2.2. Постоянная рента
постнумерандо (обыкновенные), когда выплаты производятся в конце периода,
пренумерандо, когда выплаты производятся в начале периода,
ренты с платежами в середине периода.
Мы будем рассматривать в основном ренты постнумерандо. Связь рент постнумерандо с остальными типами будет установлена позже. Рассмотрим различные виды финансовых рент.
2.2.1. Годовая рента. Годовая рента постнумерандо предусматривает выплаты и начисление процентов один раз в конце года.
Определим наращённую сумму ренты. Пусть в течение п лет в банк в конце каждого года вносится по R рублей, на которые начисляются сложные проценты по ставке ї% годоьых. Таким образом, на первый взнос проценты начисляются (п - 1) год, на второй — (гг — 2) года и г.д. Наращенная сумма к концу срока Судет равна:
Если посмотреть на эту сумму справа налево, то можно увидеть, что это выражение является суммой геометрической прогрессии с зна-менателем прогрессии q = 1 Н- і, Сумма геометрической прогрессии вычисляется гю формуле где Л — нерпый член прогрессии, п — количество членов прогрессии. Таким образом, наращённая сумма годовой ренты к концу срока вычисляется по формуле:
S - + (2.5)
і
Част эту формулу записывают в о и де:
S ft (216)
= S (2.7,
— коэффициент наращения рейты, табулированная функция.
Пример 2,2. В фонд ежегодно в конце года поступают сродства по 10000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых. Определить коэффициент наращения ренты и величину фонда ла конец срока
Решение- Коэффициент наращения ренты находится по формуле (2.7):
.„„ = = L^i = И,066 799.
Наращённая сумма
S = Язпл = 10000 * 11,066 799 = 110067,99 руб. ¦
Для определения современной еюимости годовой ренты необходимо каждый платёж продисконтировать на начало срока ренты и сложить все дисконтированные платежи. Дисконтированное значение первого платежа равно Я,и, второго — последнего — где
v 1/(1 + г). Современная стоимость, равная сумме всех платежей, определяется соотношением:
А = Rv + Rv2 -ffti/3 + ... + Kt/rt = Ді/(1 + и2 -К.. + i/n_1) .
Выражение в скобках является суммой геометрической прогрессии с знаменателем прогрессии q = и и с количеством членов прогрессии л, Таким образом, современная стоимость годовой ренты вычисляется по формуле:
и - 1 1 + а _ _ , 1 — I — t г
1 + І
Часто эту формулу записывают в виде:
ЛщЯяшЦ (2.8)
л кеаДт^ициед приведения реиты.тСулицваннгш функция.
Пример 2.3. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых. Определить коэффициент приведения ренты и современную стоимость фонда.
Решение. Коэффициент приведении реЕгты находится по формуле (2.9);
= —v— = 0|ц. -^ММЯІ
Современная стоимость определяется соотношением (2.8):
,4 ^ Яащі = 10000 ¦ 4,16042 = 41604,2 руб. и
2.2,2. Годовая рента с начислением процентов по номинальной процентной ставке * В рассматриваемом случае проценты начисляются пъ раз в году по ставке j/rri, где j — номинальная ставка (см. рис. 2.3). Срок ренты равен п лет. Количество начислений
1 2 m 1 2 m 1 2 m
і 1— l_ —L— „ 1 ^
0 12 3 n
Рис, 2-3
на первую выплату равно (її — 1 )m, на вторую — (п - 2на предпоследнюю — ш, иа последнюю — 0.
Отсюда следует выражение для наращенной суммы ренты:
Знаменатель этой геометрической прогрессии равен -J- »
а количества членов — тпп. Таким образом,
- —гТїїї ^IWjjfJint (2.10)
где
mn
- і
(
: Ч 1
"m»;j/m 7 рГТЇГ (2.11)
— коэффициент наращении ренты, табулированная функция.
Пример 2.4. В фонд ежегодно в конце года поступают средства но 10000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты но номинальной ставке 15% годовых, причём проценты начисляются
2.2) Постоянна)* рента 33
^L-J! г 'Ч ир———III ¦ ~ д——
поквартально. Определить коэффициент наращения ренты и величину фонда на конец срока.
Решение. Коэффициент наращення [ннгты находится но формуле (2.11):
»«-i ,-y.n = > Yv* ^ ¦¦ = 11,366 392.
НУ
Наращённая сумма;
5 ^ Явт71;i/m = 10000 ¦ 1іда392 M ШШ,92 руб. н
Для определении современной стоимости рейты о[іі>еделим дисконтные множители каждого платежа. Дисконтный множитель для первой выплаты равен
1
ТІЇ 1
1U)
т}
(
ДЛЯ второй —
2т > >
И
1
ПТП. ¦
іЩ
m j
(
для последней —
Отсюда следует выражение для современной стоимости ренты:
R ¦ * , , *
° — t z— , .am. -- Tf .
ю (-а и)
ЗнамеЕіатель этой геометрической прогрессии равен
1
Я =
ИГ
а количество членов — п. ТЪкнм образомт
1
Ттїп — 1 / „¦ ч -тл
- 1
л_ д V W ^ /Д т/
ГТт Ї — Л - 1 7Т П •
Иначе эту формулу записывают в виде:
А — Яатп; ;/mi (2.12)
где
(2.13)
Іттт, j/m —
'-ЫГ
- коэффициент приведення ренты, табулированная функция.
Пример 2.5. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10000 руб, в течение семи лет, на которые начисляются проценты по номинальной ставке 15% годовых, причём проценты начисляются поквартально. Определить коэффициент приведения ренты и современную стоимость фонда.
Решение, Коэффициент приведения ренты находится по формуле (2.13):
,/« = / 4 = 7 X = 4.054GT24.
Современная стоимость ренты:
A = Ramn.3fm = 10 000 ¦ 4,054672 = 40546,72 руб. ¦
2.2.3. Рента с неоднократными выплатами в году. Вы it латы производятся р раз в году, поэтому рента называется ^-срочной. Начисления на первую выплату каждого года, равную R/p, нроизво-
p-l р-2 1
дятся лег, на вторую — лет,.... на предпоследнюю лег,
Р в р
на последнюю — 0 лет. Наращенная сумма за каждый отдельный год в конце этого года составит:
Я1 т 5 (і +. І)ІР'1)/Р + 5 (і + fjt+_ + */j + i)l/P+ я
Р Р Р р
Знаменатель этой геометрической прогрессии равен (1 + i)lfp. ПОЭТОМУ;
R = к І
1 р (і ¦+¦ о1" - Г
Гумма всех ежегодных платежей, равных Rв течение п лег вычисляется но формуле (2,5):
где
Ш ш M^Lzl , (2.15)
ПТ1
'(l-M)1"-!]
— коэффициент наран*ения ренты, табулированная функция.
Пример 2.6. В фонд ежегодно поступают средства по 10 ООО руб, в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15 % годовых, причём выплаты производятся поквартально. Определить коэффициент наращения ренты и величину фонда на конец срока.
Р р ш е її и е. Коэффициент наращения ренты находится по формуле (2.15);
Ш - т - v = 11,671179.
** р [(i-H) /Р - l] 4(l,15^-l)
Наращённая сумма
Siш = 10000 -11,671179 ^ 116711,79 руб. К
Дисконтированная величина первой выплаты каждого года на начало этого года равна
R
Р §1+0^
R
второй —
V Шг0р
R
предпоследней
R
последней л
Р (1 +
Современная стоимость выплат за каждый отдельный год в начале Этого года составит:
Л Я 1 ( Д 1 -I I R 1 I R 1
Знаменатель этой геометрической прогрессии равен — —^, а количество членов — р. Поэтому:
1
л і (i + t)ci/pjp _ я / А і
+ if* 1 х ~ Р + 1 + {
(і + і)1^
Тдльед для дзнаедм ' ия. Специальнд для МирКниг
Сумма всех ежегодных, дисконтированных на начало этого года платежей за 71 ле^ вычисляется по формуле:
і/п ~ 1
А — А + A + A2 -f ... + Aiv^1 = Л] t
где і/ = * Подставив сюда выражение для ЛІ, получим: 1 t
АшШ( i А = RJizil±irZ-
р ї** I гЬ"1 J
Это выражение обычно записывают в виде:
А = Лв<|, (2.18)
где
= M1*""". (2.17) "" р [(14 0^-1]
- коэффициент приведения ренты, табулированная функция.
Пример 2.7, В фонд ежегодно поступают средства но 10 ООО руб. и течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15 % годовых, причём иыплаты производятся поквартально. Определить коэффициент приведения ренты и современную стоимость (|юнда.
Решение, Коэффициент иаршцеиня ренты находится по формуле (2.17);
Современная стоимость фонда:
А Ш = 10000 ¦ 4,387620 = 43 876,29 руб. ¦
2.2.4, Рента с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году. Возможная схема выплат к начислений представлена на рис. 2.4.
12 V
1Ї m
1 ¦ ¦ ¦ У ¦ ¦ t I Т ¦ ¦ 1-І л I I L I г t I I I..I t ¦ . т I
Рис. 2А
В любам году производится р выплат по Н/р рубч где R — годовая выплата Количество начислений процентов ь году по номинальной ставке j равно т. Срок реіггн п лет. Количество начислений на первую
выплату любоїи года к кошу з тога года равно (р - 1)—, на вторую —
Только для ознакомления. Специально для МирКниг
7ТІ
771
(р 2) —, ,на предпоследнюю — — і на последнюю — О- Наращенная V р
сумма на все выплаты года к концу этого года определяется соотношением:
m
R Р
Я,
ні
р ТП/
р т / р т/
Знаменатель этой геометрической прогрессии равен
(^ІГ-
количество членов — Р) поэтому сумма:
R
Ri =
Ш:
КГ-
Количество начислений до конца ренты на наращённую сумму 1-го года равно (п - 1)ттс, на наращённую сумму %-го года — (п — 2)т} на наращённую сумму предпоследнего года w mt на наращённую сумму последнего года — 0. Тогда наращённая сумма исей ренты
(
J Ч (n-ljm / л / J ТП
ЫТ-Л
и И" —
Рї)
т/р
Перепишем это выражение в виде:
(2.18)
S=Rs{p) t. }
ти; J/m»
где
2 р) mn, j jrn
(2.19)
_ КГ-
[КГ-
— коэффициент наращения ренты, табулированная функция.
Только для ознакомления. Специально для МирКниг
Пример 2-8. В фонд ежегодно поступают средства го 10000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых, причём выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются ежемесячно. Определить коэффициент наращения ренты н величину фонда на конец срока,
Решение. Коэффициент наращения ренты находится по формуле (2.19):
ifm - = 4 lll _ = 12,10876.
mri;j/m Г, . ут/р 1 Г 7 п iciaA*
1НГЧ «[F^y
Наращенная сумма
S = Rsi/m = 10 ООО -12,108 76 = 121087,6 руб. ¦
Иэ соотношений (2.18) и (2.19) следуют формулы для частного случая, когда количество начислений процентов в году равно количестоу выплат в году. Подстаиив в эти соотношения т = р, найдём:
(2.20)
(iUT-1
— R— .
Пример 2.9. В фонд ежегодно поступают средства по 10 ООО руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых, причём проценты начисляются н выплаты производятся ежемесячно. Определить коэффициент наращения ренты и величину фонда на конец срока.
Решение. Коэффициент наращения ренты:
Mr——
Наращённая сумма:
= Д^-— гп}
10 000 ¦ 12,260 75 = 122 607,5 руб.
Определим современную стоимость ренты. Так как количество при-ведений на п«рвую выплату любого года и началу этого года равно
2т ^
на вторую на предпоследнюю — (р - 1)^, на последнюю —
mt то дисконтированная величина первой выплаты каждого года на на,чало этого года рае на
Я 1
Р
иг
второй —
R 1
Л 1
предпоследней —
а
т/
р / j 1 +
последней —
К)
f 1 р / 5 у^р'
Современная стоимость выплат за каждый отдельный год в начале этого года составит:
Д] - R 1 j Д 1 j і
*Ч _ ~ . . „/„ і" : : п.-т - ¦ - -г
Г . г
Знаменатель этой геометрической прогрессии равен
vmfv =
Щр 7
V m
7Ti
а количество членов — р. Поэтому:
R 1 иш -1 R v™ - 1
Ді те
Я / j n/p 1 і Р Д І V"^
Количество приведений на современную стоимость 1-го года равно О, на современную стоимость 2-го года — т, на современную СТОИМОСТЬ
Тдльед для ознакомления. Специально для МирКниг
третього года — '2m, на современную стоимость последнего года — {» — 1)т. Тогда современная стоимость uceft ренты.
— І 1 -
(» і)-
А = Я, + R^ + + ... + R, =
Я
)тл/р
-1
/Р V -
-(•¦і) [Гсрепкшгы іго выражение в виде:
(2 21)
На
М
mnt j/™1
ЧЛП
t р)
mn, j/m
(2 22)
а
-Ю
ИГ-
Зи^ффкцненг н арап ден ия ренты, табулированная функцняч П ри м v |> 2 К) В фонд ежегодно постукают средства по 10 ООО руб в н'чшнг семи л^г, на которые начисляются проценты по ставке 15% імдгііи, причем выплазы производятся локвартвльно, а проценты на- ЧНІ;ІНЮПЯ ЕЖЕМЕСЯЧНО Определить коэффициент приведения ренты и гпвременяут сложность фонда.
Решение Коэффициент приведения ренты находится но <|юрму- ле Г2 >2)
-чт
т = 4,264 93L.
tuti //в»
'„иг -±3)
ї unptMCnit.M гпшмигіь фи-нда
Ни* - №Ш 4,2t>4Уві =421>49,К1 руб. ¦
it иіюдгіьіьі ний (221 * u (J 22) с.іед>юі формулы для частного слу- ч.Ы МИ ЇЇ WIIHW І») НАЧН*..Н>НИЙ процентов в ГОДУ равно количеству ьмн і и г І tu> ІЬ> кіавни в tin соотношения т/і = pt найдем-
Пример 2- 11ч В фонд ежегодно поступают средства по 10 ООО руб у Печение семи лег, на кошрые начисляются проценты по стайке 15 % годовых, причём выплаты производятся к проценты начисляю гея по- к вартэл ь но Он редел и гь сов р емен і jyio ел он моет ь фо і г да.
Решение Соиремешіая стоимость фонда находится по формуле (2 23)
Т
=ш~Л т/— = ю ооо —і—І.1
j -- 0 iS =42 885,03 руб. и
2,2.5, Непрерывные ренты. 2 2 5 1 Рента с непрерывным пачгилением процентов. Формула для вычисления наращенной суммы срочной ренты с непрерывным начислением процентов следует из соотношений (2 18) и (2 19) при га оо
і mn
fl+i- m>
lim ,fm — lim - >
tn-too пп.зіт TO„toe
(,,„, fi+ifV-
ич н у m J /
(ы (i-^ff-
mj }
Заменив номинальную ставку j насилу роста 5 и предел
IT а
)
е
Игл [1 + п—юо V
т—юо ту
его значением, получим формулы для наращённой суммы и коэффициент наращении ренты с непрерывным начислением процентов:
fl:1 л
р
Р - о
Для годовой ренты, когда р — 1, формулы (2 24) приобретают нид;
3 = Нв^ь s^s^-f—. (2.25)
е — 1
Пример 2,12, В фонд ежегодно поступают средства по 10 ООО руб. и течение семи лет, на которые начисляются проценты но силе роста 15% годовых, причём выплаты производятся поквартально (раз в году), а проценты начисляются непрерывно. Определить коэффициент наращения ренты н валичину фонда на конец срока.
Решение. Коэффициент наращения и наращённая сумма ренты находятся но формулам (2.24). Для поквартальных выплат:
s - 7 ' v - "І ^T - 12Д53583.
Наращённая сумма:
$ ** ДвЗД = 10 ООО -12,153 584 .== 121 535,й3 руб. Для выплат один раз в году коэффициент наращения будет равен
- 1 _ і
Ч, і = s =* —пГТь « 11,473 722
Наращённая сумма
S = RsnJ - 10 С00 -11,478722 — 114 787,22 руб. ¦
Формула для современной стоимости р-срочной ренты с непрерывным начислением процентов следует из соотношений (2.21) и (2.22) Прн 571 —» оо.
ч іїтm—Юо if" Щ } ТІ ( lim (і+І-) іт^і !v - L
№ „ - ы _ W™* S т/ } _
p{es/p- і)'
(2 26)
А = Аа<*| (2.27)
Формулы (2.2G) и (2.27) получены путём замены номинальной ставки j
на силу роста 6 и предела lim (1 + — } его значением
V Ш /
Для годовой ренты, когда р = 1, формулы (2.26) и (2.27) приобретав вид:
1 -
А - Ranis, an.s — —г ¦ ¦ ¦¦. (2.28)
є — 1
Пример 2.13. В фонд ежегодно поступают средства по 10 ООО руб. в течение семи лег, на которые начислялся проценты по силе роста 15 % годовых, причём выплаты производятся поквартально (раз в году), а проценты начисляются непрерывно. Определить коэффициент приведения ренты и её современную стоимость.
Решение. Коэффициент приведения ренты и её современная стоимость для поквартальных выплат находятся по формулам (2 26) и (2.27): "
А — = 10 ООО ¦ 4,252 998 = 42 523,98 руб.
Для выплат один раз в году коэффициент приведения ренты н её современная стоимость он редел яются по формулам (2.28);
'Цт - із т - .дн , -Шаз®
1 _
Л = = 10 ООО 4,016 838 = 40 1СВ,38 руб.
Связь между <5 и j можно найти приравняв (2,19) к (2.24), а также (2 22) к (2.2S). Например, имеем,
тп
m/p
MB
P(^^l)'
Это равенство превращается в тождество при выполнении условия:
Отсюда следуют связи:
6 = m !н (l -Ь > 3 - уп - l) ¦
Эти выражения совпадают с (1.21).
2.2,5,2, Рента с непрерывным начислением процентов и с непрерывной выплато-й платежей. При получении формул для вычислении наращённой суммы к современной стоимости ренты с непрерывным начислением процентов и с непрерывной выплатой платежей найдём пределы в выражениях (2.24) и (2,26) при р —? оо,
Оз-юо) _ е3п -1
STL,6
hm р Ш* - &
Р-40Є V /
Неопределённость раскрывается по правилу Лопиталя.; то есть:
Ш _ if
lim т (es/p - 1) = Lim , - ііш - — ~ 5: вШх) V і ї-юо (1/Р) —
5
ІЬким образом
Пример 2.14. В фонд ежегодно поступают средства по 10ООО руб- в течение семи лет, на которые начисляются проценты по силе роста 15 % годовых, причём выплаты производятся и проценты начисляются непрерывно. Определить коэффициент приведения ренты и её современную стоимость.
Решение. Коэффициент приведения ренты находится по фор-муле: JT л .. т
47"' = ^ = ЧдГ—№48 Современная стоимость ренты:
Л = - 10 ООО ¦ 4,333 74S = 43 337,48 руб а
2.2.6, Ренты с выплатами в начале и в середине периодов. При выплатах в начале периода (рента преиумерандо) наращённая сумма годовой ренты определяется выражением:
Si = R(l + i}n+R(l + i)n~l + ... +FL(l + i) =
[1 + (1 + х) + ... + а + - + (і +
І
= (2,29)
Здесь Si и S — наращённая сумма годовой ренты пренумерандо и пост- j іуме ран до соответственно. ТЬким образом, наращённая сумма годовой рейты пренумераїідо в (1-J- і) раз больше [таращенной суммы годовой ренты постнумерандо. Это связано с тем, что число периодов начисления процентов для рейты прьнумерандо больше на единицу. Можно показать, что аналогичная зависимость существует между современными стоимостями рент пренумерандо и постнумерандо, то есть:
Л = Л(1 + і). (2.30)
Здесь Л и А — современная стоимость год оной ренты нренумерандо и иостнуме ранда соответственно.
Пример 2.1&. В фонд ежегодно в начале года поступают средства по 10 000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых. Определить величину фонда на конец срока и его современную стоимость.
Решение. Величина фонда на конец срока определяется по фор-муле:
$1 «= дР+.'?-"1 (1 + 0 = 10000 11,15 - 127268,1S руб.
t U j 1и
Современная стоимость фонда
= (1 + 0 Ш ЮООО 1,15 = 47844,83 руб. в
і (JJ5
Тдльед для ознакомления. Специально для МирКниг
На рис. 2.5 представлена схема выплат ренты п ре ну мера! г до с на-числением процентов по но мин ал иной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году,
12 Р
, 12 Ж
I J L
< і a i t > і 1 > і і !. і t і і і j і і і і [
0 1 TL
Рис. 2 5
В любом году производится р выплат по R/p руб., где R — годовая выплата. Причем выплаты осуществляются в начале периода (см, рис, 2.5), Количество начислений процентов в году по номинальной ставке j равно т. Срок ренты п лег. Количество начислений на первую выплату любого года к концу этого года равно т} на вторую —
(р — 1)—, на третью — (р - 2) — у . , на последнюю — —, Наращённая р р р
сумма на все выплаты гада к концу этого года определяется соотношением,
р т/ v гп/ р rnj
р m j m j р V тп/
р mj р щ/ р
Знаменатель геометрической прогрессии, сумма которой помещена в
{ і Л"^
квадратные скобки, равен {1 4- —} , количества членов — р, по-
V ш/
Этому:
(і+ІТ _! * Л+ ?)""_ іv т}
Количество начислений до конца ренты на наращённую сумму 1-го года равно (п - 1)тп, на наращённую сумму 2-го года — (п - 2)тп, ..., на наращённую сумму предпоследнего года — мдна наращенную сум-
му последнего года- — 0. Тогда наращённая сумма всей ренты:
(і * + V т У
+ Щ.І Ш Я]
г % , j у
Гі+і
g
7П j
ш
f -Л
mj
Щр
-I
тгі
Р
(- а
р
m /
. litfl
(іфї
4- Яі — —
V ™
1 +
НУ -
МГ-
НГ-]
Перепишем это выражение в виде:
(2.31)
где Si, S — наращённая сумма ренты пренумерандо и постнумерандо с начислен нем процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году соответственно.
Аналогично находится формула для современной стоимости ренты:
т/р
(2.32)
(
* ''
где Aii А — современная стоимость ренты пренумерандо и постнумерандо с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году соответственно.
Пример 2,10, В фонд ежегодно в начале і^ода поступают средства по 10000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15 % годовых, причем выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются один раз в году. Определить наращённую сумму и современную стоимость фонда.
Решение, Наращённая сумма находится по формуле (2.3J):
m
St = Я
иі
иг-
Наращённая сумма ренты постнумерандо с такими же характеристиками определена в примере 2.9:
S = /Щ. = 10 ООО ¦ 12,108 76 = 121087,6 руб.
Наращённая сумма искомой ренты:
„ / 4 'н/р г о ісчіи/1
= $ (1.+ ^J = 12108Tt6 [I ф ^ j т 125 685,38 руб.
Соврйрнная стоимость ренты постнумерандо с такими же характеристиками определена и примере 2.Ш,
А = = 10 000 - 4h2(i4 9У1 = 42 6^,31 руб.
Современная стоимость искомой ренты:
¦ І і я»/Р { піл 4 і3/11
Ах = А [1 + 42 649п81 П + = 44 260,25 руб. «
На рис. 2,6 представлена схема ренты с выплатами в середине периода с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами й году.
12 Р
I 2 m I
І І І І І І і < I I < І і I -
О 1
Рис. 2.0
В любом году производится р выплат по RJp руб., где R — годовая выплата. Выплаты производятся в начале периода. Количество начислений процентов в году по номинальной ставке j равно т. Срок ренты п лет. Количество начислений на первую выплату люб о га года к концу этого года равно
/ 1 t ПІ . 7П
на вторую - щ щ
на предпоследнюю — ^
Vі
на последнюю — т
Щ
Наращённая сумма на нее выплаты года к концу этого года определяется соотношением:
. , т g-j _ . m
р га/ V V т/
m гн ТП-
С ециа льно для Мир
m
+
I Ісренишем ЭТА выражение в виде:
mJ р тп/ р m /
Р тп/ V
количество членов — р,
Знаменатель :»тоЙ геометрической прогрессии, сумма которой записана її квадратных скобках, ранен ' » поэтому общая гумма:
(
. у. ТП
1+^Л -і »
И) -1
Количество начисленні! до конца ренты на наращённую сумму 1-го года равно (ті - 1)т, на наращённую сумму 2-го года — (п- 2)т( isa наращённую сумму предпоследнего года — т, на наращённую сумму последнего года — О. Тогда наращённая сумма всей ренты:
- я, (і + І)
чнг-
0 '+Яв-
КП
-1
+ її І — — Р
("і)5
(іДГ-!
-- я-Л
[КГЧ
ІЬрепишгм ¦это выражение в виде:
(2.33)
где Slt S - наращенная сумма реты с выплатами в середине периода и ]н*н1Ы л «юшучерандо с начислением процентов по номинальной ИроцешнпЙ ставке н с неоднократными выплатами в году соотиет-
С* j Ж'ЛН^ I
Аналогично Находится формула для современной стоимости ренты:
т
Tt /
где А — современная стоимость ренты с выплатами в середине
периода, и ренты постнумерандо с начислением процентов по номинальной процентной станке и с неоднократными выплатами в году Соответственно.
Пример 2.17- В фонд ежегодно в середине периода поступают средства по 10 ООО руб. в течение семи лет, да которые начисляются проценты по сгавкгё 15% годовых, причем выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются ежемесячно. Определить наращенную сумму и современную стоимость фонда.
Решен и с. Наращённая сумма находится по формуле (2.33):
(1 + Ч ТИ
- :L
V m J
"/ і * m/p
V (1 + -і
V Щ; !
Наращённая сумма ренты постнумерандо с такими же характеристи-ками определена в примере 2.8:
S = j/m = 10 ООО * 12,10876 Щ 121087,6 руб.
Наращённая сумма исследуемой ренты:
— с ТУ/Й
5(l + - 121087,3 flL.+ = 123305,07 руб.
Современная стоимость ренты постнумерандо с такими же характеристиками определена в примере 2,10:
А Яа(пр)г = 10000 ¦ 4,264081 = 42643,81 руб.
Современная стоимость исследуемой ренты;
ГТ1 12/3
А1/г = Л(і+ ?-)'P- 42 649,8l(l + ж43451,99 руб. ¦
Из соотношений (2.33) н (2,34) следуют формули для других типов рент. Для годовой ренты m = 1, р - 1:
Зщ - S( 1 + г)1/ А1/2 = Л( 1 +(2.35)
Для ренты с начислением цроцегггов m раз в году и при выплатах один раз в году, то есть при р = 1;
m jn
$1/2 - 5 (і + І) 2 g A1/2~A(l + -ty . (2.36)
Для ренты с начислением процентов один раз в году, то есть m = 1, и при выШ?атах р раз и году:
Am=A{i+ifr тт
И фодтулр (2 Зо)-(2.37) пелнчины S и Л являются наращённой jv^ih ні и і'ойремеинсщ стоішо<тьш і tigгветівдуїощих рент постнумс- р;шди
2.2,7. Отложенные ренты. Отложенными называются ренты, у которых начало выплат сдвинуто вперёд. При расчёте современной стоимости такой ренты вначале находят современную стоимость исходной ренты, у которой моментом при ведения считается начало выплат, а затем дисконтируют полученный результат к началу отложен пой ренты. Для годовой отложенной ренты современная стоимость і Л рас- считы кается по формуле,
Д,=- М1 =
где А — современная стоимость исходной ренты, у которой МОМЙЇІТОМ приведения считается начало выплат, t — время задержки в выплате ренты, tin t — коэффициент приведения ренты к началу выплат, Vі =¦
й'П + щ-к
[Іример 2 18. Спустя три года после образования фонда в него начинают поступать с ре детва по 10 ООО руб. в конце каждого года в течение последующих 7 лет, на которые начисляются проценты по Сіавке 15% годовых. Определить современную стоимость и наращён- нут гумму фонда.
Решение. Современная СТОИМОСТЬ фонда определяется по формуле (2.38), которую перепишем в виде,
г
Щ&пашщ сюда данные примера, получим;
лЛ * ШООО 1 " п Л'1^ (1 + 0,15)"J = 27355,44 руб.
иДи
Наращенная сумма фонда определяется по формулам (2.6) к (2.7)>то есть:
s ^ Я - = 10 ш = ІїШЇЙ» руб, ¦
Рассмотрим задачу деления ренты между двумя участниками. Пусть годовая рента посту мерапдо, имеющая год оную выплату ft и cptf* п, делится между двумя участниками (например, наследниками). ггричїЧі вначале получасг выплаты первый участник. Причитающаяся Шу ДО.ІЯ о г каииіаііиировашіой стоимости ренты равна х. Второй уча» гни^ гюл чает ооіаьіпиеся платежи ренты. Его доля раи-
на 1 — I- Определить время получения ренты первым Tl И вторым П2 участниками. Если известно время получения ренты первым участником] то время получения вторым определяется по формуле;
Пг = га-*пі. (2.39)
Из условия задачи следует соотношение — = Раскрыв это
выражение, получим: х ~х
/і ЧЛ»1-Л±ІГ"1 „l-tt + i)"11' 1
Учитывая соотношение (2.39)і а также следующее из условия задачи равенство — t, полученную формулу можно переписать в виде:
= 1 -ЛГ 4-1(1 -hi)'71. Прологарифмирован последнее выражение, найдем:
-71! )n(l + t) = In [1 -х+ х(1 + i)-n]. Окончательно получим:
1п(1 + г;
Пример 2,19. Пусть годовая рента постнумерандо со сроком 20 лет делится между двумя участниками, причем первый участник получает 25 % от капитализированной стоимости ренты. Процентная ставка принимается равной 15% годовых. Определить длительность периодов получения ренты первым: и вторым участниками.
Решение, Срок получения ренты первым участником определяется формулой (2,40):
Пі in (1 +1) In 1,15
_ In [1 - я + з(1 +г)~Ч _ In (1 -0,25 + 0,25-1,15-™)
= 1,01 ад 2 года.
Доля второго участника — следующие 18 лет, ¦
2.2*8, Вечная рента. Формула для вычисления современной стоимости р — срочной вечной ренты с начислением процентов но несколько раз в году следует из соотношений (2.21) и (2,22) при и —I -f оо:
1-МГ"
и У г и Л* г (2'41)
где Я — годовая выплата, j — номинальная процентная ставка, р — количество выплат в году, m — количество начислений процентов в году. Вечная рента используется при больших сроках платежей или в тех случаях, когда срок конкретно не оговаривается, например, при начислении пенсии.
Пример 2,20. Определить цепу р — срочной вечной ренты, выплаты по которой и конце каждого месяца составляют 2 тыс. руб. при номинальной процентной ставке 12% годовых и начислении процентов один раз с году.
Решение. Ид условия задачи следует р — 12, тп — 1, j = і — 0 Д2. Подстав ни резуль-тты в формулу (2.41), получим:
2О00 12 = 210774i8pj6. .
л112) =
12 (іД21/11 ™ lj
Формула для вычисления современной стоимости годоіюй ренты следует из (2.41) при подстановке туда р = ly m — 1, j = Ї:
(2.42)
- *
¦"оо -* ¦
Пример 2.21, Определить цену годовой вечной ренты, выплаты но которой в конце каждого года составляют 24 тыс. руб. при процентной ставке 12 % годовых.
Решение, Подставив данные примера в формулу (2.42), получим:
А» = = 200 ООО руб. ¦
Скачать готовые ответы к экзамену, шпаргалки и другие учебные материалы в формате Word Вы можете в основной библиотеке Sci.House
2.2. Постоянная рента
- Возникновение и развитие экономической теории | Ответы к зачету/экзамену | 2016 | Россия | docx | 1.9 МбЭкономика ПРЕДМЕТ И МЕТОДЫ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ Политическая экономия и экономикс Типы экономических отношений Главная функция экономики Экономический кругооборот МЕТОДЫ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ 2
- Ответы на вопросы по оценке стоимости предприятия | Ответы к зачету/экзамену | 2016 | Россия | docx | 0.05 Мб1.Роль оценки объектов и прав собственности в условиях рыночной экономике. Понятие объекта оценки. 2.Субъекты оценки. Участие в саморегулируемых организациях оценщиков. 3.Обязательность и
- Ответы к экзамену по микроэкономике | Ответы к зачету/экзамену | 2016 | Россия | docx | 0.41 МбПредмет микроэкономики. Принципы и законы микроэкономики. Понятие и виды потребностей. Производственные ресурсы. Экономические проблемы. Проблема выбора. Трансакционные издержки. Совершенная
- Ответы на экзамен - Гражданское право | Ответы к зачету/экзамену | 2016 | Россия | docx | 0.16 Мб1. ПОНЯТИЕ, ВИДЫ, ХАРАКТЕРИСТИКА И ЗНАЧЕНИЕ ДОГОВОРА КУПЛИ‑ПРОДАЖИ. ПРАВА И ОБЯЗАННОСТИ СТОРОН 2. ЭЛЕМЕНТЫ ДОГОВОРА КУПЛИ‑ПРОДАЖИ 3. ОТВЕТСТВЕННОСТЬ СТОРОН ПО ДОГОВОРУ КУПЛИ‑ПРОДАЖИ
- Гражданское право РФ - ответы на экзамен | Ответы к зачету/экзамену | 2016 | Россия | docx | 0.07 Мб1. Понятие и виды обязательств. 2.Основания возникновения обязательств. 3. Субъекты обязательства и их характеристика. 4. Принципы исполнение обязательств. 5. Перемена лиц в обязательстве 6.
- Ответы на гос.экзамен - Менеджмент организации | Ответы к госэкзамену | 2017 | Россия | docx | 1.34 Мб1. Сущность и состав основного капитала. Структура основных фондов. 2 . Учет и оценка основных фондов. 3. Износ основных фондов. Виды износов. 4. Амортизация. Методы начисления амортизации. Порядок
- Инвестиции, финансы, риски. Лекции | Лекция | | Россия | docx | 3.57 МбРазработка инвестиционного проекта 1. Общие положения График 1. Классификация инвестиций 2. Источники привлечения капитала 2.1. Инвестиции за счет собственных средств 2.2. Кредиты 2.3. Создание
- Ответы к экзамену по предмету Финансовый менеджмент | Ответы к зачету/экзамену | 2016 | Россия | docx | 0.11 МбФинансовый менеджмент и функции финансового менеджера 2. Финансовая отчетность: формы и элементы 3. Пользователи финансовой отчетности 4. Активы предприятия и их структура и понятие 5. Классификация
- Ответы к экзамену по бизнес-планированию | Ответы к зачету/экзамену | 2016 | docx | 0.07 МбСущность и содержание планирования в рыночных условиях. Виды внутрифирменного финансового планирования. Бизнес-планирование. Структура бизнес-плана: Понятие стратегического планирования. Текущее
- Ответы на вопросы к экзамену по Экономике предприятия | Ответы к зачету/экзамену | 2016 | Россия | docx | 0.12 МбСтруктура национальной экономики. Понятие предприятия: признаки и задачи. Классификация предприятий. Производственная и организационная структура предприятия. Внешняя и внутренняя среда предприятия.