Связь полюсов и нулей.
Точка 
называется нулем функции 
, если 
.
Теорема. Для того чтобы точка была полюсом функции , необходимо и достаточно, чтобы она была нулем функции 
.
Доказательство. Необходимость. Пусть - полюс функции , тогда аналитическая в 
, а 
= 
, то есть 
Тогда функция 
аналитическая в и ограничена в окрестности точки . Поэтому точка - правильная точка функции и существует конечный 
.
=0. - нуль функции . Достаточность. Пусть - нуль функции ( - правильная точка функции ) и аналитическая в 
.
Тогда 
. Следовательно, = и - полюс функции .
Примеры.
1. 
. Так как точки 
- нули функции 
, то точки полюсы функции .
2. 
.
, то 
- полюс функции . Будем считать аналитической в
Точка называется полюсом n–го порядка функции , если 
.
Точка называется нулем n–го порядка функции , если 
,
.
Пример. 
. Точка - полюс пятого порядка, 
- полюс третьего порядка, 
- полюс второго порядка..
Теорема. Для того чтобы точка была полюсом функции n-го порядка, необходимо и достаточно, чтобы она была нулем n-го порядка функции .
Доказательство. Необходимость.
Пусть точка полюс функции n-го порядка, тогда , = 
, где 
. Так как 
- аналитическая в 
и 
, то 
- аналитическая в и 
, поэтому точка - нуль n-го порядка функции .
Достаточность доказать самостоятельно (доказательство аналогично).
Теорема. Для того чтобы точка 
была полюсом n-го порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы ее разложение в ряд Лорана по степеням 
не содержало степеней ниже (-n) и содержало слагаемое 
.
Доказательство. Необходимость.
Если точка - полюс n-го порядка функции , то . Разложим аналитическую функцию в ряд Тейлора 
по степеням 
и подставим разложение. 
. 
. Достаточность. Пусть 
. Тогда
, где 
- аналитическая в точке функция (как сумма степенного ряда). Поэтому - полюс n-го порядка функции .