«ЧИСТОЕ УЧЕНИЕ О ФОРМАХ» И «ГЕНЕТИЧЕСКАЯ» УСТАНОВКА В МАТЕМАТИКЕ И ЛОГИКЕ
Книга открывалась «Введением», раздел А которого назы&вался «Обоснование понятия чистой математики»; в этом разделе излагалась Грассманова концепция математики как «чистого уче&ния о формах» в ее сопоставлении с философией и «реальными» науками. Общий смысл, который Герман Грассман вкладывал в свое понимание математики, можно истолковать как генетиче&ский подход, который в «учении о величинах» его брата получил определенное конструктивистское наполнение.
Математика трактуется Г. Грассманом наряду с философией как «формальная» наука; отличие наук «формальных» от наук «реальных» усматривается в том, что первые изучают не реаль&ность, независимую от мышления, а то, что устанавливается (по&лагается, порождается, строится) самим мышлением; поэтому рас&суждения в философии и доказательства в математике замыкают&ся в сфере чистых комбинаций мыслительных актов.
Предметом философии выступает «всеобщее», а в математике - «особенное»; при этом то и другое полагается мышлением; «чистая математика есть... наука о бытии особенного как возникающего благодаря мышлению». «Бытие особенного» Г. Грассман называет формой, точнее мыслительной формой (формой мышления - Denkform) - формой, взятой в отвлечении от всякого конкретного содержания.Эта философская терминология Г. Грассмана, невольно за&ставляющая современного читателя вспомнить диалектику Геге&ля, не должна заслонять от нас того реального содержания, кото&рое стояло за грассмановскими рассуждениями о «всеобщем» и «особенном». Если пользоваться языком исследователей основа&ний математики наших дней, пишущих об интуиционизме XX столетия, и самих интуиционистов[31], то можно сказать, что Г. Грассман понимал математику как науку об умственных по&строениях - построениях, находящихся в определенных отноше&ниях к реальности; связи математики с прикладными областями, согласно его взгляду, осуществляются через науки, основанные на исходном созерцании (Grund-Anschauung) пространства и вре- мени (а благодаря последним - и движения): через геометрию и механику. Здесь можно видеть влияние философии И. Канта, хо&тя сам Г. Грассман на кёнигсбергского философа и не ссылается. Впрочем, не исключено, что штеттинский мыслитель пришел к этим идеям самостоятельно. Последующее рассмотрение (в раз&деле В «Введения») способов умственного построения - «станов&ления благодаря мышлению», как выражается Г. Грассман, - при&водит его к понятиям непрерывной и дискретной форм\ в послед&нем случае имеет место двойной акт: полагания (установления) чего-то мышлением и связывания (сочленения) установленного: для непрерывной формы (величины в узком смысле, как ее здесь называет Г. Грассман) полагание и сочленение сливаются. При&менение к этим двум формам понятий об одинаковом (равном) и различном приводит к понятию о четырех типах форм (и к соот&ветствующим ветвям «чистого учения о формах»).
Хотя читатель найдет соответствующие идеи Г.
Грассмана в публикуемом ниже переводе его текста, мы все же приведем здесь его слова:А именно, сначала дискретная форма разделяется на число и комбина&цию (соединение [Gebinde]). Число есть алгебраическая дискретная форма, т.е. объединение того, что полагаемо как одинаковое; комбинация есть комбинаторная дискретная форма, т.е. объединение того, что полагаемо как различное. Науки о дискретном, стало быть, это учение о числах и уче&ние о комбинациях (учение о соединениях [Verbindungslehre]).
Подобным же образом непрерывная форма, или величина, разделяет&ся на алгебраически-непрерывную форму, или интенсивную величину, и комбинаторно-непрерывную форму, или экстенсивную величину. Стало быть, интенсивная величина возникает посредством созидания одинаково&го, а экстенсивная величина, или протяженность, - посредством созидания различного. Первая, в качестве переменной величины, составляет основу учения о функциях дифференциального и интегрального исчисления, вто&рая - основу учения о протяженностях.
Конечно, эти дистинкции не отличаются ясностью: данная классификация форм и ветвей математики и логики более четко была развита Робертом Грассманом; она будет освещена нами ни&же. Здесь достаточно подчеркнуть генетический подход автора «Учения о линейных протяженностях»: в каждой из четырех «форм» мы, по Г. Грассману, имеем дело с некоторым процессом порождения. Непосредственно в этом еще нельзя усмотреть кон&структивистской установки в современном смысле (так как у Г. Грассмана не было речи о каком-либо, как мы сказали бы теперь, эффективном, «машинообразном» способе порождения). Но был налицо исходный пункт, от которого двигались
Г. и Р. Грассманы в своей рекурсивно развертывавшейся арифме&тике и Роберт Грассман в своем «учении о величинах» и логиче&ской теории, в явном виде предвосхищавшими определенные чер&ты упомянутой установки.
Всем четырем ветвям математики, согласно замыслу Г. Грасс&мана, должно быть предпослано «общее учение о формах». С очерка этого учения и начинаются переводы текстов штет- тинского мыслителя. В труде 1844 гг. он следует за «Введени&ем», непосредственно предваряя изложение «учения о линейных протяженностях». В этом разделе книги Г. Грассмана мы обна&руживаем основные идеи, систематически и детально разрабо&танные впоследствии в «учении о величинах» Р. Грассмана.
«Общее учение о формах» было развито Г. Грассманом до его сотрудничества с братом. Совместная работа с Робертом привела их к детальной разработке данной концепции.