§ 53. Модусы с двумя аподиктическими посылками
Аристотель рассматривает модальную силлогистику по образцу своей ассерторической силлогистики. Силлогизмы подразделяются на фигуры и модусы; некоторые модусы принимаются как совершенные и не нуждающиеся в доказательстве в силу их самоочевидности; несовершенные модусы доказываются посредством обращения, reductio ad absurdum или же посредством так называемого «выделения».
Неправильные модусы отбрасываются с помощью их интерпретации на конкретных терминах. Кажется странным, что, за единственным исключением, Аристотель не применял теорем пропозициональной модальной логики. Мы увидим, что это при-вело бы в ряде случаев к более изящным и простым доказательствам, нежели тс, которые им даны.Закон обращения для аподиктических предложений аналогичен тому же закону для ассерторических предложений. Соответственно этому истинны следующие положения: «Если необходимо, что ни одно Ь не должно быть а, то необходимо, что ни одно а не должно быть 6», — или в символическом выражении:
CLEbaLEab,
и «Если необходимо, что всякое Ь или некоторое Ь должно быть а, то необходимо, что некоторое а должно быть 6», или в символическом выражении:
CLAbaLIabи 100. CLIbaLIabL
Данные Аристотелем доказательства неудовлетворительны . Он не заметил, что законы 98—100 могут быть •непосредственно выведены из аналогичных законов ассерторической силлогистики с помощью теоремы
18. CCpqCLpLq.
Например, из 18 подстановкой ЕЬа на место р, а ЕаЬ — на место qмы получаем в антецеденте ассерторический закон обращения, отсюда мы можем отделить консеквент, то есть закон 98.
Согласно Аристотелю, силлогизмы с двумя аподиктическими посылками тождественны ассерторическим силлогизмам, за исключением того, что у них должен быть добавлен как к посылкам, так и к заключению признак необходимости . В соответствии с этим формула для модуса Barbara будет гласить:
CKLAbaLAcbLAca.
Аристотель молчаливо допускает, что модусы первой фигуры совершенны и не нуждаются в доказательстве.
Модусы других фигур, которые не являются совершенными, должны быть доказаны соответственно доказательствам ассерторических силлогизмов, за исключением Вагосо и Bocardo, которые в ассерторической силлогистике доказываются посредством reductio ad absurdum, а здесь должны быть доказаны с помощью выделения L Отметим еще раз: для всех этих доказательств было бы проще применить теорему 18, как это будет явствовать из сле-дующего примера.С помощью законов экспортации и импортации CCKpqrCpCqrи CCpCqrCKpqrможет быть показано, что 15, ассерторический модус Barbara, эквивалентен формуле
CAbaCAcbAca.
Эта чисто иміпликативная форма более удобна для выведения следствий, чем конъюнктивная форма. Согласно положению 3CLpp,мы имеем:
С L Aba Aba,
а из 103 и 102 с помощью гипотетического силлогизма получаем:
CLAbaCAcbAca.
С другой стороны, мы имеем в результате подстановки в 18:
CCAcbAcaCLAcbLAca,
а из 104 и 105 вытекает следствие:
CLAbaCLAcbLAca,
которое эквивалентно 101. Все остальные силлогистические модусы с двумя аподиктическими посылками могут быть доказаны таким же путем, без новых аксиом, законов обращения, reductio ad absurdum или же аргументов, использующих выделение.