ФОРМУЛИРОВКА АКСИОМАТИК ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СТРУКТУР. ОТНОШЕНИЕ РАВЕНСТВА И ПОНЯТИЕ ПОЛУГРУППЫ  

Оригинальные черты «теории форм» Германа Грассмана не имели аналогов в работах других математиков и логиков его (и предшествующего) времени. «Теория форм» понималась им как учение, описывающее процессы «умственного конструирования», общие различным выделявшимся им «ветвям математики». Сле&дует отметить, что основные утверждения и выкладки автора «общего учения о формах», в частности касающиеся соотноше&ния «синтеза» как прямой бинарной операции над формами - ве&личинами в широком смысле - и обратной синтезу «аналитиче&ской» (разрешающей) процедуры, требуют пояснений, из кото&рых некоторые были даны в комментариях к его работам[161]. Здесь этот вопрос мы рассмотрим систематически.

Алгебраическое содержание «теория форм» после надлежа&щей реконструкции оказывается имеющим (в современной тер&минологии) следующий вид. Г. Грассман исходит, с одной сторо&ны, из идеи квазигруппы, а с другой - формулирует постулаты по&лугруппы. От этих алгебраических структур путем введения свой&ства ассоциативности рассматриваемой им единственной прямой бинарной операции над «формами», с одной стороны, и обратных ей операций - с другой, происходит переход к (абстрактной) груп&пе и затем к абелевой (коммутативной) группе. Введение второй бинарной операции, связанной с первой («синтезом») двумя зако&нами дистрибутивности, порождает абстрактную алгебраическую структуру кольца.

Реально это выглядит следующим образом.

Очевидно, что отношение равенства - логическая основа пра&вила замены равным, позволяющего производить тождественные преобразования «форм» (величин). В привычных нам теперь обо&значениях определение равенства можно записать так:

a = b = Df<b[a] = <t>[bl

где аи Ь- произвольные формы, Ф - любое возможное в данном языке высказывание о формах (знак s означает логическую экви&валентность, передаваемую словами «тогда, и только тогда», «ес&ли, и только если», а знак « = Df» читается «есть по определе&нию»). Как мы указывали в Комментариях, из этого определения следует правило замены равным: а = Ь> Ф[а] I- Ф[ft], где h есть знак логического следования. Г. Грассман использует это правило, ко&гда указывает, что в определении равенства содержится правило, которое можно записать в следующем виде: для любых форм a, b, с, если а = с и ft = с, тоа = Ь. В самом деле, поскольку b = с, а про с из первой посылки известно, что оно обладает свойством (Ф) быть равным а, то и b обладает свойством Ф, т.е. а = b. Аналогич&но доказывается и используемое Г. Грассманом в дальнейшем свойство транзитивности отношения равенства. Что касается свойств рефлексивности и симметричности, то они тем более со&держатся в грассмановском определении отношения равенства. Оно, таким образом, предусматривает любые «отношения типа эквивалентности», в частности и те, которые впоследствии, уже в XX в., использовались при задании массовых проблем тождества слов в теории полугрупп и групп.

Будучи решительным сторонником генетического метода в математике, Г.

Наряду с отношением равенства форм вводится понятие об их связывании. Связывание, по Г. Грассману, есть некоторая бинар&ная операция - она обозначается им знаком п, - которая из двух форм порождает в общем случае новую форму; в записи a n b бу- ква а обозначает предшествующий, а буква b - последующий член связи. Для удобства, говоря словами Грассмана, вводится со&кращение в обозначениях: в случае связывания членов, число ко&торых больше двух, скобки разрешается опускать, то есть писать, например, не (((a n b) п с) n d)t a a n b п с n d.

Далее, в § 3 введенная операция предполагается обладающей свойством ассоциативности (в грассмановской терминологии - со&вместимости предшествующего и последующего членов), то есть свойством: (я n b) п с = a n (Ь п с) = a n b п с. Тем самым вво&дится то, что ныне называется полугруппой, причем полугруппой абстрактной - как множеством всех «форм», на котором опреде&лена единственная бинарная ассоциативная операция.

В последующем мысль Г. Грассмана развивается следующим образом. Прибегая фактически к «свернутому» рассуждению по индукции, он доказывает теорему (№ 3.1) о том, что если связы&вание таково, что для трех членов удаление скобки возможно, то это же возможно при любом числе членов (под скобкой при этом понимается совокупность двух знаков - открытия и закрытия скобки); естественно, конечно, и разрешение восстанавливать удаленные (подразумеваемые) скобки.

Затем вводится свойство перестановочности связываемых членов: ar\b = Ьсла, которое добавляется к уже введенному свой&ству ассоциативности. Так получается то, что сейчас называется коммутативной полугруппой. Г. Грассман подчеркивает, что свойство ассоциативности предшествует свойству коммутативно&сти в следующем смысле: если для некоторого связывания устано&влена только перестановочность двух его членов, то отсюда не могут быть извлечены какие-либо следствия, но если ее присоеди&нить к ранее введенному свойству «совместимости» членов, то можно доказать ряд предложений (теорем).

Подразумеваемое Г. Грассманом обоснование этого следст&вия легко восстановить. В самом деле, любые рядом стоящие чле&ны - в последующих выкладках пусть это будут Ь и с - можно по&менять местами:

a n b п с п ... n g = a n (b п с) п ... n g (по теореме 3.1)

= an(cni)n...rig (по свойству комму&тативности опера&ции п и правилу за&мены равным) = а пс nb п ... r\g (по теореме № 3.1)

Повторяя процедуру перестановки любых двух рядом стоя&щих членов, мы можем любой член поместить на любое место. Не считая, по-видимому, нужным индуктивно доказывать это ут&верждение, Г. Грассман формулирует общий вывод: «если связы&вание таково, что для трех членов без изменения результата скоб&ки можно расставлять любым способом, а для двух членов - ме&нять порядок последних, то расстановка скобок и порядок членов безразличны для результата при любом числе членов». Связыва&ние, удовлетворяющее этому условию, то есть ассоциативную и коммутативную бинарную операцию, определенную на формах и порождающую формы же, он называет простым сочленением.