2.6 Финансовая эквивалентность обязательств

Уравнением эквивалентности называется равенство сумм заменяемых и заменяющих платежей, приведенных к одному моменту врс- менич

Принцип финансовой эквивалентности обязательств позволяет, ЕЇ частности, сравнивать два отдельных платежа, вы плач и наем их в различные моменты времени. При этом используются простые проценты, если сроки платежей меньше года, и сложные проценты — если сроки больше года.

Пусть имеются два платежа Si и Sj со сроками соответственно ті! и Ti2- При оценке этих платежей сравниваются их современные стоимости, и тот платёж п читается большим, у кото рот больше его сопрем ЄНІіал стоимость. Иногда возникает необходимость в определении критической ставки йр1 при которой два рассматриваемых платежа оказываются равными. Рассмотрим два варианта.

Д., Для простых процентов критическая ставка находится из уравнении эквивалентности, получаемо го путём приравниваний современных стоимостей первое и второго платежей:

5l _ Si

1 -+- Tllijfcj,

(2.93)

Решая это уравнение относительно tkpi найдём:

Пример 2.43. Первый платёж, равный ШО руб., должен быть выплачен через 30 дней, а второй, равный 920 рубг выплачивается через 270 дней. Сравнить эти платежи гтри простой процентной стайке 15% годовых и при базе К = 360.

Решение, Современная стоимость первого платежа:

Л - 888,89 руб.

Современная стоимость второго платежа:

Р^ = 826,97 руб.

При заданной стайке первый платёж превышает второй. ¦

Пример 2.44.

Решение. Критическая ставка, при которой платежи эквивалентны, определяется по формуле (2.93):

ikp = = - III " 900 = 0,0334 или 3,34%. ¦

360 360

Б. Для сложных процентов уравнения эквивалентности имеет вид:

S j

(ьм^Г ^ (Г+^Г"

Решая это уравнение относительно upi найдём:

і*, = (^J -1. (2,94)

Пример 2.45. Первый платёж, равный 9 тыс. руб., должен быть выплачен через 2 года, а второй, равный 12000 тыс. руб., выплачивается через 5 лет. Сравнить эти платежи при сложной процентной ставке 15 % годовых-

Решение. Современная стоимость первого платежа:

Современная стоимость второго платежа:

При заданной стаике первый платёж превышает второй. ¦

Пример 2ЛІі. Первый платеж, равный 9 тыс. руб., должен быть выплачен через 2 года, а второй, равный 12 тыс, руб., выплачивается через 5 леч1. Определить критическую ставку.

Реш е и ^ е. Критическая ставка, при которой платежи эквивалентны, определяется elu формуле (2.94):

= - 1 = 0ДООа или ¦

2.0-2, Объединений потока платежей п один. Объединение потока платежей в один называется также консолидацией платежей. Прн этом определяют либо сумму консолидированного платежа при известном сроке, либо срок при известной сумме. Рассмотрим вначале тадачу определения суммы консолидированного платежа при иэ- ьестном сроке. задача. может быть сформулирована следующим образом: пусть платежи с номерами 1,2, , m к со сроками, пронуме-рованными соответственно, заменяются ОДНИМ В сумме Set с известным сроком гіф. Определить В общем случае срок гс^ может лежать между первой и последней выплатами заменяемых: платежей.

Схема выплат может быть представлена так, как показано на рис< 2.11.

Si Sj Si StS&Si Si Sh Sti

I [__ I I I I I I E I ¦ E „J 1-І L I I I I I g-

0 7Ї1 JT.2 П-t ЦуТІфП 1 ТІД ГЦ ГІД1 fL

Рис.

Здесь всем платежам до момента по присвоен номер t и всего ч-аких платежей Г, а платежам после момента п^ присвоен номер k и всего таких платежей К. Общее количество заменяемых платежей m = Т -f- К. Сумма консолидированного платежа прн начислении простых процентов определяется по формуле:

(=1

Здесь в первую сумму входят все наращённые платежи со сроками меньше срока консолидировашюго платежа, а во вторую сумму вкодят все дисконтированные платежи со сроками больше срока консолиди-рованного платежа. Если срок консолидированного платежа наступит позже последнего срока заменяемых платеже йп то формула (2.95) приобретает вид:

So = ц»-»,)*].

Пример Я .47. Три платежа б тыс. руб. со сроком 130 дней, 3 тыс. руб, со сроком 165 дней и 8 тыс. руб* со сроком 320 дней

„м^ннт-я адшм ™ сроком 250 дней, Стороны договорились об ис- нгимпі.™™ платой процентной ставки 20% годовых. Определить IVMM\ H'lEC'UlMtipi чанного платежа при оазе к = да. " Pf-ше и не tVMa выплат представлена на рис. 2Л2.

SOOO S, руб.

320 л, дирй

Г>1Ю0 3000 So —^———

130 165

Рис. 2-12

при ст.»- ^ гении суммы ко ЕГСОЛ и дироваш юго платежа исполъзует- 4 ^ фч'рмыл и рис. 2Л2,

(>^-^) + ЗОО0(1+Ы0,2) +

8000

320

- 16172,98 руб.

1 +

365

і »ичгі Ktiju і^иди[ч>шіііного платежа при начислении сложных про- :м;. и tiiif*1 и.ннтос по формуле:

К

(2.97)

% - V.StJ 4-і)"--"1 + ?

"а - «а

= t1 - о

l-.l

ipifx ммичмндлровам ного платежа наступит позже последнего ычрни^мых л.ісіїежей, то формула (2.У7) приобретает вид:

ГС0-П|

(2.98)

П р и иt р j Us Гри платежа 5 ™гс. руб. со сроком 2 гада, 4 тыс руб 1 и ь РУб. со сроком 5 лет заменяются одним со -I'.VIH ( пржы догшюрились об использовании сложной про- и-^*,.,, , Ы»ьи ь мощных. Определить сумму консолидированного

liUJt

^ -.LI < выплсчт представлена на рис. 2,13.

4000 —і

6000 s, руб.

3

п, лот

f'nc 2.13

При определении суммы консо л ид права иного платежа используется формула (2,97) и рис.

« 5000 - 1,253~2 -f ^^ + J™^ = 13290 руб. ¦

1,25 3 1,25® *

При определении сроку консолидированного платежа уравнение эк- ии ІЗ алеї IT пости представляют как PA венет DO современных стоимостей заменяемых и консолидированНОІЮ платежей. В этом случае схема выплат может быть представлена так, как показано на рис. 2.14.

Sl Si

і I 1_JL

3-0

-J L_

l-JJU L, H_

n 1

7l0

n,

n

0 n 1

Рис. 2 U

В соответстьии с обозначениями рис. 2.14 уравнение эквивалентности для простых процентов имеет вид;

in

So

1 + n0t ~ ps 1+rtji"

Сумму в правой части этого уравнения обозначим буквой U, то есть:

т

1 + щг v '

1-

J-I

Тогда решение уравнении эквивалентности относительно по имеет вид:

»о = і - х) - (2100)

Пример 2.49. Три платежа 8 тыс. руб. со сроком 130 дней, 10 тыс. руб, со сроком 160 дней и 4 тыс. руб, со сроком 200 дней заменяются одним о размере 21 тыс. руб, Стороны договорились об использовании простой процентной ставки 20% годовых. Определить срок консолидированного платежа при базе К » 365.

Решение. Схема выплат представлена на рис» 2.15»

21000 8000 10ООО 4000 руб. і . і і і і ^

0 по 130 165 200 ті, дней

Рис. 2.15

При определении современной стоимости заменяемых платежей используется формула (2.99) и рис. 2.15.

- ? rfc'- - - Г^- - 20

и

f-^l+riji

365"'" ~ ' ' 365

Срок консол ид проданного платежа находится по формуле (2.100):

0,2

Определим срок в днях по формуле:

t = 365 ¦ 0,180 86 = 66 дней. ¦

В соответствии с обозначениями рис. 2.14 уравнение эквивалентности для сложных процентов имеет вид:

So _ A S,

(ЇТіГ ^(1+i)'

Сумму в правой части этого уравнения обозначим буквой то есть:

(1 + ip

Тогда уравнения эквивалентности можно зависать в виде

(1 + г)п° = Sq/U.

Прологарифмировав лезую и правую части этот уравнения, найдём

In {So/и)

пи - мглу- (2'102}

Пример 2.50.

Решение. Схема выплат представлена ча рис, 2,16.

^ 2000 4000 3000 8000 S, руб.

0 2 3 4 по тг, лет

Рис, 2.16

При определении со в реме mi ой стоимости заменяемых платежей используется формула (2,101) и рис. 2.16,

г г ^ S} 2000 4000 ( 3000 й

и — ? >V г-\п = -—^ + —-ч + —^г = 5 418)26 руб.

^(1 + 0 5 1,18а 1,18 1Д8

Срок консолидированного платежа находится по формуле (2,102):

Й 000

in(So/U) " 5418,26 _ „_. „ _ _

п0 — —"7——- 2,354 года или 2 года 129 дней, я In (1 4- г) In 1,18

2.6.3. Замена одного потока платежей другим. В практике довольно часто возникают ситуации, когда один поток платежей заменяется другим. Для соблюдения неизменности финансовых отношений сторон до и после заключения контракта расчёт платежей в этом случае базируется на уравнении эквивалентности. При этом задаются все параметры заменяющих платежей кроме одного, который определяется из уравнения эквивалентности. После этого ОПРЄДЄЛЯЕОТ либо величину выплаты, либо срок. Задача в общем виде может быть сформулирована следующим образом: пусть заменяемые платежи с номерами и со сроками, пронумерованными соответственно, заменяются другим потоком платежей, суммы выплат которого и сро-ки имеют номера 1,2,... Схема ьыплат заменяемых платежей может быть представлена так, как показано па верхней оси рис. 2.17. Схема выплат заменяющих платежей представлена на нижней оси рис. 2,17.

Sі бэ St ^т Sі Sit Sk

I I І і І . 1 I a

n-1 Па fit TVj-ng7li 71-J flfc П> К 71

Si Ьч St Siг, Sq SІ Si Sr Sn

1— '¦ L. 1 1 1—3 , 1 I I I L t I L__l „ ^

0 Til nl nl n L пй Tlr TlR n

Рис. 2.17

На временной иси выделена специальная точка По, называемая базовой датой, на которую осуществляется расчёт цсех платежей.

При начислении простых процентов уравнение эквивалентности имеет вид:

t— I jt—1

= jrst[i + {m-nt)i\+ f; 'Sr +s0. ?2.103)

j=I r=] * r 1

Здесь в левой части уравнения в персую сумму входят все наращенные заменяемые платежи со сроками меньше базовой даты, а во вторую ^умму входят все дисконтированные заменяемые платежи со сроками больше срока базовой даты. Эти же соображения относятся к замещающим платежам, представленным в правой части уравнения (2.103). Если базовая дата равна нулю, то в уравнении (2.103) остаются только дисконтированные составляющие. Уравнение эквивалентности в этом случае приобретает Вид;

= <2Л04> Г=1

Из приведённых уравнений (3*103) и (3,104) определяют как недостающий платёж, так и недостающую дату.

Пример 2.51. Три платежа S тыс. руб., 10 тыс, руб. и 4 тыс. руб. с выплатами 1 апреля, 15 июня и 1 сентября данного года соответственно заменяются двумя, причём 1 июля выплачивается 20 тыс, руб., а остаток — 1 декабря этого же года. Стороны договорились об использовании простой процентной ставки 25 % годовых, базы К = 360, количестве дней в месяце — 30. Определить остаток долга при базовых датах 1 апреля, 1 июля и 1 декабря.

Решение, Схема заменяемых платежей представлена на верхней оси, а заменяющих — на нижней оси рис. 2,IS. В соответствии с усло-

8000 10000 4000 S, руб.

і . it . - * і ^

01,04 15.06 01.09 п

20000 .5, руб. ' — — 1 1—¦¦¦ ¦ р-

01.07 01.12 П

Рис. 2.18

&иями примера, представленными также на рис. 2.18, используются следующие временные интервалы:

1 апреля — 15 июня — 75 дней, 15 нюня — 1 июля — 15 дней, 1 июля — 1 сентября — 60 дней, 1 сентября — 1 декабря — 90 дней.

При базовой дате 1 апреля уравнение эквивалентности можно эа- писать па основе соотношения (2.104):

10000

4000

20 000

8 ООО

ж

360

1 +

1 +

0,25

14-^? 0,25

360

S2 = 2688,07 руб.

Отсюда находим;

При базовой дате 1 июля уравнение эквивалентности запишем на основе соотношения (2.103):

4000 60

8 000 (1 + ^ 0,26) + 10000 (1 + ?о,») + -

0,25

360 = 2001)0 +

1+^0,25

360

Решив это уравнение, получим:

S2 = 2698,77 руб.

При базовой дате 1 декабря уравнение эквивалентности имеет вид;

90

360

= 20000(1+

ООО (L + 0:25) + ЮООО (l + ™ 0,и) + 4000 (і + » =

0,25 ) + 53.

Решив это уравнение, получим:

S2 = 2645,83 руб.

Как следует из полученных результатов, остаток долга зависит от базовой даты. ¦

Пример 2,52, Три платежа Й тыс. руб., 10 гыс- руб. и 4 тыс, руб. с выплатами 1 апреля, 15 июня и 1 сентября данного года соответственно заменяются двумя с выплатами 20 тыс. руб. 1 июля этого же года и 2,6 тыс. руб, Стороны договорились об использовании простой процентной ставки 25% годовых, базы К = 360, количестве дней в месяце — 30. Определить дату выплаты суммы в 2,6 тыс. руб.

Решение. Схема заменяемых платежей представлена на верхней оси, а заменяющих — на нижней оси рис. 2.19. В соответствии с уело-

30000

4000

800(3

.

S, руб.

15.00 20000

01-04

01,09 n, лет

260D 5, руб.

¦L

01.07 п n2 лег

Рис, 2.19

виями примера, представленными также на рис. 2.19, используются следующие временные интерпалы: 1 апреля — 15 июня — 75 дней, 15 июня — 1 июля — 15 дней, 1 июля — 1 сентября — 60 дней,

Уравнение эквивалентности составляется на основе формулы (2.104) и рис, 2.19.

2 600

4 000

Ю 000 73

8 ООО

+

1 + ті ¦ 0h25

0,25

1 -f

20 000

ТЪким образом, сумма 2,6 тыс, руб. будет выплачена 6 августа этого же года, ¦

При начислении сложных процентов при приведении к базовой дате По (рис. 2.17) уравнение эквивалентности имеет вид:

sk

Ijy-no

t=і fc=i

R

+ SQ. (2.105)

Чаще всего за базовую дату в этом случае принимают начало процесса, то есть точку Tio = 0. В этом случае уравнение (2.105) принимает вид:

к ?

R

? (1 + о

Sk

Sr

(2.106)

(і + іГ

Пример 2.53. Три платежа 2 тыс. руб., 4 тыс. руб. и 3 тыс. руб, со сроками 2 года, 3 года и 4 года соответственно заменяются двумя, причём через 1 год выплачивается 2 тыс, руб., а остаток — через 5 лет. Пересчёт осуществляется по Сложной процентной ставке 25 % годовых. Определить остаток долга.

Решение. Схема заменяемых платежей представлена на верхней оси, а замещающих — на нижней оси рис. 2.20.

2000 4000 300Q S, руб.

i_ - — * „ і

0 2 3 4 п, леї

2000 Si ?jPy6.

также базируется на уравнении эквивалентности. Рассмотрим случай замены произвольнот потока платежей с выплатами Jlt и моменты времени ТІ. С, где t — 1,2,... N Т — номер выплаты, Т — общее количество выплат, на релту с неоднократными выплатами и году. В основу замены кладётся равенство современных стоимостей заменяемого потока и заменяющей ренты, то есть:

t—\ х

Задавшись исеми параметрами ренты, кроме одного, и решая уравнение (2.107), определяют недостающий параметр.

П рим ер 2.55. Три платежа 2 тыс. руб., 4 тыс. руб. и 3 тыс. руб. со сроками 2 года, 3 года и 4 года соответственно заменяются рентой с ежеквартальными выплатами в году со сроком 5 лет. Пересчёт осуществляется по процентной ставке 18% годовых. Определить ежеквартальную и ы плату.

Решение, Схем а заменяемых платежей представлена на рис, 2.22.

2000 4000 3000 5, руб. і і . і.. ..— г і и

О 2 3 4 ті, лет

Рис. 2.22

Уравнение эквивалентности можно записать на ОСЕІОВЄ соотношения (2.107) и рис. 2.22.

l-(l + Q-n ^ Д,

R 1 -1,18"5 _ 2000 4Ш 3000 V 1,18і'4 ~ 1Д8* 1Д83 1,184'

- • 13,323 931—5 418,259-

Р

Отсюда находим ежеквартальную выплату:

j = 406,66 руб. ¦

В качестве ещё одного примера рассмотрим замену нескольких рент одной р-срочлой рентой. Тип каждой из объединяемых рент может быть любым из рассмотренных выше. При составлении уравнения эк- вивалеЕшіости находят современную стоимость каждой из заменяемых

91

2.G] Фгш&нсоядд эквиеолбнтпосго^ обязательств

рент, суммируют их и приравнивают эту сумму современной стоимости заменяющей срочной ренты, то есть:

(2.108)

где Аь — современная стоимость заменяемой ренты с номером к — = 1,2— номер заменяемой ренты, К — количество заменяемых рент. Задавшись всеми параметрами заменяющей ренты, кроме одною, и решал уравнение (2,108), определяют недостающий параметр.

Пример 2.5G. Три реігш заменяются одной р-срочной рентой с ежемесячными выплатами 3000 руб. в месяц. Параметры заменяемых рент:

годовая рента с ежегодными выплатами 10000 руб. и год и течение семи лег, па которые НАЧИСЛЯЮТСЯ проценты но ставке 15% годовых,

годовая рента с ежегодными выплатами по 10 000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по номинальной ставке 15% годовых, причём проценты начисляются поквартально,

реши с ежегодными поступлениями 10000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты но ставке 15% годовых, причём выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются ежемесячно.

Пересчёт осуществляется по процентной стопке 18% годовых. Определить срок заменяющей ренты.

Решение. Современная стоимость первой заменяемой рейты равна:

1-(1 + ІГ

А І = Яащі ^ Я

і

~ 10000 = 41604,2 руб.

и,id

Современная стоимость второй заменяемой ренты равна:

10000

= 10000

Современная стоимость третьей заменяемой ренты равна:

Сумма современных стоимостей трёх заменяемых рент раина:

К

¦( J

Y, = 124800,73 руб,

jfe=i

Решая уравнение (2.108) относительно п, получим:

(2.109)

п

In (1 4- і)

Подставив сюда условия примера и сумму современных стоимостей трёх заменяемых рент, найдём:

1243Ш,73 3000

1 Д01/1а -1

In [l -

n =

— =5,2 года.

In 1,18

Округлим срок ренты до пяти лет и уточним величину ежемесячной выплаты. Ежегодная выплата заменяющей ренты определяется по формуле;

Д =

ІР)

а

Коэффициент приведения;

Ежегодная вы плача:

3,377 463 6

Ежемесячная выплата:

= 3079,25 руб.

R _ 36 951,02 ~р 12