СОБСТВЕННЫЙ ПУТЬ
Предлагаемая разработка арифметики, которая в своих сущесгвеылых чертах представляет собой совместный труд - мой и моего брата Роберта, - претендует на то, чтобы явиться первой строгой научной разработкой дан&ной дисциплины, более того - на то, что используемый в ней метод, несмотря на то, что он сильно отличается от обычного, во всех своих существенных чертах есть не просто один из возможных, но единственно возможный для строго последовательного и соответствующего существу дела представле&ния этой науки[15].
Еще ранее, в Предисловии к труду «Учение о протяженно&стях», вышедшему в 1844 г., автор выражал надежду, что в разра&ботанном и представленном в книге «новом анализе» он нашел «единственно отвечающий существу дела метод приложения ма&тематики к природе (...).
Поэтому у меня созрело решение сде&лать целью своей жизни разработку, развитие и применение это&го анализа»[16]. А далее он решительно подчеркивает право «новой науки быть особой областью знания - право, которое заключает&ся в том, что истина требует признания своей правоты...; ее сущ&ность и бытие заключены в ней самой»[17]. Предисловие, в котором читатель находит эти слова, сохранено Г. Грассманом во втором издании. Более того, в написанном перед смертью (1877) преди&словии к этому последнему, Г. Грассман продолжает настаивать на «фундаментальной важности, даже необходимости» своего учения, а причину того, что его труд не нашел отклика у его кол&лег, видит исключительно в «строго научном, основывающемся на исходных понятиях, способе изложения»[18]. Подобная же уве&ренность в правоте избранного пути звучит и в предисловии Гер&мана Грассмана к варианту «Учения о протяженностях» 1861-1862 гг.Были ли рациональные основания для такой уверенности? Базировалась ли на чем-нибудь реальном претензия Германа - а впоследствии и Роберта - Грассмана на то, что им удалось разра&ботать «единственно строго научный» способ развертывания ма&тематики и логики? Прежде чем пытаться дать ответ на этот вопрос, выделим три черты научной биографии Германа Грасс&мана, определивших особый путь его в науке.
Черты эти состоят в том, что Г. Грассман не получил систематического университет&ского математического образования; что в университете, помимо теологии и филологии, он приобрел основательную философ- скую подготовку и навсегда сохранил склонность к философии; и что он в течение всей жизни находился вне центров «академиче&ской» - университетской - науки. При всем том он с первых ша&гов своей научной работы проявил себя как человек, проклады&вающий новые пути.Рассмотрим подробнее эти черты, используя материалы жиз&неописания Германа Грассмана, составленного Ф. Энгелем, и дру&гие биографические источники.
Пункт первый. На школьной скамье - в гимназии, где препо&давал его отец, - Герман хорошо учился по всем предметам[19]. В университете он посещал лекции по теологии, филологии, фи&лософии и психологии, но не по математике и физике; в течение многих лет он собирался посвятить себя священнической дея&тельности и, по свидетельству В. Шлегеля, лишь в 1842 г. окон&чательно отказался от духовной карьеры. Не слушая универси&тетских курсов по точным наукам, Г. Грассман, естественно, не примкнул ни к какой математической или физико-математиче&ской школе. Согласно данным Энгеля, Герман, тем не менее, уже в университете сделал первые шаги в занятиях математикой; он учился сам и в последний период университетского обучения, вы&рабатывая для себя программу дальнейшей самостоятельной ра&боты по различным предметам, на первое место поставил мате&матику[20].
Вплотную математикой, физикой и «естественной историей» Герман занялся уже в Штеттине, осенью 1830 г.; готовясь к перво&му экзамену на звание преподавателя, который он сдал в декабре 1831 г., Г. Грассман самостоятельно изучил основные разделы математики, включая дифференциальное и интегральное исчис&ления. Дальнейшее его математическое «самообразование» ока&залось связанным с работой над теорией приливов и отливов, заданной ему в рамках второго государственного экзамена. Ана&лизируя факты, в частности биографический материал о брате, подготовленный Робертом, - материал, в котором Энгель обна&руживает неточности, - автор «Жизнеописания Грассмана» при&ходит к выводу, что Г.
Грассман, возможно, лишь в 1839 г. углу&бился в трудные области «высшего анализа»; работа над заданной темой вынуждала его к этому, если только он не освоил эти об&ласти раньше.Таким образом, в математике у Германа Грассмана не было учителей. Правда, имеется одно исключение. Этим исключени&ем, как согласно указывают В. Шлегель и Ф. Энгель, был его отец. Юстус Грассман еще в 1817 г. выступил с работой, в кото&рой отстаивал идею создания новой математической дисципли&ны - «геометрического учения о комбинациях», которую про&должал развивать в последующие годы; в своих работах он при&давал большое значение обоснованию «элементарной» матема&тики и считал важным философское осмысление математиче&ского знания[21]. Как считает Ф. Энгель, данные, которыми он располагал, позволяют заключить, что Герман еще студентом усвоил некоторые работы отца, в частности, статью «О понятии и объеме чистого учения о числах»[22], напечатанную в Програм&ме Штеттинской гимназии в октябре 1827 г. (В. Шлегель назы&вает эту статью Programm-Abhandlung), а также статью «О физи&ческой кристаллографии (Krystallonomie) и геометрическом уче&нии о комбинациях» (1829)[23]. Этими статьями, а также тетрадя&ми отца Герман пользовался, изучая математику (в частности, учение о комбинациях) в 1830-1831 гг. По-видимому, статья «О понятии и объеме чистого учения о числах» оказала на него заметное влияние; во всяком случае, Энгель придерживается мнения, что она «во многом заставляет вспомнить "Введение" к "Учению о протяженностях" 1844 года, написанное его сыном», в ней, в частности, подчеркивается важность выявления «внут&ренней связи между операциями и конструкциями» (слова Юс&туса Г. Грассмана, приводимые Энгелем[24]). Заметим, что имен&но в упомянутом «Введении» изложена концепция «чистой мате- матики» как «учения о формах», а также идея генетического развертывания математических дисциплин - концепция и идея, выросшие впоследствии в специфически грассмановское (как Германа, так и Роберта) понимание оснований математики как науки.
Пункт второй.
В Берлинском университете Г. Грассман полу&чил в основном гуманитарную подготовку. Из профессоров, ко&торых он слушал, его биографы выделяют Ф. Шлейермахера (Г. Грассман посещал его лекции по диалектике и психологии); прослушал он и читавшийся Г. Риттером (Н. Ritter) лекционный курс истории философии. Лекции Ф. Шлейермахера (1768-1834) - известного философа и теолога, одного из инициаторов истори&ческого и текстологического изучения книг Ветхого и Нового за&ветов - производили на Германа Грассмана особое впечатление. Как свидетельствует Ф. Энгель, Шлейермахер увлекал создателя «Учения о протяженностях» как тогда, когда он занимался преи&мущественно теологией, так и тогда, когда интересы Германа пе&реместились в область филологии. По собственному признанию Г. Грассмана, лекции Шлейермахера (по диалектике и толкова&нию Евангелия от Матфея), в которых главное внимание обра&щалось не на позитивное решение проблем, а на их постановку, пробуждали активную работу мысли; именно они дали первый толчок столь развившемуся у него умению своими силами искать решение новых задач.Г. Грассман и по окончании университета следил за работами своего учителя. После сдачи первого государственного экзамена в Берлинском университете он в 1840 г. вместе с Робертом изучал незадолго до этого появившуюся «Диалектику» Шлейермахера, а в 1841 г. оба занимались философским учением о языке. В пери&од бурных событий 1847-1848 гг. -о том, в какой мере эти собы&тия затронули автора «Учения о протяженностях», мы скажем ниже, когда будем рассматривать жизнь и деятельность его брата Роберта, - Г. Грассман изучал вышедшую в 1845 г. книгу Шлей&ермахера «Учение о государстве».
Свой труд 1844 г. Г. Грассман предварил «Введением», в ко&тором содержится рассмотрение вопросов философского харак&тера, касающихся природы математики, взаимоотношения ее с философией, - рассмотрение, которое, по замыслу его автора, необходимо для того, чтобы уяснить место «новой науки» в сис&теме знания.
Это было сделано Г. Грассманом в полном сознании того, что «среди математиков, - как пишет он в "Предисловии" к этой книге, - все еще существует - и отчасти не без основания - известная боязнь философских обсуждений математических и физических вопросов; и действительно, большинство исследова&ний такого рода, как они ведутся Гегелем и его школой, отлича&ются неясностью и произвольностью, уничтожающими все ихПЛОДЫ»[25].
Из краткого жизнеописания старшего брата, сделанного Ро&бертом вскоре после смерти Германа и использованного Ф. Энге- лем, известно, однако, что Герман вместе с братом и друзьями в 1846 г. изучал гегелевскую философию. Авторы этих строк не располагают данными о том, изменил ли Г. Грассман после этого свое мнение о Гегеле. Однако известно двойственное отношение к Гегелю его брата, проявившееся в сочинениях последнего, изданных начиная с 1872 г. В одном из главных своих трудов - «Учении о науке», говоря об отыскании «противоположностей в единстве и единства в противоположностях», Роберт Грассман от&дает должное методу Гегеля (хотя диалектическое учение Шлей- ермахера оценивает как более глубокое). Вместе с тем в своей «Логике» 1872 года, о которой мы будем говорить отдельно, он не раз пользуется случаем, чтобы подвергнуть критике гегелевские взгляды за их несоответствие требованиям формальной логики. Можно полагать, что взгляды Германа (прямо писавшего о своем участии в разработке основных положений той системы логики, которая в развитой форме была изложена Робертом) здесь совпа&дали со взглядами брата.
Но в целом вкус к философии и сознание важности философ&ских рассмотрений для уяснения истоков математического позна&ния сохранился у Г. Грассмана на всю жизнь. Так, признавая - в «Предисловии» ко второму варианту «Учения о протяженно&стях» - трудность, «которую, по мнению всех математиков, суж&дения которых время от времени до меня доходили, доставляет изучение упомянутого труда (1844 года. - Б.Б.), из-за его, как они считают, более философской, нежели математической фор&мы»[26], - почему он и произвел его переработку, придав ему «евк&лидову» форму, - Г.
Грассман, тем не менее, вполне определенно высказывается о предпочтительности философского облика пер&вого варианта; в «Предисловии» к изданию 1878 г. об этом гово&рится совершенно недвусмысленно:В этом втором издании я оставил без изменения текст первого издания (...), так как представленное в нем изложение заключается в последователь&ном проведении одной-единственной основной идеи, а способ ее разработки я считаю полностью оправданным, и он, конечно, больше говорит фило&софски образованному человеку, нежели более удобный для математиков способ изложения «Учения о протяженностях» 1862 года[27].
В труде 1844 года философски ориентированным было прежде всего «Введение», которое представлено в настоящей книге: за&метим, что тенденция к включению математики в более широкий методолого-гносеологический контекст стала явственно прояв&ляться лишь в конце XIX - начале XX века (вспомним Г. Кантора, Г. Фреге, А. Пуанкаре, Д. Гильберта и Э.Л. Брауэра с их обшир&ными философскими и логическими интересами). Для науки эпо&хи Г. Грассмана это было достаточно непривычным.
Пункт третий. В течение всей своей творческой жизни Г. Грассман, этот, говоря словами Ф. Клейна, математик, отме&ченный «печатью высшей оригинальности с ярко выраженными философскими интересами»[28], служил преподавателем в средних учебных заведениях Штеттина, где вел самые различные предме&ты. Так, в Школе им. Фридриха-Вильгельма он преподавал не&мецкий и латинский языки, естественную историю, религию, химию и минералогию (в этих условиях он и закончил свой глав&ный труд - «Учение о линейных протяженностях»). Когда в 1852 г. Г. Грассман стал профессором Штеттинской гимназии, занятость его еще более возросла. Как пишет его биограф, с Ива&нова дня (24 июня) 1852 г. он стал преподавать математику и физику (в старших классах), имея по 18-20 часов учебных занятий в неделю.
Большая педагогическая нагрузка приводила к недостатку времени для научной работы. Кроме того, в Штеттине трудно было следить за текущей математической и философской лите&ратурой, так как многие издания не доходили до этого провинци&ального города. В Штеттине не было университета (да и полных средних школ, как особо подчеркивает В. Шлегель, до 1869 г. в нем было всего две), и вокруг Г. Грассмана не было людей, с ко&торыми он мог бы делиться своими научными идеями. Рядом с ним был только брат Роберт.
В труде Ф. Энгеля «Жизнеописание Грассмана» мы находим выразительную характеристику той роли, которую играл Роберт в научном развитии брата. Биограф подчеркивает никогда не ос&лабевавший интерес младшего брата к идеям Германа, те «побу&дительные импульсы, которые он давал своему брату в силу ори&гинальности своего мышления и благодаря остроте мысли, с ко&торой он умел выискивать логические изъяны в дефинициях и слабые пункты в доказательствах»[29]. Однако по образу своего мышления Роберт стоял к Герману «слишком близко для того, чтобы стать для него тем, в ком Грассман более всего нуждался, - критиком-специалистом одного с ним уровня»[30].
Разумеется, Г. Грассман понимал отрицательные стороны сво&ей отдаленности от научного мира и предпринимал попытки ее преодолеть. Для этого был один путь - получить, как тогда выра&жались, академический статус, т.е. стать профессором какого-либо университета, благодаря чему у него появилась бы возможность обсуждать свои идеи и результаты в кругах специалистов и создать собственную научную школу. Однако просьба о предоставлении места преподавателя математики или физики в одном из прусских университетов, направленная Г. Грассманом в Министерство куль&тов Прусского королевства, была в 1848 г. отклонена из-за небла&гоприятного заключения, которое Э. Куммер дал о его работах. Неудачей окончилась и вторая (в 1869 г.) попытка Г. Грассмана по&лучить университетскую профессуру (в Грейфсвальде).