Связь полюсов и нулей.

Точка называется нулем функции , если .

Теорема. Для того чтобы точка была полюсом функции , необходимо и достаточно, чтобы она была нулем функции .

Доказательство. Необходимость. Пусть - полюс функции , тогда аналитическая в , а = , то есть

Тогда функция аналитическая в и ограничена в окрестности точки . Поэтому точка - правильная точка функции и существует конечный .

Достаточность. Пусть - нуль функции ( - правильная точка функции ) и аналитическая в .

Тогда . Следовательно, = и - полюс функции .

Примеры.

1. . Так как точки - нули функции , то точки полюсы функции .

2. .

Будем считать аналитической в

Точка называется полюсом n–го порядка функции , если .

Точка называется нулем n–го порядка функции , если ,

.

Пример. . Точка - полюс пятого порядка, - полюс третьего порядка, - полюс второго порядка..

Теорема. Для того чтобы точка была полюсом функции n-го порядка, необходимо и достаточно, чтобы она была нулем n-го порядка функции .

Доказательство. Необходимость.

, где . Так как - аналитическая в и , то - аналитическая в и , поэтому точка - нуль n-го порядка функции .

Достаточность доказать самостоятельно (доказательство аналогично).

Теорема. Для того чтобы точка была полюсом n-го порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы ее разложение в ряд Лорана по степеням не содержало степеней ниже (-n) и содержало слагаемое .

Доказательство. Необходимость.

Достаточность. Пусть . Тогда

, где - аналитическая в точке функция (как сумма степенного ряда). Поэтому - полюс n-го порядка функции .