем в предыдущей игре, но игрок может надеяться выигрывать в среднем чаще одного раза из десяти и тем самым остаться в выигрыше после всей серии партий. Напротив, если игрок и банкир решат сыграть всего один раз, то вопрос о риске для игрока можно сформулировать так: рискнет ли игрок потерять свою ставку в 1000 франков (девять шансов из десяти) взамен лишь на один шанс из десяти выиграть 9000 франков? В самом деле, честность игры — не достаточное условие для того, чтобы игрок рискнул своими деньгами. Третья предварительная задача показывает это со всей определенностью. Третья предварительная задача. Если вновь изменить условие задачи и принять на сей раз, что имеется 1 000 000 номеров и выигрыш Для игрока, который ставит 1000 000 франков, равен 999 999 000 000 франков, когда выпадает его номер, то можно видеть, что игрок должен ставить каждый раз по миллиону франков в обмен на единственный шанс из миллиона выиграть (правда, миллион собственных ставок без одной!). Несмотря на то что эта игра честная (или, говоря иначе, безобидная), какой игрок рискнул бы в нее сыграть? Это ясно показывает границы применимости математических рассуждений к реальным играм. «ПЕТЕРБУРГСКИЙ ПАРАДОКС» В СОБСТВЕННОМ СМЫСЛЕ СЛОВА Игрок играет в «орла» и «решку» против «банка», представителем которого является определенное лицо, именуемое «банкир». В начале игры игрок вручает банкиру некую ставку. Затем он подбрасывает монету. Если выпадает «решка» (цифра), то игрок проигрывает, игра прекращается и банкир забирает первоначальную ставку игрока. Если выпадает «орел» (герб), то банкир вручает игроку 2 франка, причем игра на этом не кончается. Многократно подбрасывается монета. Если выпадает «решка», игра прекращается и банкир забирает поставленную игроком ставку. Если выпадает «орел», банкир вручает некоторую сумму игроку: 2 франка при первом бросании плюс 4 франка при втором бросании (если второй раз подряд выпадает «орел») плюс 8 франков при третьем бросании... плюс Т франков при n-м бросании и т. д. Какова должна быть начальная ставка игрока, чтобы игра стала «безобидной»? Ответ. Вероятности выигрыша игрока будут следующими: один шанс из 2 выиграть 2 франка, один шанс из 4 выиграть 4 франка, Таким образом, шанс \ оценивающий выигрыш игрока, следует считать бесконечным. Чтобы игра стала безобидной, первоначальная ставка игрока должна быть бесконечной (!). Имеются различные объяснения этого парадокса. Например, говорят, что решение этой задачи предполагает существование бесконечно богатого игрока, а поскольку такого игрока нет, то нет и никакого парадокса. На самом деле гораздо более простое решение вытекает из анализа, проделанного в предыдущей 1 Точнее, среднее значение (математическое ожидание).— Прим, перев. задаче: здравый смысл находит нецелесообразным ставить большую сумму ради пренебрежимо малого шанса выиграть сумму, гораздо большую, чем та, которая была поставлена. В предыдущем рассуждении можно выделить два этапа, второй из которых возвращает нас к исходной точке. Во-первых, мы отметили, что математическая интуиция, которая привела бы нас к начальной ставке в 10, 20 или, быть может, 30 франков, несостоятельна. Но, во-вторых, мы отмечаем, что здравый смысл игрока соединяется с математической интуицией, не принимая условий этой игры, хотя она честная и логичная. Математика создана человеком, исходя из его потребностей. Она удовлетворяется тем, что устанавливает различные логические соотношения, отправляясь от исходных элементов, фиксированных человеком,— в данном случае правил игры и того, что понимается под «безобидной» игрой. В нашем анализе «Петербургского парадокса» мы не ввели понятий «разумного риска», который принимает игрок, или «максимально допустимого проигрыша» игрока. Не удивительно поэтому, что мы пришли к неразумному, «парадоксальному», выводу. Но возможно ли найти математический подход к задаче, который учитывал бы психологию игрока? Можно ли, например, требовать от теории вероятностей, чтобы она снабдила нас «разумной» стратегией игры в рулетку? «РАЗУМНАЯ» СТРАТЕГИЯ ИГРЫ В РУЛЕТКУ Можно счесть парадоксальным (но вполне в духе главы, посвященной краткому описанию парадоксов теории вероятностей), что мы говорим о «разуме», тогда как игра — это сплошная страсть. Оставляя в стороне азарт игры, можно найти три объяснения в поддержку тех, кто рискует играть в рулетку. 1. Во-первых, даже если бы игра не была безобидной и у банка оказалось больше шансов на выигрыш, чем у игрока, не было бы ничего невероятного в том, что, с одной стороны, в какой то из вечеров банк останется в проигрыше и что, с другой стороны, даже если банк и выигрывает в целом, то попадаются отдельные игроки, которым удается выиграть у банка. Даже при очень длительной игре, например в 1000 партий, где банк выигрывает почти наверняка, из сотни игроков двадцать или тридцать (их число зависит от их системы игры — на номера или на простые шансы) окажутся в выигрыше. Хотя речь здесь идет лишь о следствиях из свойств случайных величин, правильно предсказываемых теорией вероятностей, выигравшие игроки увидят в этом блестящее подтверждение эффективности используемых ими стратегий игры. 2. Игроки, использующие стратегии игры типа стратегии Д’Аламбера, выигрывают в большинстве случаев. Игрок, который выигрывает девять раз подряд и потеряет весь свой выигрыш за один десятый раз, будет склонен рассматривать свои победы и поражения в свете более оптимистичном, чем это есть в реальности, относя свой большой проигрыш за счёт невезения и переоценивая свои выигрыши по сравнению с проигрышами. 3. Разумный игрок, который играет лишь от случая к случаю, может подвергаться лишь ограниченному риску. С одной стороны, закон больших чисел применим, только начиная с некоего порога, который мы хотим оценить. С другой стороны, разумный игрок, который, применяя некую стратегию игры, выиграет, например, десять раз подряд, не заметит, что его шансы на проигрыш возросли. Это, к несчастью, может послужить побудительным мотивом к продолжению игры. Как показано в Приложении III, разумная стратегия игры может состоять в том, чтобы в серии из ста партий пользоваться стратегией Д’Аламбера. Эта разумная стратегия дает игроку. девять шансов из десяти выиграть сумму в 100 на чальных ставок, играя с начала некой серии; один шанс из десяти проиграть сумму в 924 на чальные ставки. А какова вероятность проиграть дважды в сериях из ста партий, т. е. проиграть сумму в 2000 начальных ставок? Эта вероятность близка к 0,3%. Окончательна эта стратегия, хотя и разумная, дает много шансов добиться малых выигрышей и один небольшой, но не пренебрежимо малый шанс оказаться в большом проигрыше. Не состоит ли последний парадокс в следующем: игрок отказывается играть в игры безобидные, но с увеличенными шансами на проигрыш и, наоборот, предпочитает играть в рулетку, игру благоприятную для банка, где рискует проиграть много, только если много играет, но где шансы на выигрыш очень малы, когда число партий велико? Парадоксы «Мальчик или девочка», «Банкнота в 100 франков» и «Петербургский парадокс» объясняются легко: недостаточно точная постановка задачи, неполные данные, нестрогое использование теории вероятностей. Последний же парадокс можно объяснить, лишь обращаясь к психологии игрока. Кроме того, страсть к игре и надежда на выигрыш, неверное представление о реальности толкают игрока на принятие необоснованных решений. Впрочем, много ли найдется игроков, которые действительно сознавали, что есть лишь один шанс из двух выпасть «красному», после того, как «черное» выпало десять раз подряд!
