Геометрический анализ, основанный на открытой Лейбницем геометрической характеристике  

Перевод осуществлен З.А. Кузичевой с изданного Ф. Энгелем текста «Hermann Grassmanns gesammelte mathematische und physikalische Werke. Erster bandes erster Thl: die Ausdehnungslehre von 1844 und die Geometrische Analyse».

На титульном листе значится: «Geometrische Analyse, geknupft an die von Leibniz erfundene Geometrische Charakteristik. Gekronnte Preisschrift von H. Grassmann. Mit einer erlaeuternden Abchandlung von A.F. Moebius. Leipzig, Weidmann'sche Buchhandlung, 1847.

Мёбиус Август Фердинанд (1790-1868), с 1816 г. работал сначала астроно- мом-наблюдателем, а затем директором Плейсенбургской астрономической обсерватории в Лейпциге, одновременно был профессором математики Лейп- цигского университета. Широкую известность получил его трактат «Барицент&рическое исчисление» (Der barycentrische Calcul. Leipzig, 1827). «Барицентриче&ские координаты» точек Мёбиус вводит так: пусть в вершинах фиксированно&го треугольника помещены массы тт3, тогда центр тяжести этих масс можно характеризовать числами тх, т2, ш3, определенными с точностью до об&щего множителя. «Барицентрические координаты» представляют собой част&ный случай однородных координат. См., напр.: Розенфельд Б Л. История неев&клидовой геометрии. М.: Наука, 1976.

2* Ньютон Исаак (1643-1727), учился в Кембридже, в 1668 г. получил сте&пень магистра, с 1669 г. профессор в этом университете. В 1696 г. принял пост хранителя, а с 1699 г. - директора Монетного двора. С 1703 г. Ньютон - прези&дент Лондонского королевского общества. В своем исчислении Ньютон исходил из кинематических соображений. Переменные величины он называл флюента&ми, рассматривая их как функции времени. Скорости изменения флюент, т.е. производные, он называл флюксиями. Свое исчисление он открыл в 1665 г. во время эпидемии чумы, от которой спасался в деревне. Ньютон неохотно публи&ковал свои сочинения, поэтому его результаты в этой области увидели свет поздно. Наиболее полно теория Ньютона изложена в сочинении «Метод флюк&сий и бесконечных рядов», опубликованном лишь в 1736 г.

3* Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716), учился в университетах Лейп&цига и Иены, изучал философию и юриспруденцию. Отказавшись от универси&тетской карьеры, Лейбниц поступил на службу сначала к Майнцкому курфюр&сту, а в 1676 г. - к Ганноверскому герцогу. В 1700 г. Лейбниц организовал Бер&линскую Академию наук и стал ее первым президентом. В отличие от Ньютона Лейбниц исходил из геометрических соображений при построении дифференци&ального исчисления, которое он открыл в 1675 г. Работа Лейбница «Новый ме&тод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого вид исчисления» опубликована в 1684 г. С этого года исчисляется официальная история математического анализа. См.: напр.: Петрова С.С., Демидов С. С. Раз&витие математического анализа // Очерки по истории математики // Под ред. Б.В. Гнеденко. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1997. С. 7-93.

На русском языке в переводе А.П. Юшкевича опубликованы «Избранные отрывки из математических сочинений Лейбница» // Успехи математических на&ук.

4* В упомянутом в предшествующем примечании переводе А.П. Юшкевича, под заголовком «Геометрическая характеристика» помещены отрывки из писем Лейбница к X. Гюйгенсу (от 8 сентября и от ноября 1679 г.) и к Лопиталю (от 27 декабря 1694 г.). В конце публикации А.П. Юшкевич дает примечание: «Во всех своих набросках по геометрическому исчислению Лейбниц пользуется по&нятием величины и, в сущности, не отказывается от координатных систем (би&полярных и пр.). Каких-либо новых конкретных результатов Лейбниц при этом не получил, и его принципиальные соображения не нашли у современников со&чувственного отклика, а затем были просто забыты.

Дальнейшее развитие геометрические идеи Лейбница получили уже в XIX веке и притом в различных направлениях (Мёбиус, Штаудт, Г. Грассман, ве&кторное исчисление и т.д.). Г. Грассман посвятил разбору приведенного набро&ска Лейбница специальную работу: «Geometrische Analyse...» (цит. соч., с. 204).

5* Под «родственным анализом» Г. Грассман. вероятно, понимает связан&ные с идеями Лейбница работы математиков (Эйлер, Листинг), которые при&вели к созданию топологии (у Лейбница встречается термин analysis situs - ана&лиз положения). См., например, упомянутую выше «Геометрию» Б.А. Розен- фельда, § 6.

В конце XIX - начале XX в. изучением наследия Лейбница занимался Л. Ку&тюра, в результате он опубликовал сочинение: Couturat L. La logique de Leibniz. Paris, 1901, - в котором на с. 388-430, 529-538 рассматриваются относящиеся к топологии попытки Лейбница. Отмечается, в частности, что при этом Лейбниц опирался на понятие подобия.

6* О том, что это не тот путь, каким я пришел к своему анализу, вряд ли стоит говорить». Действительно, Грассман в своем геометрическом анализе не развивает топологический поход. Он строит новый анализ в духе «Учения о протяженностях», развивая и уточняя понятия и операции, введенные в этом учении. Изложение геометрического анализа уже не предваряется туманны&ми «философскими» рассуждениями, какими изобилуют Предисловие и Вве&дение к труду 1844 г.

7* Разбивка текста Грассмана на параграфы, названия которых помещены в квадратных скобках, осуществлено в переиздании в 1969 г. составленного Эн- гелем двухтомного собрания сочинений Г. Грассмана. Следующий параграф в этой рубрикации назван «Конгруэнтность и коллинеарность». В этом парагра&фе Грассман вместо отношения конгруэнтности вводит отношение равенства фигур и в дальнейшем уже не использует обозначений Лейбница.

Третий параграф озаглавлен «Точечные и линейные величины». В последу&ющих параграфах (их в работе 23) вводятся операции над линейными и точеч&ными величинами, в частности, определяются операции сложения этих величин, а также внутреннее и внешнее умножение. Затем дается приложение развитого учения к геометрии, к теории движения и к некоторым разделам механики (па&раграфы 10-13).

В последующих параграфах обобщаются полученные в упомянутых разде&лах результаты. На основании даже такого краткого описания того, как постро&ено сочинение Грассмана, ясно, что он развивает здесь свои идеи, заложенные в «Ausdehnungslehre».

8* В письме к Гюйгенсу Лейбниц так определяет конгруэнтность фигур: «.. .Между треугольниками ABC и DEF, согласно порядку точек, существует кон&груэнция, [если] они могут занимать в точности одно и то же место и один из них можно наложить или поместить на другой, не меняя в этих фигурах ничего, кроме местоположения» (см.: Лейбниц. Новый метод максимумов и минимумов, а так&же касательных для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррацио&нальные величины, и особый для этого вид исчисления // Избр. отрывки из ма&тематических сочинений Лейбница / Пер. А.П. Юшкевича // Успехи матем. наук. 1949. Вып. 1, № 3. С. 200).

9* Грассман считает основным отношением не конгруэнтность, а коллинеа- цию, - одно из проективных преобразований (соответствий).

10* Здесь Г. Грассман молчаливо предполагает, что рассматриваемая огра&ниченная прямая и отрезки, на ней лежащие, имеют одинаковую длину, т.е. «от&резок» отличается от «ограниченной прямой» только тем, что для него указаны начальная и конечная точки.

п* Определение 4 - привычное для нас определение скалярного произведе&ния двух векторов как произведение их длин на косинус угла между ними, если учесть, что внутреннее произведение параллельных отрезков Грассман опреде&ляет как произведение их длин (Определение 3).

12* Внешнее умножение отрезков Г. Грассман определяет в «Учении о про&тяженностях», при этом его основная цель - определить внешнее умножение произвольных протяженностей. Этому определению посвящено несколько раз&делов трактата. В качестве наглядного примера он приводит внешнее умноже&ние направленных отрезков. Внешнее произведение непараллельных отрезков есть ориентированный параллелограмм, построенный на этих отрезках в пред&положении, что они исходят из одной и той же точки. Внешнее произведение от&резков а и b нс является коммутативным: а - b = -b а. Внешнее произведение параллельных отрезков равно нулю.

13* Отмеченный Г. Грассманом параллелизм в настоящее время называют принципом двойственности, согласно которому, заменяя в любом верном пред&ложении все входящие в него понятия двойственными им, получаем верное предложение. Например, в проективной геометрии двойственными являются точка, инцидентная прямой, и прямая, инцидентная точке.

14* В следующих параграфах Г. Грассман иллюстрирует преимущества ме&тодов геометрического анализа, решая некоторые задачи геометрии и механи&ки.

Из «Арифметики»

Lehrbuch der Arithmetik fur hohere Lehranschalten von Hermann Grassmann, professor am Gymnasium zu Stettin. Berlin, 1861. Verlag von Th. Chr. Fr. Enslin (Adolf Enslin). Сочинение частично было опубликовано впоследствии в собрании сочи&нений Г. Грассмана: Lehrbuch der Mathematik fur hohere Lehranschalten etc. Erster Theil: Arithmetik. In: Hermann Grassmann Gesammelte mathematische und physikalis- che Werke. Zweiten Bandes erster Thl: die Abhandlungen zur Geometrie und Analysis.

Herausgegeben von E. Studi, G. Scheffers, F. Engel. Leipzig. Druck und Verlag von B.G. Teubner, 1904. S. 295 ff: XXIII. Stucke aus dem Lehrbuch der Arithmetik.

2* В настоящее время в такой ситуации часто говорят: «скобки восстанавли&ваются по ассоциации влево».

3* Вероятно, это первое в математике и логике рассуждение о скобках. Ср., напр.: Клини С.К. Введение в метаматематику, М: Наука, 1957. С. 28-29.

4* Термин Грассмана Grundreie традиционно переводится как «основной ряд». Термином «последовательность» мы передаем немецкое Reihe, если в тек&сте Грассмана идет речь о «ряде», отличном от основного.

5* Термин Грассмана Eincheit мы передаем словом «единичность». Словом «единица» мы переводим термин Грассмана Eins, который он использует для случая натурального ряда чисел: 1, 2, 3,...

6* Определение 15 Грассмана, по существу, является рекурсивным.

7* Доказательство формулы 17, таким образом, основано на применении правила замены равного равным и продвижении слева - направо.

8* Доказательство, в ходе которого указываются номера используемых (на каждом шаге) предложений, является не чем иным, как доказательством с ана&лизом.

9* Доказательство Предложения 20 - первый случай индуктивного доказа&тельства. Начинается с индукционного шага по правой части основного ряда.

10* Теперь индукционный шаг - по левой части основного ряда.

ll* Случай, когда а = еу - это базис индукции.

12* Предложение 22 - это свойство ассоциативности сложения.

13* В скобках, относящихся к последней строке доказательства под номером 17Ь, Грассман имеет в виду переход справа - налево в равенстве 15.

14* Иными словами, прибавление нуля к а не меняет значения этого а.

В дальнейшем тексте мы используем термин «разность».

16* Равенство 28: а - b + Ь = а, следует воспринимать как (а - b) + b = а.

І7* В равенстве a + b- b + b = a + b слагаемое а + b-b предполагается (мол&чаливо) заключенным в скобки.

Указанное в примечании преобразование осуществляется на основе за&мены равных равными.

19* В настоящее время в математике вместо оборота «положительное значение числа» говорят «абсолютная величина числа». Заметим, что еще в начале XX в., для того чтобы показать, что некоторое число - отрицательное, писали, например, -а, т.е. под буквой а (без знака) понимали положительное число.

20* Операции умножения Грассман также дает рекурсивное определение.

21* Грассман употребляет термин «именованные числа» в смысле, отличном от того, в каком этот термин употреблялся в арифметике. В русских учебниках арифметики было принято подразделять числа на отвлеченные и именованные. Последние определялись, например, так: «Именованное число, в отличие от от&влеченного, всякое число единиц одного известного рода, например, 5 человек, фунтов и т.д.» (Брокгауз Ф., Ефрон И. Малый энциклопедический словарь. Т. 2. 1907 (репринтное издание 1997 г.), с. 1830). В Англии были употребительны терми&ны «конкретные» и «абстрактные» числа соответственно. См., напр.: Morgan A.De. Elements of Algebra. London, 1827. P. II, где он пишет: «Когда 1, 2, 3, ... означают 1 миля, 2 мили, 3 мили, ...или 1 пинта, 2 пинты, 3 пинты, и т.д., тогда эти числа на&зываются конкретными, но когда мы, отвлекаясь от (конкретных) понятий, гово&рим один, два и т.д., тогда числа называются абстрактными (отвлеченными)».