Игра в шары и карты, гребля и выборы президента клуба
На контрольной по арифметике никто не показал блестящих результатов. Жанно даже получил нуль. Чтобы немного утешиться, мальчики решили в субботу после обеда поиграть в шары.
В воскресенье была хорошая погода.
Воспользовавшись этим, Жанно отправился на речку покататься на лодке. А вечером собрались все члены клуба, чтобы выбрать себе президента. Вот сколько возможностей представилось Жанно, чтобы освежить в памяти таинственные законы, управляющие числами, и тем самым подготовиться к следующей контрольной по арифметике.1. ГРЕБЛЯ
Жанно требуется 2 ч, чтобы спуститься на лодке вниз по реке, и 3 ч, чтобы вернуться обратно.
Если Жанно гребет все время с постоянной частотой и силой, то сколько времени потребовалось бы ему, чтобы пройти по озеру то же расстояние, которое, двигаясь по реке, он преодолевает за 5 ч?
2. ПАРТИЯ В БАККАРА [2]
После очередной партии в баккара Жак, Пьер и Клод, у которых осталось по целому числу франков, подсчита ли, что сумма, оставшаяся у Жака, плюс 1443-кратная сумма Пьера равна 2923-кратной сумме Клода.
При этом известно, что хотя Жак и не проигрался до конца, но у него осталось не больше чем 50 франков.
Сколько денег осталось у Клода?
3. КРУПНАЯ ИГРА В ШАРЫ
Жанно и Клод имеют вместе 26 шаров; Клод и Николя— 17 шаров; Николя и Поль — 31 шар; Поль и Пьер— 13 шаров, а Пьер и Жанно — 23 шара.
Сколько шаров было у Жанно, Клода, Николя, Поля и Пьера, вместе взятых?
4. ВОЗРАСТ КАПИТАНА
Капитан сказал своему сыну: «Утроенный квадрат твоего возраста плюс 26 лет равен квадрату моег< возраста». Сколько лет капитану?
5. ГАЛСТУКИ
Три голубых галстука стоят вместе 20 франков, два желтых галстука и один красный — 20 франков.
Месье Блё, месье Жон и месье Руж [3] купили втроем 30 галстуков на 300 франков, причем каждый из них купил по крайней мере один галстук, и все они выбрали галстуки того цвета, который соответствует фамилии покупавшего.
Месье Вер знал, что один из остальных трех покупателей купил ровно столько галстуков, сколько он сам. Вер (надо ли говорить, что месье Вер покупал галстуки исключительно зеленого цвета) — и это помогло ему определить, сколько галстуков купили его друзья.
Кто купил больше галстуков — месье Жон или месье Блё?
6. ОЖЕРЕЛЬЯ
На рынке Жак приценился к ожерельям у трех продавцов, которые предлагали ожерелья по двум разным ценам и каждый предлагал ожерелья одного из двух типов.
Каждому из продавцов — молодому, старому и сред них лет — Жак задал по одному вопросу:
Дороже ли ожерелье самого пожилого из продавцов ожерелья самого молодого из них?
Дороже ли ожерелье продавца средних лет ожерелья самого пожилого продавца?
Не продадите ли вы мне два ожерелья за 100 франков?
Все три раза Жак получал один и тот же ответ. Купил ли он эти два ожерелья за 100 франков?
7. АВТОМОБИЛЬНЫЕ ГОНКИ
Два автомобиля стартуют одновременно. Первый регулярно проходит каждый круг за 1 мин, а второй — за 1 мин и 0,5 с. Через сколько кругов и в каком месте круга вторая машина догонит первую?
8. ВЫБОРЫ ПРЕЗИДЕНТА КЛУБА
На выборах президента клуба 48 его членам предлагалось голосовать за трех кандидатов — Жака, Пьера и Бернара.
Каждый член клуба должен на выданном ему листке для голосования перенумеровать трех кандидатов в порядке предпочтения. При подсчете голосов выяснилось, что Жак оказывался впереди Пьера чаще, чем Пьер впереди Жака. Пьер оказывался впереди Бернара чаще, чем Бернар впереди Пьера. Однако президентом клуба был избран именно Бернар.
Как это оказалось возможным? Попробуйте объяснить этот парадокс.
Любой многоугольник можно преобразовать в любой другой равновеликий ему многоугольник, разрезав его предварительно на конечное число многоугольных частей.
Доказательство этого утверждения не сложно, хотя и достаточно длинно. Напротив, по-видимому, не известно, как доказать, что разрезание является именно тем, которое позволит перейти от одного многоугольника к другому посредством разбиения первого на наименьшее возможное число частей.
Такое доказательство, по-видимому, еще можно найти в случае простых разрезаний, связанных с разбиением многоугольника на три или четыре части. Но оно, конечно, будет более трудным в случае сложных разрезаний, когда число частей превосходит восемь или десять.
Однако вернемся к треугольнику. Разрезания прямоугольника и параллелограмма, рассмотренные в гл. 2, подготовили нам необходимую почву для решения соответствующих задач с треугольником. К разрезанию треугольника общего вида лучше всего подойти, решив три следующие довольно легкие задачи.
ЗАДАЧА 1
Можно ли найти простое разрезание, содержащее пять частей и позволяющее преобразовать равносторонний треугольник в квадрат (рис. 8)?
ЗАДАЧА 2
На рис. 9 изображен прямоугольный треугольник. Можно ли преобразовать его в квадрат, разрезав предварительно на четыре части?
ЗАДАЧА З
Предыдущую задачу удалось легко решить, сведя ее к случаю прямоугольника с отношением сторон, меньшим 2. На рис. Ю изображен другой прямоугольный треугольник, который нужно преобразовать в квадрат, разрезав только на четыре части Однако в качестве дополнительного условия мы
требуем, чтобы отношение сторон промежуточного прямоугольника было больше 2.
Таким образом, потребуются четыре части, чтобы перейти от квадрата к прямоугольнику, и еще одна часть— чтобы перейти от прямоугольника к треугольнику; итого — пять частей.
Однако удается обойтись только четырьмя частями. ЗАДАЧА 4
Рассмотрим теперь треугольник общего вида (рис. 11) Можно ли преобразовать его в квадрат, разрезав на пять (или меньше) частей?
ЗАДАЧА 5
Аналогично, можно ли преобразовать в квадрат треугольник, изображенный на рис 12, разрезав его меньше чем на пять частей?
ЗАДАЧА 6
Треугольник, изображенный на рис. 13, обладает той особенностью, что длина каждой его высоты оказывается меньше длины стороны, на которую эта высота опускается. Поэтому разрезание, использованное в решении предыдущей задачи, в данном случае неприменимо.
Можно ли, однако, и здесь найти решение, содержащее меньше пяти частей?