Русские опционы
где
называются «русскими опционами», или look-back .
Они относятся к классу опционов продавца с последействием и дисконтированием.
 |
Будем считать, что (Ь, 5')-рынок имеет стандартный вид:
и
В этом случае
 |
т.е. относительно исходной вероятностной меры P процесс
 |
не является мартингалом. Обозначим через Ex математическое ожидание относительно такой вероятностной меры Px, что dSt имеет вид (54), причем S0 = х. Обозначим через Ш1^° и 9Ло° классы моментов остановки т таких, что
обозначают оптимальные стоимости опциона в предположении, что покупатель может выбирать моменты его погашения в классах SOtg0 и SDtg0 (в последнем случае допускается, при τ = оо, возможность непредъявления
опциона к погашению). Соответственно моменты т, на которых достигаются эти верхние грани (если таковые существуют, т.е. тогда вместо sup можно писать max), являются оптимальными моментами остановки.
Чтобы найти эти оптимальные моменты введем, как и в первом пункте этого параграфа, мартингальную вероятностную меру Pt, т.е. такую меру, относительно которой процесс Bt = Bt — at является броуновским движением. Соответствующие математические ожидания будем обозначать E и тогда для любой измеримой функции F
 |
| |||
 | |||
|
таков, что Ρ(τ < то) = 1 и является, оптимальным как в классе Mg0, так и в классе Mg0.
Прежде чем дать набросок доказательства, подчеркнем практическую важность этой теоремы.
При а = 0, вычислив порог по формуле (68), мы немедленно определим стоимость соответствующего опциона из формул (66),(67) и оптимальный момент погашения.
|
| ||||||
| ||||||
 | ||||||
 |