Расчёт срока ренты.

Л (2.71)

5= R

Представки (2.71) в ниде:

М^г'Ч+и^г-

Прологарифмировав правую и левую части этого равенства, получим:

Решив это уравнение относительно п, окончательно получим:

TTL/р

¦I , г

) ^

+ 1

(2.72)

• 4-К

п =

т 1л

К)

При расчёте по этой формуле срок получается, как правило, дробным. Поэтому количество периодов пр округляется до целого числа. Затем уточняется значение разового платежа по формуле, следующей из (2.71):

* ¦= ^

ИГ

(2.73)

-1

V

Пример 2.37, Б фонд ежегодно поступают сродства, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых, причём выплаты производятся в конце каждого квартала) а проценты начисляются ежемесячно. Величина фонда Eia конец срока составит 100 тыс. руб., годовая выплата — 10 тыс, руб. Определить срок ренты.

Решение, Срок ренты находится по формуле (2,72):

In

+ 1

R1

ЫТ

п =

тп In

К)

А

ia/4

ИГ 10*

- 1

-і- 1

ОД5\ is;

In 2,518828 й a — 0,197 лет.

12 In 1 +

12 - In 1,0125

Количество кварталов в полученном сроке составит rip = С,197 ¦ 4 = — 24,788. Округляем полученное число до 25, то есть количество лет ренты принимается равным 6,25, Подставив это число в формулу (2.73), получим величину ежеквартальной выплаты;

= ю5

2467,56 руб.

?-8

120,25

0,15і

ТГ

-1

»

-1

R)'

Если известна современная стоимость ренты с начислением процентов по номинальной процентной ставке н с неоднократными выплатами

в году, то срок такой ренты может быть найден из формул (2.21) к (2.22).

(2.74)

1/я

2У

т }

1 +

А = Я-

Решив это уравнение относительно п, получим:

(

п = —

(2.75)

т

Ln [ 1 +

V т ,

Формула для уточнения значения разового платежа имеет иид;

rn/p

1

¦ \ т + -)

(2.76)

тп /

-К)

Пример 2Л8, Долг в размере 50 тыс. руб, погашается равными частями в конце каждого квартала по 2,5 тыс. руб. На взносы начисляются проценты раз в году по ставке 15 % годовых. Определить время погашения долга.

Решение. Срок ренты находится но формуле (2.75), которая для условий примера принимает вид:

-і)

1/р

Jn

(1-М)

м

лет.

to (1-М) ™ Ln(l~ 0,15)

п =

lnQt288838 j, оол

= ьїдГ^ = 8,886

Количество кварталов в полученном сроке составит пр = 8 >886 - 4 = ~ 35,5. Округляем полученное число до 35, то есть количество лет ренты принимается равным 8,75. Подставив это число в формулу (2,76), уточним величину ежеквартальной выплаты:

І.ІВ1"-! 1Д5-*7*

= 2 519,6 руб.

5 = /1(i±i!^i=soooo-

Р l^(H-i) 1

Рассмотрим ещё один пример определения срока для р — срочной ренты с непрерывным начислением процентов при известной наращён-

ной сумме, определяемой формулами (2.24). Объединив эти формулы в одну, получим:

S = R-fn~X - (2.77)

р - і] ^ 1

Из формулы (2.77) определяем срок ренты;

ti - 7 In

о

$

+ (2.78)

Формула для расчёта уточнённой величины разовой выплаты следует из (2.77):

R 0е6/г-1

р^Т^Г С2-71})

Пример 2.39. В фонд ежегодно поступают средства, на которые начисляются проценты по силе роста 16% годовых, причём выплаты производятся в конце каждого кпартала, а проценты начисляются непрерывно. Величина фонда на конец срока составит 100 тыс. руб., годовал иыштата — 10 тыс- руб. Определить срок ренты.

Решение. Срок ренты находится по формуле (2.78):

1 і

п — - In

о

- 6,184 года.

Количество кварталов в полученном сроке составит пр = 6,184 ¦ 4 = — 24,736.

~ = - 100Q00 * 1 = 2 459,50 руб- Я

И е — 1 е 1 — 1

Для других типов ренты срок находится аналогично.

2,5,3. Расчёт процентной ставки ренты* Если известны все параметры ренты, кроме процентной ставки, то расчёт процентной ставки можно трактовать как определение доходности финансовой операции, Процентная ставка определяется из соотношений для расчёта наращённой суммы и современной стоимости но формулам, по-лученным выше для различных типов рент. В отличие от определе-ния годовой выплаты ренты или её срока, выражение для расчёта процентной ставки, как правило, нельзя представить в виде формулы. Поэтому процентную ставку ренты рассчитывают цифровыми способами. Рассмотрим один из них, называемый методом Ньютона- Рафона.

В общем случае метод Ныотона-Рафсона состоит и последовательном приближении к решению xq нелинейного уравнения f[x) = 0. Рассмотрим геометрический смысл метода, поясняемый рисунком 2.10-

Предполагается, что функция /(і) в исследуемой области является гладкой j непрерывной, монотонно возрастающей или монотонно убывающей. Вблизи решения выбирается произвольная точка . Через точку {x\J (xj)) проводится касательная к функции /{%)> которая пересекается с осью Оя в точке х^• Как следует из рис. 2,10, эта точка лежит ближе к решению xq но сравнению С точкой Координата точки Х2 определяется из геометрии рис. 2.10. Из прямоугольного треугольника следует, что

tg а (2,00)

Лі - %2

'І1&К как tgOf является производной f (xi) функции f{x) В точке X\t то решение (2,80) относительно х2 можно записать в виде:

/ (Si)

Аналогично находится координата точки Хз ещё ближе лежащей к решению В общем случае реку рентное соотношение можно представить в виде;

где t — номер итерации-

Для годовой ренты наращённая сумма определяется формулой (2.5), которую перепишем в виде:

I - <"»

При решении этого у раин ен.

и перенесём левую часть вправо. В результате получим:

9-1 R

Умножив левую и правую части этого уравнения на х - 1, найдём:

.--l. + l^.e. В качестве искомой функции принимаем:

Производная этой функции вычисляется по формуле

?(х)=пхп-1 - (2.85)

Пример 2.40. В накопительный фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10 тыс. руб. в течение 7 лет, причём па конец срока величина фонда составит 100 тыс. руб. Определить доходность инвестиций.

Решение. Для решения используются формулы (2.81), (2.84) и (2.85). S/R = 10. Положим х^ = 1Д5. Первая итерация:

/ (а?і) = 1>15т - 10 -1,15 + 10 - 1 = 0,16;

/' (зі) - 4 = 7 ¦ 1,15е - 10 = 6,19;

н

х2 = хг- 0А- = 1,15 - ^ = 1,1241578. / (a:L) 6,19

Вторая итерация:

f{x2) =г 0,0271944; /'{*„) - 4,127383;

/ (^з)

Третья итерация:

/ (®з) = 0,0016208; /' (т3) = 3,637 7?>4;

= --??4 = 1,1171235.

Поскольку результаты во второй и в третьей итерациях слабо отличаются друг от друга, то вычисления можно прекратить и принять в соответствии с (2.83) і - х -1 = 0,117123 5 или 11,712 35%,

Другим методом, подтверждающим окон чал не вычислений, яшінегся проверка. Для этого в правую часть уравнения (2.82) подставляют полученное значение ставки. Если результат совпадает с левой частью или слабо отличается от неё, то вычисления прекращаются, Для рассматриваемого примера

fi+iiIzl = 1.^1235^1 ^ 10)000 0(J. і 0hll7 L2'5 S

Поскольку результаты практически совпали, так как Sfft = JO, то принимаем і = 11,7112 35 % ~ 11,71%. 9

Аналогичным образом провидится расчёт процентной ставки и для других рент. Например, современная стоимость р-срочиой ренты определяется формулами (2.16) и (2Л7), которые запишем и аиде:

а = 1-0-ИГ" {т

д p[(l+i)1/p-l]

Так же как и в предыдущем случае, это уравнение приведем к виду, удобному для дальнейших расчётов. Введём замену (2.83) и перенесем правую часть (2-8G) влево.

п г . , v.

х1'* -1]

Умножив левую и правую части этого уравнения на р (х1^ — 1) я", найдём:

D качестве искомой функции принимаем:

f{x) - - (і-н ? р) *» + L (2.87)

Производная этой функции вычисляется по формуле:

/'W- (n+^^P^-^nfl + ^p)^-1. (2,88)

Пример 2.4L Единовременное вложение средств л предприятие составило 50 тыс. руб. В течение 7 лет по истечении каждого квартала инвестор получает 2,5 тыс. руб, Определить доходность инвестиций.

Решение. Для решения используются формулы (2.81)> (2.87) и )2(8). Я)Яᥠ*0 о""' У*- Є Пи»««[ о, = 1Д5.

2.51

77

Ofфеделение пирометров потока платежей

Первая итерация:

/ (зі) = Ti Р*і+* - (i + ^ р) + 1 = 5 - 4 ¦ -

-(1 + 5-4) 1,1йг+І = 0S231683;

м -(»+;) 5 V*T~P - » (і + ? p) «Г1 -

= 7f25 ¦ 5 ¦ 4 ¦ i,- 7 (1 + 5 ¦ 4) І,15G = 7,209 83;

- 1,1**19.

a?i = i]

/'(і,) ' 7,29983 Вторая итерация:

/(т2) = - (l+ + 1 = 0,052 001;

A3

/' = (п + ? Р^Г* ~Т - * (l + ^ р) ^Г1 = 4,12418,

= la —

= 1,105 507 6.

/'(«а)

Третья итерации;

/*<*¦)« («+ "Р^Г^1 - n(l + = 3,070451

T4 = ®3- -^1=1,103 278.

Принимаем в соответствии с (2.82) г = з - X = 0,103 273 или 10,3278 %, Проведём проверку, используя формулу (2.86)f получим:

-і

1 - 1Д03 278

= 4,999.

1^(1 + ІГ

Р[(І + І)д/р-І] 4(ідаззг81/4 -і)

Поскольку результаты практически совпали, так как S/R = 5, то принимаем і = 10,3278% к; 10,33%. М

Рассмотрим ещё один пример определения ставки наращения: (силы роста) для нешрерынкого потока платежей, изменяющегося по экспоненциальному закону (2.54). Найдём силу роста при нэаестной сопре-

мен ной стоимости такого потока, определяемой соотношением (2.55). Введём замену

х=ё-Ь {2М)

и перепишем это соотношение в виде:

(2т)

л і

Я {6-Ь)

Приведём это уравнение к виду, удобному для дальнейших рас-четов. Введём замену (2-83) н перенесём правую часть (2.90) влево.

— in

й-1— ,0. Ft х

Умножив левую н правую части этого уравнения на эг, найдём;

к

В качестве искомой функции принимаем;

/Ос) = ~x+t"'n -1, (2.91)

Производная этой функции вычисляется по формуле:

/'{.) = 4 _ (2.92)

Пример 2.42. 12ди но временное вложение средств в предприятие составило 80 тыс. руб. Начисления процентов и отдача от инвестиций к течение пяти лет непрерывны, причём базовая выплата Я = - 20

тыс. руб./год, 6 = 0,05. Определить доходность инвестиций а виде силы роста.

Решение. Для решения используются формулы (2.81), (2.91) и (2.92). Л/Я = 4. Положим = ОД. Первая итерация:

f{xx) = д + й 3=111 - 1-4-ОД + 1 ^ 0,0065300;

? = 0,967 3468;

Вторая итерация;

/ (xj) - z2 + е-?*п - 1 - 0,000 349 5; Я

a.fi]

Финансовая эквивалентность обязательств

/' Ы) = ^ - п<ГЕ1П = 0,8632300;

= Ті - тттЧ =

При із и маем и соответствии с (2.8У) 5 - b + х = 0,1.42844 или 14,2844% Проведём проверку, используя формулу (2.90):

= 3,990987.

(J - &) 0,092*44

Поскольку результаты практически совпали, так как A/R — 4, то принимаем й — И ,2844%. ¦