А Приложение

А. 1 Основные понятия теории интеграла Лебега по (вероятностной) мере

Цель этого пункта - изложить основные сведения теории интеграла Лебега, Элементы этой теории излагаются (в той или иной степени общности) в курсе математического анализа, но поскольку в теории вероятностей и в этом курсе ряд основополагающих фактов этой теории используется весьма часто, здесь кратко повторяется также и весь процесс построения теории интеграла Лебега.

Определение А.1. Система множеств Л называется полукольцом, если

Оказывается, что множество всех измеримых по Лебегу подмножеств E образует σ-алгебру, которую мы будем обозначать через М. Для множеств, входящих в M определим μ = μ*, тем самым задав некоторую функцию множеств на Л4, которая оказывается σ-аддитивной мерой и называется мерой Лебега, Заметим, что определение измеримых по Лебегу множеств зависит от начальных данных — полукольца и меры на нем. Если взять полукольцо брусьев, являющихся подмножествами фиксированного куба, с мерой на нем, определенной выше, то построенная мера Лебега будет называться классической, в отличие от общей, абстрактной, Борелевской мерой называется мера, определенная на боре- левских множествах, со значениями, равными значениям классической меры Лебега на них. Классическая мера Лебега может быть определена и на подмножествах Era, а не Е, для чего достаточно представить Е™,

ством.

Если какое-либо свойство выполнено всюду, кроме, быть может, множества нулевой меры (вероятности), то говорят, что свойство имеет место почти всюду (почти наверное).

Определение А.11. Пусть (Χ,Αί,μ) — измеримое пространство, А є Ai, о функция f(x) задана на А и принимает либо действительные значения, либо +оо, —сю. Тогда J (х) называется измеримой, если при каждом сеК выполняется соотношение

В теории вероятностей аналогичное определение приводит к измеримым случайным величинам.

Предположим, ЧТО {fn(x)}^=i И /(+) — измеримые и конечные на измеримом пространстве (Χ,Μ,μ) функции.

Определение А. 12. Говорят, что последовательность fn(x) ==> f(x) на X при п —> сю (сходится по мере на X), если для любого ε > О

выполняется, соотношение

Для вероятностного пространства это — определение сходимости по вероятности. Из сходимости почти всюду на множестве конечной меры следует сходимость по мере (соответственно из сходимости почти наверное следует сходимость по вероятности).

Функция h называется простой, если она измерима на измеримом пространстве и принимает лишь конечное число значений, причем любое ненулевое значение принимается на множестве конечной меры. Тогда интеграл Лебега Jx h{x)dy от нее определяется как сумма попарных произведений всех ненулевых значений этой функции на меры тех множеств, на которых функция принимает соответствующие значения.

Для произвольной измеримой неотрицательной функции на множестве EgM обозначим

Qf = { неотрицательные простые функции h(x) на E :

Тогда интегралом Лебега от произвольной неотрицательной измеримой функции на E называется

(здесь допускается и бесконечное значение), Если так определенный интеграл конечен, то говорят, что / Є L(E) (функция /{./·) измерима по Лебегу, или суммируема, на множестве E.)

Теперь для произвольной измеримой функции f(x) на E GM определим две функции

и будем говорить, что f(x) измерима по Лебегу на множестве E, если обе функции /+(ж) и f~(x) измеримы по Лебегу на множестве Е.

этом

Для вероятностного пространства вместо понятия интеграла говорят о математическом ожидании и используют обозначение E (F) (так как случайные величины в теории вероятностей принято обозначать заглавными буквами).

Основными теоремами об интегралах Лебега, используемыми в этом курсе, являются следующие.

Теорема А Л (теорема Лебега). Пусть мера μ полна, a {fn(x)}?f=i — такая последовательность измеримых на E функций, что существует функция F G L(E), для которой \fn(x)\ ^ F(x) при всех п и х G Е, и fn(x) —> f(x) при п —> оо почти всюду на множестве Е. Тогда функция f(x) измерима по Лебегу на множестве E и

Теорема А.2 (лемма Фату). Если мера μ полна, a {fn(x)}^=i ~ последовательность измеримых на E неотрицательных функций, то

Прежде чем формулировать следующую теорему, дополним данное ранее определение прямого произведения мер, а именно, считаем, что прямым произведением двух мер Лебега (абстрактных) из двух измеримых пространств (Χι, Mι,μι) и (X2, -M2, //2) будет продолжение μ ранее определенного произведения μιΧμ2ο полукольца, являющегося прямым произведением соответствующих полуколец, на лебеговскую σ-алгебру, которую будем обозначать через M.. Через Е(х) будем обозначать сечения множества Е:

Теорема А.З (теорема Фубини). Пусть меры μι и μ2 полны, множество E измеримо относительно только что определенной σ-алгебры М.

измерима по Лебегу (суммируема) на Xi и

Аналогичные утверждения справедливы для другого повторного интеграла.

Наконец, упомянем о пространстве Lp(X), определенном для I ^ р < сю, и измеримого пространства (Χ,Αί,μ), состоящем из измеримых функций / таких, что интеграл Jx \f(x)\pdy конечен. При этом две функции, совпадающие μ-почти всюду на X, отождествляются как элементы пространства Lp(X). Норма в этом пространстве задается равенством

оно полное, т.е. из фундаментальности последовательности в этом пространстве следует ее сходимость. Отметим также, что из сходимости почти всюду на X следует сходимость в смысле Lp(X) в случае конечности меры μ(Χ).

А.2 Некоторые сведения из теории вероятностей

Пусть — вероятностное пространство. Элементы σ-алгебры

T называются событиями, индикаторная функция события — это функция IЦ, задаваемая на Ω следующим образом:

Лемма А.1 (Бореля - Кантелли). Если {А} _ последовательность событий,то из сходимости ряда

следует, что вероятность сходимости ряда

равна одному.

Определение А. 13. Пусть X — измеримая по Лебегу случайная величина на вероятностном пространстве (Ω,Χ,Ρ), £ — σ-алгебра, являющаяся подалгеброй Tт.е. T D £. Тогда условным математическим ожиданием случайной величины X относительно £ называется любая £-измеримая по Лебегу случайная величина Υ, которая для всех А є £ удовлетворяет равенству

Условное математическое ожидание Y обозначается через E (.V £). Среди свойств условных математических ожиданий отметим следующие:

2. (Неравенство Иенсена) Предположим, что φ — действительная выпуклая функция на всей действительной оси, а X(и) — измеримая по Лебегу случайная величина такая, что φ(Χ(ω)) — также измеримая по Лебегу случайная величина. Тогда

почти наверное.

3. Пусть X — измеримая по Лебегу случайная величина, a E — σ- подалгебра T. Тогда X = E (Х| £) почти наверное тогда и только тогда, когда X является измеримой случайной величиной относительно алгебры Е.

4.

Пусть V и £ — σ-подалгебры T такие, что V C £ C T. Тогда для любой измеримой по Лебегу случайной величины X почти наверное выполнено соотношение

Заметим также, что для тривиальной σ-алгебры V = {Ω, 0} условное математическое ожидание совпадает с обычным: E (Х| £) = E (X).

Далее широко используются понятия дисперсии У (X) = E (X2) — (E(X))2 и ковариации eov(X,F) = E ((X - E (Х))(Г - E (F))).

Со случайным вектором X = (X1,..., ХДТ связаны понятия его вектора среднего).ма їе.ма ї нчоекого ожидания) E (X) = (Е (Xi) ,... , E (Xd), ковариационной матрицы

где σ: ί = Cov(XijXj), плотности распределения fix\...., Xd), т.е. такой функции, что для любого измеримого множества A C IRd выполнено соотношение

где μ — d-мерная мера Лебега.