Методы исследования нелинейных динамических систем

Большая часть нелинейных дифференциальных уравнений не может быть решено аналитически. Поэтому особое значение при­обретает качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений (теория колебаний).

Применение методов качественной теории нелинейных диффе­ренциальных уравнений оказывается важным и по другой причине. Конечно, если нет аналитического решения, всегда можно решить уравнения численно. Однако практические задачи часто не сводят­ся к простому вычислению динамики системы при заданных на­чальных условиях. Обычно необходимо найти условия, при кото­рых эволюция системы может быть изменена при помощи излуче­ния. Поиск таких условий путем перебора численных решений для

разных начальных условий, очевидно, безнадежен. Методы же тео­рии колебаний - анализ фазового пространства - позволяют по­лучить нужную информацию и вообще все необходимые сведения об эволюции системы даже не решая систему дифференциальных уравнений.

Приведем краткие сведения из теории нелинейных динамиче­ских систем.

Первое необходимое понятие - понятие степени свободы. Как правило, реальные системы описываются нелинейными уравне­ниями, содержащими частные производные по времени и по про­странству. Параметры таких задач непрерывно зависят от про­странственных координат, поэтому их принято называть распреде­ленными. Этот случай формально отвечает бесконечному числу степеней свободы системы. Если же уравнения вообще не содер­жат производных по пространственным координатам, то такая сис­тема называется точечной (нульмерной) и описывается обыкновен­ными дифференциальными уравнениями. Наиболее подробно раз­работана качественная теория именно таких уравнений. Но ее ме­тоды оказываются полезными и при анализе распределенных сис­тем в тех случаях, когда их поведение характеризуется небольшим числом существенных степеней свободы.

Такие системы традиционно изучались в теории колебаний.

свободы - три координаты и три компоненты импульса (по одной координате и по одной компоненте импульса на одну степень сво­боды). Каждой степени свободы отвечает уравнение Ньютона, т.е. обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Дифференциальному уравнению первого порядка, как следствие, сопоставляется 1/2 степени свободы. Рассмотрим основные поня­тия теории для уравнений вида

где u(u₁, u₂, .., u_n) - вектор состояния системы, имеющей n/2 сте­пеней свободы, а f = ( f1, f2, .., fn) - набор нелинейных функций. Ав­тономной называется система типа (6.4), в которой функция f явно не зависит от времени, т.е. f = f(u). Далее будем рассматривать, в основном, автономные системы. Добавим, что неавтономная сис­тема может быть сведена к автономной путем увеличения числа степеней свободы.

Динамической системой принято называть систему, обладаю­щую детерминированным поведением. Уравнение (6.4) дает при­мер такой детерминированной системы. При полной детерминиро­ванности эволюция динамической системы однозначно определя­ется ее начальным состоянием. Формально математически это вы­ражают следующим образом. Пусть эволюционный оператор T^t преобразует некоторое начальное состояние (в момент времени t = 0) системы P0 в состояние системы P в момент времени t:

Тогда под динамической системой понимается такая сис­тема, эволюционный оператор которой удовлетворяет соотноше­ниюВ соответствии с этим определением, для динами­

ческой системы время аддитивно, а эволюционный оператор муль­типликативен.

Состояние системы с n/2 степенями свободы в каждой момент

времени представляется в «-мерном фазовом пространстве точкой с координатами U₁, U₂, u_n. Эта точка со временем перемещается вдоль некоторой траектории, называемой фазовой траекторией. В силу теоремы Коши через каждую точку фазового пространства проходит единственная траектория. Этот факт означает, что, фазо­вые траектории не пересекаются. Если система имеет одну сте­пень свободы, то фазовое пространство двумерно и представляет собой фазовую плоскость.

Первым шагом в исследовании фазового пространства системы

(6.4) обычно является нахождение особых точек - состояний рав­новесия, которые находятся путем приравнивания нулю всех про­изводных в системе (6.4)

Физический смысл состояний равновесия очевиден: в точке фазо­вого пространства, отвечающей состоянию равновесия, согласно

(6.5) , все производные равны нулю, т.е. система не претерпевает изменений. Но такое отсутствие изменений в действительности возможно только если состояние равновесия устойчиво. Из теории колебаний понятно, что существуют и неустойчивые состояний равновесия (например, маятник в верхней точке).

Для этого развиты два метода: по линейному приближению и с помощью функций Ляпунова. Рассмотрим первый из них.

Пусть u = u₀ есть некоторое решение уравнения (6.5). Вводя ма­лое возмущение u₁, т.е. полагая

и линеаризуя (т.е . разлагая в ряд) исходное уравнение (6.4) по ма­лой добавке u₁, получаем линейную систему дифференциальных уравнений

где производные dfJdUj вычисляются при u = u₀. Решение (6.7) сле­дует искать в виде:

Тогда отрицательные λ означают затухание возмущения со време­нем, т.е. устойчивость, положительные - напротив, рост возмуще­ния (неустойчивость); мнимые части λ говорят о колебательном движении. Найдем λ. Подставляя (6.8) в систему (6.7), получаем дисперсионное уравнение для нахождения ляпуновских (или ха­рактеристических) показателей λ:

В общем случае это уравнение имеет n комплексных решений. Если среди корней этого уравненияимеется хотя бы один, у которого

действительная часть положительнато решение является

неустойчивым.

жения равновесия и линейное приближение ответа на вопрос об ус-

тойчивости не дает. Обычно в такой ситуации приходится привле­кать более совершенный аппарат функций Ляпунова.

Анализ фазового пространства для двух степеней свободы.

Рассмотрим далее достаточно простой пример системы с одной степенью свободы (n = 2). В этом случае фазовое пространство, как уже говорилось, представляет собой плоскость:

В этом случае размер матрицы характеристических показателей -

2х2:

Вычислив определитель, получим характеристическое уравнение (6.11), которое является квадратным уравнением с действительны­ми коэффициентами:

где

Корни этого уравнения

)

Отсюда понятно, что равновесное состояние устойчиво, если

p>0, r>0 . (6.12)

Это уравнение уже не второго, а первого порядка, к тому же не за­висящее от времени. Решая это уравнение, получим функцию y(x), зависящую от одной константы интегрирования С. Функция y(x) и есть фазовая траектория, определяемая начальными условиями, задаваемыми константой C.

Возможно, что даже уравнение (6.13) трудно разрешимо. В этом случае все равно можно получить фазовый портрет системы, поль­зуясь методом изоклин. Поскольку dy/dx есть тангенс угла наклона касательной к фазовой траектории, то функция y(x), вычисленная из выражения

определяет геометрическое место точек в фазовом пространстве, где фазовые траектории имеют один и тот же угол наклона, тангенс которого равен К. Такие кривые называются изоклинами.

На рис. 6.2 приведен пример построения изоклин для особой

точки - фокуса. Изоклины в этом случае оказываются прямыми, проходящими через начало координат. Нуль-изоклиной называется кривая для К = 0.

Рассмотренный случай двух уравнений с двумя переменными на самом деле обладает большей общностью, чем это может показать­ся. Дело в том, что система (6.11) отвечает системе трех кинетиче­ских уравнений плюс всегда существующее уравнение баланса. Кроме того, во многих случаях большего числа переменных систе­ма может быть все-таки сведена к системе трех уравнений (напри­мер, при учете лимитирующих стадий и.т.п.). Подчеркнем также связь с теорией колебаний. Характерное для теории колебаний уравнение второго порядка

может быть приведено к эквивалентной системе (6.15) путем про­стой замены

Вследствие этого в дальнейшем будем часто начинать с уравнений типа осциллятора, не уточняя как они возникают из химической кинетики.

Рис. 6.1. Особые точки фазовой плоскости динамической системы (элементы фазового портрета) [12]

Структурные элементы фазового портрета. Еще более важ­ными и интересными объектами, возникающими на фазовой плос-

кости, являются предельные циклы. Предельными циклами назы­ваются такие замкнутые фазовые траектории, к которым асимпто­тически стремятся (или от которых асимптотически отходят) все прочие фазовые траектории системы.

Рис. 6.2. Построение изоклин динамической системы [12]

Проиллюстрируем все эти виды ного осциллятора:

Такие траектории назы­ваются устойчивыми или неустойчивыми предельны­ми циклами соответственно. Предельные циклы следует отличать от просто сепа­ратрис: траекторий разде­ляющих области фазового пространства с различным типом фазовых траекторий. Так, на портрете седловой точки (см. рис. 6.1) прямые являются сепаратрисами.

Мы рассмотрим предельный цикл на примере известной

в биофизике реакции Бело­усова - Жаботинского (ре­акции «химических часов») в следующем разделе (гл.7),

посвященном биологиче­скому действию лазерного излучения.

движения на примере нелиней-

Пусть функция f(y) такова, что f(0) = 0. Говорят, что система явля­ется гамильтоновой, когда в ней нет диссипации энергии, т.е. она обладает законом сохранения

Здесь постоянная Е имеет смысл полной энергии, складывающейся

из кинетической у²/2 и потенциальной F(y) энергий. Будем считать,

что силаf(y) не имеет особенностей. Тогда интеграл (6.18) в конеч­ных пределах ограничен, и мы будем иметь дело с конечным зна­чением потенциальной энергии. Для построения фазового портрета системы выберем фазовую плоскость, на которой по оси ординат отложены значения dy/dt, а по оси абсцисс - значения у. Решая (6.18) относительно у, получаем некую зависимость dy/dt(y) в виде

Это есть аналитическое выражение для интегральных кривых на фазовой плоскости. Как обычно, структура фазового портрета оп­ределяется особыми точками (нулями и экстремумами) функции f(y). Рис. 6.3 иллюстрирует пример построения фазового портрета для случая функции f(y), показанной в верхней части рисунка. Как видно из рисунка, фазовые траектории однозначно нумеруются значением полной энергии Е. Тем нулям функции f(y), в которых df/dy < 0 (максимумы F(y)), как можно видеть, отвечают седловые точки на фазовом портрете. Тем нулям f(y), в которых df/dy > 0 (ми­нимумы F(y)), отвечают особые точки типа «центр» (устойчивая особая точка). Периодическим колебаниям амплитуды отвечают замкнутые траектории, существующие внутри петли сепаратрисы. Заметим, что при всех значениях энергии имеются т.н. траектории, отвечающие неограниченным (инфинитным) движениям. Можно осуществлять выбор между всеми этими траекториями путем зада­ния начальных условий, т.е. заданием координаты y и скорости dy/dt в начальный момент времени.

Рассмотрим теперь систему, напротив, имеющую диссипацию энергии. Диссипация может возникать, например, вследствие тре­ния; пусть такое трение будет линейным по скорости (как в случае, например, жидкого трения). В этом случае такая динамическая сис­тема описывается уравнением

известным как уравнение или осциллятор Ван-дер-Поля. При α = 0 это есть уравнение гармонического осциллятора, а при β = 0, α > 0 (6.20) является уравнением линейного осциллятора с трением. Вто­рое слагаемое является диссипативным. Как видим, если β 0, то диссипативное слагаемое может менять знак. Это означает, что возможна как потеря энергии осциллятором, так и подкачка энер­гии в систему. (Подкачка энергии в систему за счет трения вовсе не является просто абстрактной возможностью. Как известно, она возможна, например, в случае обычного механического осциллято­ра, помещенного в поток жидкости и др.) Основные типы поведе­ния динамических систем и особенности фазовых траекторий хо­рошо иллюстрируются данным примером. Прежде всего заметим, что (6.20) имеет единственную особую точку (стационарное реше­ние) у = 0.

Рис. 6.3. Пример построения фазового портрета системы (6.18):

А - вид функции F(y); B - вид функции fy); С - фазовые траектории, отвечающие различным значениям энергии Е [12]

При α = 0 эта особая точка представляет собой центр, при

0 < α < 2ω₀ - устойчивый фокус, при α > 2ω₀ - устойчивый узел. Соответственно при - 2ω₀ < α < 0 возникает неустойчивый фокус и, наконец, при α < - 2ω0 - неустойчивый узел. Поступлению энер­гии в систему α < 0 отвечает множитель 1 - Ру², описывающий так называемую авторегулировку ввода энергии. Эта авторегулировка приводит к тому, что система всегда находится в ограниченной об­ласти фазового пространства, содержащей начало координат. Бес­конечно удаленная точка при этом неустойчива. Однако при α < 0 начало координат неустойчиво. Поскольку система (6.20) других особых точек не имеет, а фазовые траектории на плоскости не пе­ресекаются, то на фазовой плоскости обязательно существует ус­тойчивый предельный цикл, т.е. траектория, к которой из доста­точно широкого класса начальных условий притягиваются траек­тории системы. Иначе говоря, при α < 0 в системе устанавливают­ся автоколебания, амплитуда и частота которых не зависят от на­чальных условий. На рис. 6.4 приведены типичные предельные циклы и на рис. 6.5 - соответствующие им осциллограммы колеба­ний ([13]).

Рис. 6.4. Фазовые портреты, соответствующие уравнению Ван-дер-Поля (6.20), при Р = 1 и различных значениях параметра нелинейности: а - квазигармониче­ские колебания (α = 0,1); б - сильно несинусоидальные колебания (α = - 0,1); в - релаксационные колебания (α = - 10) [12]

Во многих случаях возникновение автоколебаний обусловлено наличием у нуль-изоклин участка с падающей характеристикой («отрицательное сопротивление»). Графически такие нуль-

Вблизи предельных циклов при анализе асимптотического по­ведения фазовых траекторий иногда используется понятие орбит­ной устойчивости. Это понятие отражает следующее свойство сис­темы: пустьy₀(t) - замкнутая траектория, отвечающая предельному циклу- некоторая возмущенная траектория. Тогда пре­

дельный цикл Y₀ называется орбитно-устойчивым (или просто ус­тойчивым), если расстояние ρ между траекториями y₀(t) и y(t) стре­мится к нулю при

Подводя итог, отметим, что фазовое пространство динамиче­ских систем с одной степенью свободы (фазовая плоскость) может содержать комбинации только конечного или счетного числа рас­смотренных выше структурных элементов. Для примера на рис. 6.6 показаны фазовые портреты динамических систем, содержащие одновременно несколько структурных элементов.

Рис. 6.5. Осциллограммы, иллюстрирующие характер установления и форму автоколебаний в системе (6.20). Они соответствуют фазовым портретам на рис. 6.4 [12]

Рис. 6.6. Примеры фазовых портретов системы с тремя особыми точками. Сплош­ными замкнутыми линиями ообозначены устойчивые предельные циклы, штрихо­выми - неустойчивые предельные циклы. На всех восьми фазовых портретах осо­бая точка 2 - седло. На фазовых портретах 4, 5, 6, 8 - устойчивый предельный цикл охватывает все три состояния равновесия [12]

Отметим еще одно свойство нелинейных динамических систем. Как оказывается, качественный вид фазовых портретов не очень чувствителен к конкретному виду функций, входящих в исходное динамическое уравнение (6.17). Для фазового портрета опреде­ляющую роль играют лишь достаточно общие характеристики этих функций (нули, экстремумы, знаки производных и асимптотика

функции fly)). Описанное свойство принято называть структурной

устойчивостью динамической системы.

6.3.