Тепловые процессы при взаимодействии интенсивного лазерного излучения с веществом

Как видели выше, при воздействии лазерного излучения на ве­щество поглощенная энергия света всегда в конечном счете терма- лизуется, т.е. преобразуется в энергию движения атомов и моле­кул, равновесно распределенную по степеням свободы системы.

Вообще говоря, особенность именно лазерного теплового воз­действия состоит в возможности концентрации очень большой световой энергии в довольно малых объемах (на малых площадях - порядка λ²) и в малые промежутки времени (до 10^-14 с). Это означа­ет возможность сверхбыстрого нагрева, плавления, разрушения и т.п. твердых тел, генерации мощных акустических импульсов; эф­фектов, которые были недостижимы без помощи лазерных источ­ников света. Отсюда возникли многочисленные приложения лазер­ного излучения в промышленности, в военном деле, в медицине.

Лазерный нагрев вещества отличается от обычного двумя суще­ственными чертами. Во-первых, вследствие проникновения света в глубь среды оптические тепловые источники являются объемными, как говорят, распределенными в объеме среды, а не локализован­ными на поверхности, как это бывает в задачах об обычном терми­ческом нагреве. Это свойство, впрочем, не является уникальным: объемный нагрев происходит и под действием, например, СВЧ- излучения. Во-вторых, выделение энергии происходит неоднород­но по объему из-за, например, уменьшения интенсивности света (по закону Бугера - Ламберта - Бэра) вглубь среды или вследствие неоднородности коэффициента поглощения.

цессы теплопереноса (в жидкостях, также, массопереноса) между различными областями среды.

Уравнение для температуры среды с объемным поглощением лазерного излучения. Подробный анализ процессов теплопереноса можно найти во многих учебниках, например, в [9]. Процесс теп­лопереноса, в первую очередь, определяется законом сохранения

энергии. Пусть - количество теплоты, получаемое еди­

ницей объема вещества (р - плотность, Т - температура, .S' - энтро­пия единицы массы вещества). Если нет внешних источников тепла или же необратимых процессов (стока тепла), то dQ = 0, или

Если же присутствуют внешние источники теплоты, то (dQ/dt),,,,

0. Необратимым процессом, также приводящим к (dQ/dt) 0, яв­

ляется теплопроводность. Напомним, что под теплопроводностью понимают «непосредственный молекулярный перенос энергии из мест с более высокой температурой в места с более низкой темпе­ратурой» [9]. На «молекулярном» уровне переносчиками энергии могут быть электроны проводимости в металлах, фононы в конден­сированных средах, кванты света в случае лучистой теплопровод­ности. Энергия, впрочем, может переноситься и вследствие других процессов, не относящихся к теплопроводности, например, при макроскопическом движении среды, т.е. конвекции. Эти процессы мы пока рассматривать не будем, считая, что конвекцией можно пренебречь. Если q - плотность потока теплоты, переносимой по­средством теплопроводности, то дифференциальное форма закона сохранения энергии становится следующей:

Это выражение представляет собой уравнение непрерывности для количества теплоты. Полная производная по времени в левых час­тях уравнений (5.1), (5.2) означает изменение энтропии выбранного элемента среды, который, в свою очередь, может перемещаться, например, за счет конвекции в жидкости.

зах, то уравнение (5.2) приобретает вид уравнения энергопереноса в неподвижной среде:

(Здесь полная производная уже заменена на частную.) Далее, чтобы получить из (5.3) уравнение, описывающее изменение температуры среды, сделаем следующие предположения. Во-первых, будем счи­тать, что изменения термодинамических величин происходят при

постоянном давлении. Тогда TdS/dt = C_pdT/dt, где C_p - теплоем­кость при постоянном давлении. Во-вторых, используем разложе­ние вектора q по степеням градиента температуры и возьмем толь­ко первый член:

где κ - теплопроводность (это - уравнение Ньютона). Теперь урав­нение (5.4) можно переписать в виде:

Как правило, в большинстве задач можно пренебречь зависимо­стью величин ρ,от температуры.

Тогда, окончательно получим линейное неоднородное уравне­ние параболического типа (неоднородное уравнение Фурье):

где- температуропроводность.

Найдем теперь функциональный вид лазерного источника тепла.

Пучок света, распространяющийся вдоль оси z и падающий на по­верхность х - у вещества, создает объемный источник теплоты с плотностью мощности

где α - коэффициент поглощения света; I(r, t) - распределение ин­тенсивности света в среде (в области z > 0).

где I0 - интенсивность излучения, падающего на поглощающую среду извне; R - коэффициент отражения света; а - радиус сечения гауссова светового пучка. Временная форма лазерного импульса длительностью τ_ρ описывается функцией ft/tp), чаще всего, тоже гауссовой. Очень часто для получения основных качественных представлений о процессе оптического нагрева вещества оказыва­ется достаточным моделировать непрерывное оптическое воздей­ствие ступенчатой функцией Хевисайда, как мы это делали в гл. 1:

т.е. непрерывное излучение включается в момент времени t0. Им­пульсное излучение в простейшем случае удобно моделировать прямоугольной огибающей

В силу линейности уравнения Фурье (5.6), необязательно записы­вать стационарную температуру среды, т.е. T0 - температуру тела в отсутствие оптического воздействия, а можно записывать уравне­ние непосредственно для приращения температуры тела Т' = Т - T₀. Кроме того, будем рассматривать процесс нагрева вещества в от­сутствие теплообмена с окружающей средой. Это условие выража­ется, согласно [9], как следующее граничное условие:

Решения уравнений лазерного нагрева среды. Для решения уравнений типа уравнений теплопроводности (5.6), (5.11) сущест­вует весьма удобный и наглядный метод, использующий функции влияния мгновенных точечных источников теплоты. Действи­тельно, пусть мы уже имеем решениезадачи для ис­точника теплоты, локализованного в точке пространства r = 0 и имеющего вид «мгновенного» импульса, т.е.

Тогда, в силу линейности уравнения (5.6) и граничного условия (5.11), решение с любым произвольным источником теплоты будет иметь вид:

Это означает, что теперь нам надо «заранее» найти решение урав­нения

Сначала решим задачу в неограниченном пространстве. Согласно

определению δ-функции Дирака неоднородное уравнение (5.14) эквивалентно однородному уравнению Фурье

с ненулевыми начальными условиями

Теперь разложим искомую функцию T(r, t) в интеграл Фурье по пространственным координатам:

T '_k =J exp (-ikr^T' (r, t)d³r . (5.17)

Тогда для фурье-форм (5.15), (5.16) получим

dT'

—- + X-²Tk = 0, T'k (t = 0) = A . (5.18)

dt

Из этого уравнения можно найти зависимость фурье-компонент температуры от времени:

T= A exp (-χ- ²t) .(5.19)

Окончательное решение этой задачи получим путем обратного преобразования Фурье

A r²

T¹ (r, t) =------------------------- — exp-------- . (5.20)

(4n/t)^{3/2 P}L ⁴XtJ ( )

Как мы видим, согласно выражению (5.20), после мгновенного то­чечного энерговыделения температура в точке нагрева убывает с течением времени по законуа характерный пространст­венный размер нагретой области r растет:

Теперь, чтобы выполнить граничное условие (5.11), можно вос­пользоваться симметрией решения (5.20) и составить решение для мгновенного точечного источника в виде суммы функций:

A (x - x ')² +( - y ')² +(z - z ')²

G(r - r', t -1') =--------------- — Jexp -i-------- ’ W ^У\ ^V+

[4πχ( -1 ')) [ ^{4x(t t)}

(x - x')² + (y - y')² +(z + z')² +exp -^ , \ ^VJ.

4x(t - f) J ' ⁷

Это решение можно интерпретировать как температурное поле, создаваемое двумя точечными мгновенными источниками теплоты, расположенными зеркально-симметрично относительно границы z = 0. Тогда граничное условие (5.11) выполняется автоматически в силу четности функции (5.21) по координате z.

С помощью (5.7) - (5.9), (5.13) и (5.21) получаем следующее

уравнение для скорости нагрева полупространства непрерывным

лазерным пучком:

Максимальная скорость увеличения температуры, как можно ви­деть, наблюдается на поверхности (z = 0) облучаемого вещества на оси лазерного пучка (х = у = 0):

Очень часто в задачах лазерного нагрева среды можно считать, что поперечный размер лазерного луча существенно превосходит

Приращение температуры теперь происходит заметно медленнее, пропорционально логарифмической функции. Причиной этого является эффективный теплоотвод в поперечном направле­нии.При дальнейшем увеличении времени воздействия (при температура насыщается согласно (5.26). В предельном

случае

Как и следовало ожидать, для достижения максимальной темпе­ратуры нагрева вещества при фиксированных интенсивности света и радиусе лазерного луча следует подбирать длину волны так, что­бы коэффициент поглощения α был максимально большим. При

фиксированных α и P - полной мощности пучка - увеличения мак­симального нагрева можно добиться только путем фокусировки пучка, т.е. уменьшения а.

Если коэффициент поглощения света α оказывается достаточно большим, то, соответственно, становится малым характерное время на котором существенно распределение оптических источ­ников по глубине. Тогда при описании процесса на временах нагревом за времяможно пренебречь. В

этом случае можно считать, что неоднородность распределения света по глубине уже несущественна и не оказывает влияния на пространственное распределение температуры. Тогда задача (5.6), (5.11) сводится к однородному уравнению (5.15) с ненулевым гра­ничным условием:

Этот случай, очевидно, эквивалентен обычному нагреву через по­верхность: оптические источники создают наповерхности поток теплоты, направленный вглубь веществаРешение та­

кой задачи (5.15), (5.29) при условии (5.9) получается из (5.22) про­сто предельным переходом: α да.

Одномерный случай. Как уже говорилось, при лазерном воздей­ствии коэффициенты поглощения могут оказаться столь высоки, что диаметр пучка оказывается значительно больше, чем глубина по­глощения (a >> 1/α). Как мы видели из (5.15), скорость остывания пропорциональна пространственному градиенту температуры. В этом случае, очевидно, градиент температуры вдоль оси z будет значительно превышать градиенты по x и y. Следовательно, перерас­пределение тепла в поперечном направлении будет происходить столь медленно, что им вообще можно пренебречь. Тогда проще сразу записать одномерное уравнение теплопроводности. В этом случае задача может быть решена аналитически, хотя мы не приво­дим соответствующих выражений из-за их громоздкости. На рис. 5.1 показан характерный временной профиль температуры вблизи по­верхности в одномерном случае с высокой теплопроводностью.

Рис. 5.1. Временные профили температуры приповерхностного слоя при лазерном воздействии при высокой (сплошная кривая) и низкой (пунктир) температуропро­водности

При обычных невысоких температуропроводностях

(~ 10^-3 см²/с) временной профиль температуры становится на тех же временах подобным функции erf (пунктир).

Замечания. Приведенные выражения уже позволяют получить пространственные и временные профили температуры, т.е. полно­стью предсказать распределение температуры во времени и про­странстве. Однако следует добавить одно важное замечание. В слу­чае сильно рассеивающей свет среды, как это обычно бывает в

биологических объектах, уже нельзя считать, что интенсивность

излучения вглубь образца соответствует закону Ламберта - Бэра. Рассеянные фотоны, как показано в ряде работ, создают распреде­ление света, в котором максимум интенсивности света лежит не на поверхности, а на глубине порядка ~ λ (длины волны) от поверхно­сти, а само распределение в глубину оказывается значительно бо­лее «сжатым». Заметим, что в общем случае задача о распределе­нии света в присутствии рассеяния оказывается довольно сложной. В порядке приближения можно считать, что рассеяние света просто увеличивает эффективный пробег фотона по среде, так что на глубине z фотон можно считать прошедшим расстояние z', которое определятся коэффициентом рассеяния света. Это, очевидно, экви­валентно некоторому увеличению коэффициента поглощения; хотя часто такая оценка оказывается слишком грубой. Задачам рассея­ния света в среде посвящено множество работ [10].

Если вся энергия лазерного импульса поглощается в образце, то для оценки максимальной температуры по времени и пространст­ву удобно пользоваться следующим простым выражением

где S - площадь пятна фокусировки излучения. Эта формула выра­жает тот факт, что вся энергия импульса преобразовалась в тепло в пределах освещенного объема, глубина которого определяется ко­эффициентом поглощения. Интересно, что экспериментально оп­ределяемая абсолютная температура лазерного нагрева (например, с помощью времяпролетной масс-спектрометрии по распределени­ям Максвелла десорбируемых бесстолкновительных частиц) очень хорошо совпадает с вычисленной по формуле (5.30).

5.2.