ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, ОСНОВАННЫЙ НА ОТКРЫТОЙ ЛЕЙБНИЦЕМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ1*
Идеи первого рода часто одновременно высказываются выда&ющимися умами, если их эпоха созрела для этого (как это было, например, с дифференциальным и интегральным исчислениями, которые одновременно открыли Ньютон2* и Лейбниц3*).
Но идеи второго рода оказываются достоянием отдельной личности, со&кровеннейшей лаборатории его гения, в которую в состоянии проникнуть лишь немногие посвященные, способные как бы про&зреть плоды, которые принесет в будущем развитие этих идей. В то время как идеи первого рода находят живейший отклик и по&лучают дальнейшее развитие, поскольку они сами представляют наивысшее достижение своего времени, идеи второго рода по большей части не оказывают воздействия на свое время, так как понять их могут только немногие, а полностью постигнуть, воз&можно, - никто. Часто лишь через столетия, после того как раз&витие достигло нужного уровня, обнаруживается, что творческая сила гения порождала идеи, обещающие богатый урожай.Величественная идея Лейбница, уяснение и дальнейшее раз&витие которой составляет предмет настоящей работы, а именно идея некоторого подлинно геометрического анализа4*, принадле&жит к идеям-образцам, идеям-пророчествам, поэтому можно не сомневаться ни секунды, что она должна разделить судьбу второ&го рода упомянутых идей. В силу неблагоприятного стечения об&стоятельств идея эта оставалась скрытой и после того, как она могла оказать мощное воздействие, ибо еще до того как Ойлен- брок [Uylenbrock] извлек из забвения эту идею Лейбница, с раз&ных сторон прокладывались пути к разработке родственного ана&лиза5*.
Несмотря на это, представляется важной задача пробужде&ния долго дремавшего ростка и воссоздания анализа, родствен&ного тому, облик которого заключен в идее, высказанной Лейб&ницем.
Эта идея в течение более чем столетней безвестности была исключена из процесса развития, тем не менее теперь, ко&гда она стала известной, она ни в коей мере не устарела, она по- прежнему содержит в себе полный жизненных сил росток, кото&рому нельзя более отказывать в праве быть поставленным в связь с историческим развитием» Ибо, во-первых, тот идеал гео&метрического анализа, который рисовался Лейбницу в качестве цели будущего развития, нельзя ни в коей мере считать полно&стью достигнутым, - он все еще недостаточно учитывается ма&тематиками. А во-вторых, тот своеобразный вид, который Лейбниц придал данной идее благодаря своему способу обозна&чения, - правда, скорее, на примерах, - не был представлен у со&временных математиков в аналогичной форме. Напротив, все последующие математики, в соответствии с успехами своего времени, исходили из иных, - хотя часто намного более плодо&творных, - точек зрения.Сам Лейбниц отчетливо различает, с одной стороны, свои мысли относительно чисто геометрического анализа, формиро&вание и завершение которого рисуется ему в виде отдаленной це&ли, значение которого он вместе с тем полностью осознает, а с другой стороны - свою попытку создания некоторой новой хара&ктеристики. Эту новую характеристику Лейбниц связывал с тем, чтобы сделать более вероятной реализацию мыслей о геометри&ческом анализе, и, если обстоятельства не позволят ему сделать это самому, то оставить потомкам памятник, который может дать в будущем толчок для осуществления его идеи - идеи геометриче&ского анализа. Эти две идеи надо все время четко разделять, если мы хотим правильно оценить заслуги Лейбница в разработке гео&метрического анализа.
Легко убедиться, что характеристика, создать которую пы&тался Лейбниц, ни в малейшей степени не соответствует тем зада&чам, которые он возлагал на геометрический анализ. Она беско&нечно далека от выдвинутой им же самим цели, ее можно рассма&тривать лишь как черновой, - хотя и заслуживающий высокой оценки, - набросок того пути, по которому следует идти, чтобы приблизиться к упомянутой цели.
Нельзя утверждать, что Лейб&ниц располагал еще и другими способами обозначения, которые стояли ближе к достижению этой цели, ибо тогда достижимость последней стала бы более убедительной, и, значит, эти способы обозначения были бы им прямо приведены вместо других, либо, по крайней мере, как-то намечены, чего, однако, нет и следа. Та&ким образом, мы получили бы совершенно искаженное и невер&ное суждение относительно вклада Лейбница в данную область, если бы строго не придерживались взгляда, что те преимущества, которые он приписывает геометрическому анализу, ни в коем случае нельзя связывать с предпринятыми им попытками его осу&ществления.Но если дело обстоит именно так, то откуда эти чрезвычай&ные славословия, касающиеся дела, облик которого был ему не&известен? Откуда эти полные убежденности восхваления его зна&чимости, это граничащее с невероятностью перечисление плодов, которые оно должно было бы принести родственным областям знания?
Мы можем ответить на эти вопросы, лишь указав: в том-то и состоит величие высоко одаренного ума, что он в состоянии пред&угадать важность некоторой мысли вплоть до самых отдаленных ее последствий, в то время как менее сильные умы, принимая вто&ростепенное за важное, бездумно проходят мимо поистине вели&кого. Именно выдающийся талант Лейбница - предвосхищать по&следовательности рассуждений, не расчленяя их на части, не про&изводя их анализа, с пророческой силой строить их в своем вооб&ражении и на этой основе постигать важность вытекающих из них следствий - именно он, этот талант, привел его к грандиоз&ным открытиям почти во всех областях знания. В данной работе я надеюсь показать, что, - если не говорить об отдельных преуве&личениях, которые по большей части всегда касаются не сущест&ва дела, а способа выражения, - Лейбниц видел вещи в верном свете, и что анализ, который я строю, по крайней мере, в своей основе, дает все то, что Лейбниц считал целью геометрического анализа. Более того, выясняется даже, что существенные преиму&щества этого анализа были им перечислены с известной полно&той. Тем самым будет раскрыто научное значение его идеи геоме&трического анализа.
Для того чтобы выявить научное значение его своеобразной характеристики и на этой основе в ином свете показать его науч&ные заслуги в данной области, при обосновании и развертывании нового анализа я избираю такой путь: я исхожу из [геометриче&ской] характеристики Лейбница. Я показываю, как из этого заро&дыша, при последовательном проведении и дальнейшем разви&тии, при надлежащем исключении всего чуждого и обогащении идеями геометрического родства, проистекает анализ, который я склонен рассматривать как осуществление, хотя только относи&тельное, идеи геометрического анализа Лейбница. О том, что это не тот путь, каким я пришел к своему анализу, вряд ли сто&ит говорить6*.