Вартість грошей і час. Нарощена і дисконтована вартість.

Відповідно до концепцій виробленим економічною теорією гроші можна розглядати як своєрідний товар, що має властивість загальності, тобто може обмінюватися без обмежень на будь-які інші товари, послуги.

Очевидно, що 1 мли. гри на початок 2000 року більш вагомий, ніж мільйон 2001 року. У такому випадку необхідно робити коректування грошової суми на темпи інфляції. Але проблема не зводиться тільки до обліку інфляції. Одним з основних принципів фінансового менеджменту є визнання тимчасової цінності грошей, тобто залежності їхньої реальної вартості від величини проміжку часу, що залишається до їхнього одержання чи витрати. В економічній теорії дана властивість називається позитивною тимчасовою перевагою.

Поряд з інфляційним знецінюванням грошей існує ще кілька моментів такого економічного феномена.

1). Гроші «зараз» завжди цінніше грошей “завтрашніх” через ризик неотримання останніх. Наприклад, за договором визначена сума грошей буде отримана через рік. Завжди існує імовірність неотримання всієї чи суми її частини в чи термін перетворення її в безнадійний борг.

2) . Розташовуючи кошти “сьогодні”, економічний суб'єкт може вкласти їх у яке-небудь дохідне підприємство і дістати прибуток, у той час як одержувач майбутніх грошей позбавлений цієї можливості.

3) . Розстаючись із грошима “сьогодні” на визначений період часу (допустимо, даючи їх у борг на 1 рік), власник не тільки піддає себе ризику їхнього не повернення, але і несе реальні економічні втрати у формі не одержаних доходів від інвестування.

4) . Знижується платоспроможність того, хто дає в борг, тому що будь-які зобов'язання, одержувані їм замість грошей, мають більш низьку ліквідність, чим “живі” гроші. Тобто в кредитора зростає ризик утрати ліквідності, що він компенсує, визначаючи вартість заставного майна в багато разів перевищуючу суму грошей, дану в борг.

Природно, що ніхто з власників грошей, не згодний безкоштовно приймати на себе настільки істотні додаткові ризики. Тому, хто дає гроші в борг чи бере їх у борг, повинні порівняти окремі грошові суми і їхні потоки, здійснювані в різні проміжки часу. Основу такого розрахунку складає процентна ставка, що повинна відшкодувати всі моральні і матеріальні незручності, що виникають у фізичної чи юридичної особи, що дає гроші в борг.

За допомогою процентної ставки визначається як майбутня вартість “сьогоднішніх” грошей (наприклад, якщо їх збираються позичити), так і дійсна (сучасна, поточна чи приведена) вартість “завтрашніх” грошей. Наприклад, тих, котрими обіцяють розплатитися через визначений час після постачання чи товарів, надання послуг. У першому випадку говорять про операцію нарощення, тому майбутню вартість грошей часто називають нарощеної, а процес нарощення компаундуванням. В другому випадку виконується дисконтування чи приведення майбутньої вартості до її сучасної величини.

Процентна ставка показує ступінь інтенсивності зміни вартості грошей у часі. Абсолютна величина цієї зміни називається відсотком, виміряється в грошових одиницях (І). Якщо позначити майбутню суму S, а сучасну (чи первісну) Р, то

I = S-P. Процентна ставка і (у %) визначається розподілом відсотків на первісну суму

Нарощення первісної суми по процентній ставці називається декурсивним методом нарахування відсотків.

Поряд з декурсивним методом існує й антисипативний метод нарахування відсотків. Сутність його в тім, що відсотки нараховуються на початок розрахункового періоду, при цьому за базу (100%) приймається сума погашення боргу.

де D - сума дисконту (Diskont у перекладі з німецького означає “знижка”).

За допомогою розглянутих вище ставок можуть нараховуватися як прості, так і складні відсотки. При нарахуванні простих відсотків нарощення первісної суми відбувається в арифметичній прогресії, а при нарахуванні складних відсотків - у геометричній. Нарахування простих рекурсивних і антісіпативних відсотків виробляється по різних формулах:

де η - тривалість позички, обмірювана в роках.

У формулах (3) і (4) співмножник (1 + пі) - множник нарощення декурсівних відсотків, a I / (I - nd) - множник нарощення антісіпативних відсотків.

Наприклад, позичка в розмірі 1 млн. грн видається терміном на 0,5 року під 20% річних. У випадку декурсівних відсотків нарощена сума (S1) дорівнює 1,1

млн. грн [(1 * (1 + 0,5 * 0,2)]. Сума нарахованих відсотків (Г) - 0,1 млн. грн (1,1 - 1). Якщо ж нараховувати відсотки по антісіпативному методу, то нарощена величина (Sd) складе 1,111 млн. грн (I х (I / (1 - 0,5 * 0,2), а сума відсотків (D) 0,111 млн. грн. Нарощення по антісіпативному методу завжди відбувається більш швидкими темпами, чим при використанні процентної ставки. Тому банки використовують цей метод для нарахування відсотків по видаваним ними позичкам у періоди високої інфляції.

З формул (3.1 - 3.4) можна одержати математичне вираження, що зв’язує процентну і дисконтну ставку:

Використовуючи цю формулу можна одержувати еквівалентні результати, нараховуючи відсотки як по формулі (3.3), так і по формулі (3.4).

Якщо тривалість позички (чи іншої фінансової операції, зв'язаної з нарахуванням відсотків) п не дорівнює чи року цілому числу років, то нарощена вартість визначається по формулах:

для антісіпативних відсотків:

де K - кількість днів у році, at - тривалість фінансової операції в днях; d - дисконтна ставка в частках одиниці.

У фінансовій математиці застосовують три методи процентних розрахунків, що залежать від обраного періоду нарахування:

1. Точні відсотки з точним числом позички («англійська» практика). Тут визначається фактичне число днів між датою одержання і погашення кредиту, наприклад. Тривалість року приймається рівної 365 чи 366 дням.

2. Звичайні відсотки з точним числом днів позички («французька практика» і кількістю днів у році рівним 360.

3. Звичайні відсотки з наближеним числом днів позички, розрахованим виходячи з ЗО календарних днів у місяці і 360 днів у році.

Розходження в способах підрахунку днів можуть показатися несуттєвими, однак при великих сумах операцій і високих процентних ставках вони досягають значних розмірів.

Зворотною задачею стосовно нарахування відсотків є розрахунок сучасної вартості майбутніх грошових надходжень (платежів). Це дисконтування. У ході дисконтування по відомій майбутній вартості S і заданим значенням процентної (облікової) ставки і тривалості операції знаходиться первісна (сучасна, приведена чи поточна) вартість Р. У залежності від того, яка саме ставка - проста процентна чи проста облікова - застосовується для дисконтування, розрізняють два його види: математичне дисконтування і банківський облік.

Метод банківського обліку одержав свою назву від однойменної фінансової операції, у ході якої комерційний банк викуповує у власника (враховує) простий чи переказний вексель за ціною нижче номіналу до закінчення зазначеного на цьому документі терміну його погашення. Викупна ціна (сучасна вартість) векселя визначається по формулі:

де t - термін, що залишається до погашення векселя, у днях. Другий співмножник цього вираження (7 - (t/K) · d) називається дисконтним множником банківського обліку по простих відсотках. Як правило, при банківському обліку застосовуються звичайні відсотки з точною тривалістю позички (другий варіант).

При математичному дисконтуванні використовується проста процентна ставка і. Розрахунки виконуються по формулі:

Вираження 1/(1 + (t/К) · і) називається дисконтним множником математичного дисконтування по простих відсотках.

Цей метод застосовується у випадках, коли виникає необхідність визначити сучасну величину суми грошей, що буде отримана в майбутньому.

Проста процентна і дисконтна ставки застосовуються при здійсненні фінансових операцій, тривалість яких менш 1 року. Якщо гроші можуть бути відкладені на період більш року, то з'являється можливість їхнього реінвестування і наступного нарощення отриманої грошової суми. У даному випадку для розрахунку нарощеної суми застосовуються складні ставки відсотків, що враховують можливість реінвестування відсотків, і нарощення виробляється в такий спосіб. Наприкінці першого року нарощена сума дорівнює:

Sj = P + P · і = Р(1 + і). Наприкінці другого року відсотки нараховуються на вже нарощену суму:

Наприкінці п-го року нарощена вартість (останній член прогресії) знаходиться з формули:

де (1 + і) п - множник нарощення декурсивних складних відсотків.

Використання у фінансових обчисленнях простих і складних відсотків дає неоднакові результати, і розходження між ними обумовлені термінами угод [25]. Так, при рівній величині простих і складних процентних ставок, при терміну фінансової угоди менш одного року, нарощена сума, обчислена по простих відсотках, буде більше нарощеної суми, обчисленої по складних відсотках. Але при терміну угоди більш 1 року нарощення по складних відсотках випереджає нарощення по простих відсотках. Банки мають можливість використовувати цей ефект, призначаючи схему нарахування відсотків при висновку кредитний чи депозитний угоди з термінами дії до 1 року і більш року.

Важливою особливістю складних відсотків є залежність кінцевого результату від кількості нарахувань протягом року. Тут знову позначається вплив реінвесту- вання нарахованих відсотків: база нарахування зростає з кожним новим нарахуванням, а не залишається незмінної, як у випадку простих відсотків [23]. Наприклад, якщо нараховувати 20% річних відсотків 1 раз у рік, то первісна сума в 1 тис. грн зросте під кінець року до 1,2 тис. грн

(1 · (1+ 0,2)). Якщо ж нараховувати по 10% кожні півроку, то майбутня вартість складе 1,21 тис. грн (1-(1+ 0,1) · (1 + 0,1)), при поквартальному нарахуванні по 5% вона зросте до 1,216 тис. грн. В міру збільшення числа нарахувань (т) і тривалості операції ця різниця буде дуже сильно збільшуватися. Якщо розділити суму нарахованих відсотків при щоквартальному нарощенні на первісну суму, то вийде 21,6% (0,216 /1 * 100), а не 20%. Отже, складна ставка 20% при однократному нарощенні і 20% (чотири рази по 5%) при поквартальному нарощенні приводять до різних результатів, тобто вони не є еквівалентними. Цифра 20% відбиває вже не дійсну (ефективну), а номінальну ставку. Ефективною процентною ставкою є значення 21,6%. У фінансових розрахунках складну номінальну процентну ставку прийнято позначати буквою j. Формула нарощення по складних відсотках при нарахуванні їх т раз у році має вид:

Математичне дисконтування по складній процентній ставці і широко застосовується в інвестиційних розрахунках. Для т = 1 одержуємо майбутню вартість, приведену до дійсного моменту часу

де I / (I + і)п - дисконтний множник математичного дисконтування по складній процентній ставці.

При кількаразовому нарахуванні відсотків протягом року приведена дійсна вартість визначається по формулі:

де j - складна номінальна процентна ставка, а 7 / (I + j / т)тп - дисконтний множник математичного дисконтування по складній номінальній процентній ставці.

В міру збільшення числа нарахувань відсотків протягом року (т) проміжок часу між двома суміжними нарахуваннями зменшується. Якщо нарахування складних відсотків виробляється настільки часто, що загальне його число в році прагне до нескінченності, тоді величина проміжку між окремими нарахуваннями буде наближатися до нуля, тобто нарахування стане практично безупинним. У таких розрахунках застосовується неперервна процентна ставка, що у фінансовій математиці називають “сила росту ”. Формула нарощення по безупинній процентній ставці має вид:

де е - підстава натурального логарифма, є*1 - множник нарощення неперервних відсотків.

Наприклад, якщо сьогодні покласти 250 тис. грн на банківський депозит під 15% річних, що нараховуються безупинно протягом трьох років, то нарощена сума буде дорівнювати:

Безупинне дисконтування з використанням постійної сили росту виконується по формулі:

Існують і більш складні випадки розрахунків. Але в зв’язку зі спеціальним характером їхнього застосування при обґрунтуванні фінансових угод у даному посібнику вони не розглядаються.

3.2.