НАУЧНОЕ СОТРУДНИЧЕСТВО БРАТЬЕВ ГРАССМАНОВ  

Автор просит уважаемых читателей и современников прочесть и оценить эти труды. Он призывает ученых указать - там, где он заблужда&ется, - на его ошибки и опровергнуть его взгляды; он охотно примет во внимание каждое возражение; однако он просит господ ученых также откровенно признать те истины, которые открыты им и не могут быть опровергнуты.

Еще более трагично звучали слова, написанные Робертом Грассманом раньше, в 1881 г., в предисловии, помещенном в томе III «Системы знания». С горечью констатируя, что семью Грасс- манов в науке преследует своего рода злой рок - им отмечена не только научная судьба брата Германа, но и его отца, Ю. Грассма&на, кристаллографическая теория которого была признана лишь посмертно, он просит «господ ученых» - философов, математиков, физиков, не ожидая смерти автора, прочитать его труд; «пусть они не замалчивают последний, а дадут ему оценку: ясную оцен&ку. Автор ведь не юноша - он старец, предлагающий здесь плоды труда, на который ушла целая жизнь»[47].

«Господа ученые» остались глухи к этому призыву. Но если научный мир почти полностью прошел мимо штеттинского «эн&циклопедиста», - исключение составляло лишь «Учение о поня&тиях» Р. Грассмана, обратившее на себя внимание тех, кто разра&батывал математическую логику (что в 1890 г. и не преминул от&метить Р. Грассман, утверждая, что его «Логика» 1872 г. «нашла отклик у математиков Европы и Америки»[48]), - то этого нельзя сказать о его старшем брате. Сотрудничество Германа и Роберта Грассманов - это фактор, без учета которого трудно уяснить то ценное, что есть в их наследии, относящемся к логике и филосо&фии математики.

На с.

Мы, два брата, были связаны крепчайшей дружбой и много лет подряд ежедневно часами работали вместе, то в области языкознания, то - филосо&фии, то - математики и физики... Позже мы разделили работу, и каждый пошел своим путем; однако и в это время наше общение продолжалось.

Как эта совместная работа и общение развивались на фило- софско-математической и логической почве? Помимо упоминав&шихся выше источников, представление об этом можно полу&чить из «Предисловия к "Учению о мышлении"» и «Предисловия к "Учению о величинах, основной части учения о мышлении"», входящих во вторую половину тома I «Системы знания», а также из Предисловия к «Логике» 1890 г.[49] Картина складывается сле&дующая.

Сотрудничество братьев началось в конце 1846 г. и активно продолжалось в 1847 г., затем последовал восьмилетний перерыв, и совместная работа возобновилась в 1855-1856 годах. Исходным пунктом служили идеи Г. Грассмана, изложенные в труде 1844 го&да. Исследования 1847 года велись на основе отдельных ветвей «учения о формах» - арифметики, учения о протяженностях, а также комбинаторики; как пишет Р. Грассман, братья старались обобщить операции, имеющиеся в этих «ветвях», с тем, чтобы подвести под них общее основание (которым потом стало «уче&ние о величинах»). Материальным свидетельством этой работы являются, по-видимому, некоторые рукописи, фигурирующие в приводимом Ф. Энгелем[50] «Обзоре рукописного наследия Грасс&мана в областях математики и физики»[51]. Под рубрикой «Общие вопросы» там упомянуты шесть материалов, относящихся к «Об&щему учению о формах», причем относительно первых двух «раз&работок» (Bearbeitung) отмечено: «совместно с Робертом»; «тре&тья разработка», имеющая заголовок «Всеобщее учение о фор&мах», датирована 1846 годом, т.е.

Однако труд по разработке общей основы выделявшихся братьями основных «ветвей» математики тогда не дал результа&тов, которые удовлетворили бы Грассманов: как пишет Роберт, они не смогли прийти к формулировке законов, которые показа&лись бы им плодотворными. Поэтому они отложили в сторону «учение о формах» и принялись за «учение о числах» и «учение о протяженностях»[52].

Здесь обращает на себя внимание тот факт, что последующее продвижение, в продолжение труда 1844 г., Германа Грассмана в «учении о протяженностях», завершившееся публикацией вари&анта 1862 г., производилось в ходе научного взаимодействия с Робертом. Р. Грассман пишет, что дальнейшая разработка этой ветви «учения о формах» «была осуществлена в 1847, 1855 и 1856 годах совместно моим братом и мною; вслед за этим мой брат разработал и издал в 1862 г. "Учение о протяженностях"».

В 1847 г. братья работали также над арифметикой, которую они строили на совершенно новых для того времени началах - об этом мы будем говорить подробно. Во второй период к работе над «учением о протяженностях» и арифметикой присоединилась разработка математической логики и комбинаторики. В «Преди&словии к "Учению о мышлении"» Р. Грассман говорит о своем труде «Учение о формах, или Математика» (1872), что входящие в него «Логика» и «Учение о комбинациях» «содержат все пред&ложения (теоремы. - Б.Б.,Л.Б.)> полученные моим братом и мной в 1855 и 1856 годах, к которым я потом, в 1871 году, добавил даль- нейшие предложения»; ср. также прямое высказывание Г. Грасс&мана о том, что содержание «Логики» его брата, выпущенной в 1872 г., было совместно разработано ими обоими[53]. Вместе с тем Роберт Грассман был настолько в курсе той теории, которую со&здавал его брат под названием «учения о протяженностях» (и, как следует из его собственных слов, принимал участие в ее разработ&ке), что дважды - при жизни брата, в 1872 г., и после его смерти, в 1891 году[54], излагал теорию «экстенсивных величин», причем последний вариант был переиздан в издательстве Р.

О формах сотрудничества братьев представление можно со&ставить на основании свидетельств Роберта. Из краткого жизне&описания брата, сделанного Робертом вскоре после смерти Гер&мана, отрывок из которого приводит Ф. Энгель, мы узнаем, что Герман осенью 1846 года

приступил совместно с братом Робертом к строгому пересмотру математи&ческих понятий. Оба ставили задачу достичь наибольшей строгости, ничего не определять [erklaren] дважды, но и не оставлять не определенным либо не уясненным. Они применили при этом плодотворный метод, состоявший в том, что одну неделю сообщение делал один из братьев, другой же подвер&гал его критике, а на следующей неделе, наоборот, сообщение делал второй брат, а первый его критиковал. Таким способом они совместно проработали учение о комбинациях и учение о числах, учение о протяженностях, уравне&ния и ряды, а также логику и пришли к решению, что Герман должен само&стоятельно разработать и опубликовать «Учение о числах» и «Учение о про&тяженностях», а Роберт - «Логику» и «Учение о комбинациях»[55].

Герман Грассман первым выполнил взятую на себя задачу. Как мы отмечали, он уже в 1860-1861 гг. выпустил «Арифметику», а в 1861-1862 гг. - второй вариант «Учения о протяженностях». Роберт же, занятый политической и издательской деятельно&стью, вернулся к научным занятиям лишь в 1870 г. Что же имел в виду Р. Грассман, говоря о «строго научном методе»?

Заметим, что о «строгой научности» своих сочинений, о при&менении им «строго научных доказательств», «строго научного метода», «строго научной формы» изложения Р. Грассман гово&рит почти во всех своих книгах, по многу раз повторяя эти слова как заклинания. В большинстве случаев эта «научность», проти&вопоставляемая тому, что делали профессионалы-специалисты в своих областях, носила произвольный, а нередко фантастический характер. Однако в применении к математике и логике тезис о «строго научном методе» имел вполне конкретное - и, как мы увидим, достаточно рациональное - основание.

Вернемся к «генетическому», как мы его назвали, замыслу по&строения «чистого учения о формах», сформулированному во вводных разделах «Учения о линейных протяженностях» Г. Грасс&мана, и резюмируем его в двух пунктах; затем попытаемся просле&дить те выводы, которые можно было сделать из этого замысла. Во-первых, математика (как и философия) в работе 1844 года тра&ктовалась как наука об умственных построениях, а это влекло за собой задачу четкого описания способов мысленного конструиро&вания; философия понималась как наука о «всеобщем», математи&ка - как наука об «особенном». «Особенное» при этом выступало как то, из чего строятся более сложные образования; а это необ&ходимо приводило к постулированию полагаемых в ходе умствен&ной деятельности исходных, наипростейших элементов, к кото&рым, в конечном счете, должны сводиться любые логические и математические конструкции. Изучение наследия братьев пока&зывает, что именно такими и были выводы, которые они сделали в 1847 г. Младший брат говорит об этом так:

Уже тогда (в 1847 г. - Б.Б., Л.Б.) им удалось для обеих ветвей (т.е. для арифметики и учения о протяженностях. - Б.Б., Л.Б.) устранить ряд ошибок в доказательствах и изложить эти учения с полной строгостью. Математи&ки обычно допускают, чтобы математические величины, например числа, возникали различным образом, не доказывая при этом, что результаты будут одинаковыми; например, число 7, согласно их подходу, может полу&читься из 6 + 1 и из 5 + 2. Братья поняли, что это неверно, что если стре&миться к научной строгости, то каждую величину надлежит порождать единственным - причем самым простым - способом из непосредственно предшествующих величин путем последовательно устанавливаемых связей (как, например, 7 строится из 6 + 1) и что каждое строгое доказательство должно проводиться последовательно - таким способом, что если данное предложение верно для д, то оно должно быть верно и для а + 1. Это был самый значительный результат тогдашней совместной работы[56].

На значение результатов совместной работы с братом, про&веденной в 1847 г., Роберт указывает во многих своих трудах, от&мечая, что именно тогда они совместно обосновали - «в строго научной форме» - для учения о формах, или математики (а имен&но для учения о числах, а также для учения о протяженностях) законы сложения и вычитания, умножения и деления, используя поступательные [fortleitende], или индуктивные, доказательст&ва.

научного знания.

* * *

Оригинальность взглядов братьев Грассманов в философии математики и логике не подлежит сомнению. Так, ведущие идеи грассмановского построения арифметики носили (в своих осно&вах, во всяком случае) индуктивно-рекурсивный, т.е. конструк&тивный, характер, что резко отличало их от построения теории чисел их современниками. Это обстоятельство наталкивает на мысль о конструктивности и «общего учения о формах (величи&нах)» как теории, которая, по замыслу ее создателя, должна пред&шествовать арифметике и «учению о протяженностях». Но в тру&де Г. Грассмана 1844 года конструктивность эта явно выражена не была: позицию его автора можно охарактеризовать как «гене&тическую» установку.