<<
>>

2.2. Постоянная рента

По моменту выплат в пределах периода между платежами ренты делятся на:

постнумерандо (обыкновенные), когда выплаты производятся в конце периода,

пренумерандо, когда выплаты производятся в начале периода,

ренты с платежами в середине периода.

Мы будем рассматривать в основном ренты постнумерандо. Связь рент постнумерандо с остальными типами будет установлена позже. Рассмотрим различные виды финансовых рент.

2.2.1. Годовая рента. Годовая рента постнумерандо предусматривает выплаты и начисление процентов один раз в конце года.

Определим наращённую сумму ренты. Пусть в течение п лет в банк в конце каждого года вносится по R рублей, на которые начисляются сложные проценты по ставке ї% годоьых. Таким образом, на первый взнос проценты начисляются (п - 1) год, на второй — (гг — 2) года и г.д. Наращенная сумма к концу срока Судет равна:

Если посмотреть на эту сумму справа налево, то можно увидеть, что это выражение является суммой геометрической прогрессии с зна-менателем прогрессии q = 1 Н- і, Сумма геометрической прогрессии вычисляется гю формуле где Л — нерпый член прогрессии, п — количество членов прогрессии. Таким образом, наращённая сумма годовой ренты к концу срока вычисляется по формуле:

S - + (2.5)

і

Част эту формулу записывают в о и де:

S ft (216)

= S (2.7,

— коэффициент наращения рейты, табулированная функция.

Пример 2,2. В фонд ежегодно в конце года поступают сродства по 10000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых. Определить коэффициент наращения ренты и величину фонда ла конец срока

Решение- Коэффициент наращения ренты находится по формуле (2.7):

.„„ = = L^i = И,066 799.

Наращённая сумма

S = Язпл = 10000 * 11,066 799 = 110067,99 руб. ¦

Для определения современной еюимости годовой ренты необходимо каждый платёж продисконтировать на начало срока ренты и сложить все дисконтированные платежи. Дисконтированное значение первого платежа равно Я,и, второго — последнего — где

v 1/(1 + г). Современная стоимость, равная сумме всех платежей, определяется соотношением:

А = Rv + Rv2 -ffti/3 + ... + Kt/rt = Ді/(1 + и2 -К.. + i/n_1) .

Выражение в скобках является суммой геометрической прогрессии с знаменателем прогрессии q = и и с количеством членов прогрессии л, Таким образом, современная стоимость годовой ренты вычисляется по формуле:

и - 1 1 + а _ _ , 1 — I — t г

1 + І

Часто эту формулу записывают в виде:

ЛщЯяшЦ (2.8)

л кеаДт^ициед приведения реиты.тСулицваннгш функция.

Пример 2.3. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых. Определить коэффициент приведения ренты и современную стоимость фонда.

Решение. Коэффициент приведении реЕгты находится по формуле (2.9);

= —v— = 0|ц. -^ММЯІ

Современная стоимость определяется соотношением (2.8):

,4 ^ Яащі = 10000 ¦ 4,16042 = 41604,2 руб. и

2.2,2. Годовая рента с начислением процентов по номинальной процентной ставке * В рассматриваемом случае проценты начисляются пъ раз в году по ставке j/rri, где j — номинальная ставка (см. рис. 2.3). Срок ренты равен п лет. Количество начислений

1 2 m 1 2 m 1 2 m

і 1— l_ —L— „ 1 ^

0 12 3 n

Рис, 2-3

на первую выплату равно (її — 1 )m, на вторую — (п - 2на предпоследнюю — ш, иа последнюю — 0.

Отсюда следует выражение для наращенной суммы ренты:

Знаменатель этой геометрической прогрессии равен -J- »

а количества членов — тпп. Таким образом,

- —гТїїї ^IWjjfJint (2.10)

где

mn

- і

(

: Ч 1

"m»;j/m 7 рГТЇГ (2.11)

— коэффициент наращении ренты, табулированная функция.

Пример 2.4. В фонд ежегодно в конце года поступают средства но 10000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты но номинальной ставке 15% годовых, причём проценты начисляются

2.2) Постоянна)* рента 33

^L-J! г 'Ч ир———III ¦ ~ д——

поквартально. Определить коэффициент наращения ренты и величину фонда на конец срока.

Решение. Коэффициент наращення [ннгты находится но формуле (2.11):

»«-i ,-y.n = > Yv* ^ ¦¦ = 11,366 392.

НУ

Наращённая сумма;

5 ^ Явт71;i/m = 10000 ¦ 1іда392 M ШШ,92 руб. н

Для определении современной стоимости рейты о[іі>еделим дисконтные множители каждого платежа. Дисконтный множитель для первой выплаты равен

1

ТІЇ 1

1U)

т}

(

ДЛЯ второй —

2т > >

И

1

ПТП. ¦

іЩ

m j

(

для последней —

Отсюда следует выражение для современной стоимости ренты:

R ¦ * , , *

° — t z— , .am. -- Tf .

ю (-а и)

ЗнамеЕіатель этой геометрической прогрессии равен

1

Я =

ИГ

а количество членов — п. ТЪкнм образомт

1

Ттїп — 1 / „¦ ч -тл

- 1

л_ д V W ^ /Д т/

ГТт Ї — Л - 1 7Т П •

Иначе эту формулу записывают в виде:

А — Яатп; ;/mi (2.12)

где

(2.13)

Іттт, j/m —

'-ЫГ

- коэффициент приведення ренты, табулированная функция.

Пример 2.5. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10000 руб, в течение семи лет, на которые начисляются проценты по номинальной ставке 15% годовых, причём проценты начисляются поквартально. Определить коэффициент приведения ренты и современную стоимость фонда.

Решение, Коэффициент приведения ренты находится по формуле (2.13):

,/« = / 4 = 7 X = 4.054GT24.

Современная стоимость ренты:

A = Ramn.3fm = 10 000 ¦ 4,054672 = 40546,72 руб. ¦

2.2.3. Рента с неоднократными выплатами в году. Вы it латы производятся р раз в году, поэтому рента называется ^-срочной. Начисления на первую выплату каждого года, равную R/p, нроизво-

p-l р-2 1

дятся лег, на вторую — лет,.... на предпоследнюю лег,

Р в р

на последнюю — 0 лет. Наращенная сумма за каждый отдельный год в конце этого года составит:

Я1 т 5 (і +. І)ІР'1)/Р + 5 (і + fjt+_ + */j + i)l/P+ я

Р Р Р р

Знаменатель этой геометрической прогрессии равен (1 + i)lfp. ПОЭТОМУ;

R = к І

1 р (і ¦+¦ о1" - Г

Гумма всех ежегодных платежей, равных Rв течение п лег вычисляется но формуле (2,5):

где

Ш ш M^Lzl , (2.15)

ПТ1

'(l-M)1"-!]

— коэффициент наран*ения ренты, табулированная функция.

Пример 2.6. В фонд ежегодно поступают средства по 10 ООО руб, в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15 % годовых, причём выплаты производятся поквартально. Определить коэффициент наращения ренты и величину фонда на конец срока.

Р р ш е її и е. Коэффициент наращения ренты находится по формуле (2.15);

Ш - т - v = 11,671179.

** р [(i-H) /Р - l] 4(l,15^-l)

Наращённая сумма

Siш = 10000 -11,671179 ^ 116711,79 руб. К

Дисконтированная величина первой выплаты каждого года на начало этого года равна

R

Р §1+0^

R

второй —

V Шг0р

R

предпоследней

R

последней л

Р (1 +

Современная стоимость выплат за каждый отдельный год в начале Этого года составит:

Л Я 1 ( Д 1 -I I R 1 I R 1

Знаменатель этой геометрической прогрессии равен — —^, а количество членов — р. Поэтому:

1

л і (i + t)ci/pjp _ я / А і

+ if* 1 х ~ Р + 1 + {

(і + і)1^

Тдльед для дзнаедм ' ия. Специальнд для МирКниг

Сумма всех ежегодных, дисконтированных на начало этого года платежей за 71 ле^ вычисляется по формуле:

і/п ~ 1

А — А + A + A 2 -f ... + Aiv^1 = Л] t

где і/ = * Подставив сюда выражение для ЛІ, получим: 1 t

АшШ( i А = RJizil±irZ-

р ї** I гЬ"1 J

Это выражение обычно записывают в виде:

А = Лв<|, (2.18)

где

= M1*""". (2.17) "" р [(14 0^-1]

- коэффициент приведения ренты, табулированная функция.

Пример 2.7, В фонд ежегодно поступают средства но 10 ООО руб. и течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15 % годовых, причём иыплаты производятся поквартально. Определить коэффициент приведения ренты и современную стоимость (|юнда.

Решение, Коэффициент иаршцеиня ренты находится по формуле (2.17);

Современная стоимость фонда:

А Ш = 10000 ¦ 4,387620 = 43 876,29 руб. ¦

2.2.4, Рента с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году. Возможная схема выплат к начислений представлена на рис. 2.4.

12 V

1Ї m

1 ¦ ¦ ¦ У ¦ ¦ t I Т ¦ ¦ 1-І л I I L I г t I I I..I t ¦ . т I

Рис. 2А

В любам году производится р выплат по Н/р рубч где R — годовая выплата Количество начислений процентов ь году по номинальной ставке j равно т. Срок реіггн п лет. Количество начислений на первую

выплату любоїи года к кошу з тога года равно (р - 1)—, на вторую —

Только для ознакомления. Специально для МирКниг

7ТІ

771

(р 2) —, ,на предпоследнюю — — і на последнюю — О- Наращенная V р

сумма на все выплаты года к концу этого года определяется соотношением:

m

R Р

Я,

ні

р ТП/

р т / р т/

Знаменатель этой геометрической прогрессии равен

(^ІГ-

количество членов — Р) поэтому сумма:

R

Ri =

Ш:

КГ-

Количество начислений до конца ренты на наращённую сумму 1-го года равно (п - 1)ттс, на наращённую сумму %-го года — (п — 2)т} на наращённую сумму предпоследнего года w mt на наращённую сумму последнего года — 0. Тогда наращённая сумма исей ренты

(

J Ч (n-ljm / л / J ТП

ЫТ-Л

и И" —

Рї)

т/р

Перепишем это выражение в виде:

(2.18)

S=Rs{p) t. }

ти; J/m»

где

2 р) mn, j jrn

(2.19)

_ КГ-

[КГ-

— коэффициент наращения ренты, табулированная функция.

Только для ознакомления. Специально для МирКниг

Пример 2-8. В фонд ежегодно поступают средства го 10000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых, причём выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются ежемесячно. Определить коэффициент наращения ренты н величину фонда на конец срока,

Решение. Коэффициент наращения ренты находится по формуле (2.19):

ifm - = 4 lll _ = 12,10876.

mri;j/m Г, . ут/р 1 Г 7 п iciaA*

1НГЧ «[F^y

Наращенная сумма

S = Rsi/m = 10 ООО -12,108 76 = 121087,6 руб. ¦

Иэ соотношений (2.18) и (2.19) следуют формулы для частного случая, когда количество начислений процентов в году равно количестоу выплат в году. Подстаиив в эти соотношения т = р, найдём:

(2.20)

(iUT-1

— R— .

Пример 2.9. В фонд ежегодно поступают средства по 10 ООО руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых, причём проценты начисляются н выплаты производятся ежемесячно. Определить коэффициент наращения ренты и величину фонда на конец срока.

Решение. Коэффициент наращения ренты:

Mr——

Наращённая сумма:

= Д^-— гп}

10 000 ¦ 12,260 75 = 122 607,5 руб.

Определим современную стоимость ренты. Так как количество при-ведений на п«рвую выплату любого года и началу этого года равно

2т ^

на вторую на предпоследнюю — (р - 1)^, на последнюю —

mt то дисконтированная величина первой выплаты каждого года на на,чало этого года рае на

Я 1

Р

иг

второй —

R 1

Л 1

предпоследней —

а

т/

р / j 1 +

последней —

К)

f 1 р / 5 у^р'

Современная стоимость выплат за каждый отдельный год в начале этого года составит:

Д] - R 1 j Д 1 j і

*Ч _ ~ . . „/„ і" : : п.-т - ¦ - -г

Г . г

Знаменатель этой геометрической прогрессии равен

vmfv =

Щр 7

V m

7Ti

а количество членов — р. Поэтому:

R 1 иш -1 R v™ - 1

Ді те

Я / j n/p 1 і Р Д І V"^

Количество приведений на современную стоимость 1-го года равно О, на современную стоимость 2-го года — т, на современную СТОИМОСТЬ

Тдльед для ознакомления. Специально для МирКниг

третього года — '2m, на современную стоимость последнего года — {» — 1)т. Тогда современная стоимость uceft ренты.

— І 1 -

(» і)-

А = Я, + R^ + + ... + R, =

Я

)тл/р

-1

/Р V -

-(•¦і) [Гсрепкшгы іго выражение в виде:

(2 21)

На

М

mnt j/™1

ЧЛП

t р)

mn, j/m

(2 22)

а

ИГ-

Зи^ффкцненг н арап ден ия ренты, табулированная функцняч П ри м v |> 2 К) В фонд ежегодно постукают средства по 10 ООО руб в н'чшнг семи л^г, на которые начисляются проценты по ставке 15% імдгііи, причем выплазы производятся локвартвльно, а проценты на- ЧНІ;ІНЮПЯ ЕЖЕМЕСЯЧНО Определить коэффициент приведения ренты и гпвременяут сложность фонда.

Решение Коэффициент приведения ренты находится но <|юрму- ле Г2 >2)

-чт

т = 4,264 93L.

tuti //в»

'„иг -±3)

ї unptMCnit.M гпшмигіь фи-нда

Ни* - №Ш 4,2t>4Уві =421>49,К1 руб. ¦

it иіюдгіьіьі ний (221 * u (J 22) с.іед>юі формулы для частного слу- ч.Ы МИ ЇЇ WIIHW І») НАЧН*..Н>НИЙ процентов в ГОДУ равно количеству ьмн і и г І tu> ІЬ> кіавни в tin соотношения т/і = pt найдем-

Пример 2- 11ч В фонд ежегодно поступают средства по 10 ООО руб у Печение семи лег, на кошрые начисляются проценты по стайке 15 % годовых, причём выплаты производятся к проценты начисляю гея по- к вартэл ь но Он редел и гь сов р емен і jyio ел он моет ь фо і г да.

Решение Соиремешіая стоимость фонда находится по формуле (2 23)

Т

=ш~Л т/— = ю ооо —і—І.1

j -- 0 iS =42 885,03 руб. и

2,2.5, Непрерывные ренты. 2 2 5 1 Рента с непрерывным пачгилением процентов. Формула для вычисления наращенной суммы срочной ренты с непрерывным начислением процентов следует из соотношений (2 18) и (2 19) при га оо

і mn

fl+i- m>

lim ,fm — lim - >

tn-too пп.зіт TO„toe

(,,„, fi+ifV-

ич н у m J /

(ы (i-^ff-

mj }

Заменив номинальную ставку j насилу роста 5 и предел

IT а

)

е

Игл [1 + п—юо V

т—юо ту

его значением, получим формулы для наращённой суммы и коэффициент наращении ренты с непрерывным начислением процентов:

fl:1 л

р

Р - о

Для годовой ренты, когда р — 1, формулы (2 24) приобретают нид;

3 = Нв^ь s^s^-f—. (2.25)

е — 1

Пример 2,12, В фонд ежегодно поступают средства по 10 ООО руб. и течение семи лет, на которые начисляются проценты но силе роста 15% годовых, причём выплаты производятся поквартально (раз в году), а проценты начисляются непрерывно. Определить коэффициент наращения ренты н валичину фонда на конец срока.

Решение. Коэффициент наращения и наращённая сумма ренты находятся но формулам (2.24). Для поквартальных выплат:

s - 7 ' v - "І ^T - 12Д53583.

Наращённая сумма:

$ ** ДвЗД = 10 ООО -12,153 584 .== 121 535,й3 руб. Для выплат один раз в году коэффициент наращения будет равен

- 1 _ і

Ч, і = s =* —пГТь « 11,473 722

Наращённая сумма

S = RsnJ - 10 С00 -11,478722 — 114 787,22 руб. ¦

Формула для современной стоимости р-срочной ренты с непрерывным начислением процентов следует из соотношений (2.21) и (2.22) Прн 571 —» оо.

ч іїт

m—Юо if" Щ } ТІ ( lim (і+І-) іт^і !v - L

№ „ - ы _ W™* S т/ } _

p{es/p- і)'

(2 26)

А = Аа<*| (2.27)

Формулы (2.2G) и (2.27) получены путём замены номинальной ставки j

на силу роста 6 и предела lim (1 + — } его значением

V Ш /

Для годовой ренты, когда р = 1, формулы (2.26) и (2.27) приобретав вид:

1 -

А - Ranis, an.s — —г ¦ ¦ ¦¦. (2.28)

є — 1

Пример 2.13. В фонд ежегодно поступают средства по 10 ООО руб. в течение семи лег, на которые начислялся проценты по силе роста 15 % годовых, причём выплаты производятся поквартально (раз в году), а проценты начисляются непрерывно. Определить коэффициент приведения ренты и её современную стоимость.

Решение. Коэффициент приведения ренты и её современная стоимость для поквартальных выплат находятся по формулам (2 26) и (2.27): "

А — = 10 ООО ¦ 4,252 998 = 42 523,98 руб.

Для выплат один раз в году коэффициент приведения ренты н её современная стоимость он редел яются по формулам (2.28);

'Цт - із т - .дн , -Шаз®

1 _

Л = = 10 ООО 4,016 838 = 40 1СВ,38 руб.

Связь между <5 и j можно найти приравняв (2,19) к (2.24), а также (2 22) к (2.2S). Например, имеем,

тп

m/p

MB

P(^^l)'

Это равенство превращается в тождество при выполнении условия:

Отсюда следуют связи:

6 = m !н (l -Ь > 3 - уп - l) ¦

Эти выражения совпадают с (1.21).

2.2,5,2, Рента с непрерывным начислением процентов и с непрерывной выплато-й платежей. При получении формул для вычислении наращённой суммы к современной стоимости ренты с непрерывным начислением процентов и с непрерывной выплатой платежей найдём пределы в выражениях (2.24) и (2,26) при р —? оо,

Оз-юо) _ е3п -1

STL,6

hm р Ш* - &

Р-40Є V /

Неопределённость раскрывается по правилу Лопиталя.; то есть:

Ш _ if

lim т (es/p - 1) = Lim , - ііш - — ~ 5: вШх) V і ї-юо (1/Р) —

5

ІЬким образом

Пример 2.14. В фонд ежегодно поступают средства по 10ООО руб- в течение семи лет, на которые начисляются проценты по силе роста 15 % годовых, причём выплаты производятся и проценты начисляются непрерывно. Определить коэффициент приведения ренты и её современную стоимость.

Решение. Коэффициент приведения ренты находится по фор-муле: JT л .. т

47"' = ^ = ЧдГ—№48 Современная стоимость ренты:

Л = - 10 ООО ¦ 4,333 74S = 43 337,48 руб а

2.2.6, Ренты с выплатами в начале и в середине периодов. При выплатах в начале периода (рента преиумерандо) наращённая сумма годовой ренты определяется выражением:

Si = R(l + i}n+R(l + i)n~l + ... +FL(l + i) =

[1 + (1 + х) + ... + а + - + (і +

І

= (2,29)

Здесь Si и S — наращённая сумма годовой ренты пренумерандо и пост- j іуме ран до соответственно. ТЬким образом, наращённая сумма годовой рейты пренумераїідо в (1-J- і) раз больше [таращенной суммы годовой ренты постнумерандо. Это связано с тем, что число периодов начисления процентов для рейты прьнумерандо больше на единицу. Можно показать, что аналогичная зависимость существует между современными стоимостями рент пренумерандо и постнумерандо, то есть:

Л = Л(1 + і). (2.30)

Здесь Л и А — современная стоимость год оной ренты нренумерандо и иостнуме ранда соответственно.

Пример 2.1&. В фонд ежегодно в начале года поступают средства по 10 000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых. Определить величину фонда на конец срока и его современную стоимость.

Решение. Величина фонда на конец срока определяется по фор-муле:

$1 «= дР+.'?-"1 (1 + 0 = 10000 11,15 - 127268,1S руб.

t U j 1и

Современная стоимость фонда

= (1 + 0 Ш ЮООО 1,15 = 47844,83 руб. в

і (JJ5

Тдльед для ознакомления. Специально для МирКниг

На рис. 2.5 представлена схема выплат ренты п ре ну мера! г до с на-числением процентов по но мин ал иной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году,

12 Р

, 12 Ж

I J L

< і a i t > і 1 > і і !. і t і і і j і і і і [

0 1 TL

Рис. 2 5

В любом году производится р выплат по R/p руб., где R — годовая выплата. Причем выплаты осуществляются в начале периода (см, рис, 2.5), Количество начислений процентов в году по номинальной ставке j равно т. Срок ренты п лег. Количество начислений на первую выплату любого года к концу этого года равно т} на вторую —

(р — 1)—, на третью — (р - 2) — у . , на последнюю — —, Наращённая р р р

сумма на все выплаты гада к концу этого года определяется соотношением,

р т/ v гп/ р rnj

р m j m j р V тп/

р mj р щ/ р

Знаменатель геометрической прогрессии, сумма которой помещена в

{ і Л"^

квадратные скобки, равен {1 4- —} , количества членов — р, по-

V ш/

Этому:

(і+ІТ _! * Л+ ?)""_ іv т}

Количество начислений до конца ренты на наращённую сумму 1-го года равно (п - 1)тп, на наращённую сумму 2-го года — (п - 2)тп, ..., на наращённую сумму предпоследнего года — мдна наращенную сум-

му последнего года- — 0. Тогда наращённая сумма всей ренты:

(і * + V т У

+ Щ.І Ш Я]

г % , j у

Гі+і

g

7П j

ш

f -Л

mj

Щр

-I

тгі

Р

(- а

р

m /

. litfl

(іфї

4- Яі — —

V ™

1 +

НУ -

МГ-

НГ-]

Перепишем это выражение в виде:

(2.31)

где Si, S — наращённая сумма ренты пренумерандо и постнумерандо с начислен нем процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году соответственно.

Аналогично находится формула для современной стоимости ренты:

т/р

(2.32)

(

* ''

где Aii А — современная стоимость ренты пренумерандо и постнумерандо с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году соответственно.

Пример 2,10, В фонд ежегодно в начале і^ода поступают средства по 10000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15 % годовых, причем выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются один раз в году. Определить наращённую сумму и современную стоимость фонда.

Решение, Наращённая сумма находится по формуле (2.3J):

m

St = Я

иі

иг-

Наращённая сумма ренты постнумерандо с такими же характеристиками определена в примере 2.9:

S = /Щ. = 10 ООО ¦ 12,108 76 = 121087,6 руб.

Наращённая сумма искомой ренты:

„ / 4 'н/р г о ісчіи/1

= $ (1.+ ^J = 12108Tt6 [I ф ^ j т 125 685,38 руб.

Соврйрнная стоимость ренты постнумерандо с такими же характеристиками определена и примере 2.Ш,

А = = 10 000 - 4h2(i4 9У1 = 42 6^,31 руб.

Современная стоимость искомой ренты:

¦ І і я»/Р { піл 4 і3/11

Ах = А [1 + 42 649п81 П + = 44 260,25 руб. «

На рис. 2,6 представлена схема ренты с выплатами в середине периода с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами й году.

12 Р

I 2 m I

І І І І І І і < I I < І і I -

О 1

Рис. 2.0

В любом году производится р выплат по RJp руб., где R — годовая выплата. Выплаты производятся в начале периода. Количество начислений процентов в году по номинальной ставке j равно т. Срок ренты п лет. Количество начислений на первую выплату люб о га года к концу этого года равно

/ 1 t ПІ . 7П

на вторую - щ щ

на предпоследнюю — ^

на последнюю — т

Щ

Наращённая сумма на нее выплаты года к концу этого года определяется соотношением:

. , т g-j _ . m

р га/ V V т/

m гн ТП-

С ециа льно для Мир

m

+

I Ісренишем ЭТА выражение в виде:

mJ р тп/ р m /

Р тп/ V

количество членов — р,

Знаменатель :»тоЙ геометрической прогрессии, сумма которой записана її квадратных скобках, ранен ' » поэтому общая гумма:

(

. у. ТП

1+^Л -і »

И) -1

Количество начисленні! до конца ренты на наращённую сумму 1-го года равно (ті - 1)т, на наращённую сумму 2-го года — (п- 2)т( isa наращённую сумму предпоследнего года — т, на наращённую сумму последнего года — О. Тогда наращённая сумма всей ренты:

- я, (і + І)

чнг-

0 '+Яв-

КП

-1

+ її І — — Р

("і)5

(іДГ-!

-- я-Л

[КГЧ

ІЬрепишгм ¦это выражение в виде:

(2.33)

где Slt S - наращенная сумма реты с выплатами в середине периода и ]н*н1Ы л «юшучерандо с начислением процентов по номинальной ИроцешнпЙ ставке н с неоднократными выплатами в году соотиет-

С* j Ж'ЛН^ I

Аналогично Находится формула для современной стоимости ренты:

т

Tt /

где А — современная стоимость ренты с выплатами в середине

периода, и ренты постнумерандо с начислением процентов по номинальной процентной станке и с неоднократными выплатами в году Соответственно.

Пример 2.17- В фонд ежегодно в середине периода поступают средства по 10 ООО руб. в течение семи лет, да которые начисляются проценты по сгавкгё 15% годовых, причем выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются ежемесячно. Определить наращенную сумму и современную стоимость фонда.

Решен и с. Наращённая сумма находится по формуле (2.33): (1 + Ч ТИ
- :L V m J "/ і * m/p V (1 + -і V Щ; !

Наращённая сумма ренты постнумерандо с такими же характеристи-ками определена в примере 2.8:

S = j/m = 10 ООО * 12,10876 Щ 121087,6 руб.

Наращённая сумма исследуемой ренты:

— с ТУ/Й

5(l + - 121087,3 flL.+ = 123305,07 руб.

Современная стоимость ренты постнумерандо с такими же характеристиками определена в примере 2,10:

А Яа(пр)г = 10000 ¦ 4,264081 = 42643,81 руб.

Современная стоимость исследуемой ренты;

ГТ1 12/3

А1/г = Л(і+ ?-)'P- 42 649,8l(l + ж43451,99 руб. ¦

Из соотношений (2.33) н (2,34) следуют формули для других типов рент. Для годовой ренты m = 1, р - 1:

Зщ - S( 1 + г)1/ А1/2 = Л( 1 +(2.35)

Для ренты с начислением цроцегггов m раз в году и при выплатах один раз в году, то есть при р = 1;

m jn

$1/2 - 5 (і + І) 2 g A1/2~A(l + -ty . (2.36)

Для ренты с начислением процентов один раз в году, то есть m = 1, и при выШ?атах р раз и году:

Am=A{i+ifr тт

И фодтулр (2 Зо)-(2.37) пелнчины S и Л являются наращённой jv^ih ні и і'ойремеинсщ стоішо<тьш і tigгветівдуїощих рент постнумс- р;шди

2.2,7. Отложенные ренты. Отложенными называются ренты, у которых начало выплат сдвинуто вперёд. При расчёте современной стоимости такой ренты вначале находят современную стоимость исходной ренты, у которой моментом при ведения считается начало выплат, а затем дисконтируют полученный результат к началу отложен пой ренты. Для годовой отложенной ренты современная стоимость і Л рас- считы кается по формуле,

Д,=- М1 =

где А — современная стоимость исходной ренты, у которой МОМЙЇІТОМ приведения считается начало выплат, t — время задержки в выплате ренты, tin t — коэффициент приведения ренты к началу выплат, Vі =¦

й'П + щ-к

[Іример 2 18. Спустя три года после образования фонда в него начинают поступать с ре детва по 10 ООО руб. в конце каждого года в течение последующих 7 лет, на которые начисляются проценты по Сіавке 15% годовых. Определить современную стоимость и наращён- нут гумму фонда.

Решение. Современная СТОИМОСТЬ фонда определяется по формуле (2.38), которую перепишем в виде,

г

Щ&пашщ сюда данные примера, получим;

лЛ * ШООО 1 " п Л'1^ (1 + 0,15)"J = 27355,44 руб.

иДи

Наращенная сумма фонда определяется по формулам (2.6) к (2.7)>то есть:

s ^ Я - = 10 ш = ІїШЇЙ» руб, ¦

Рассмотрим задачу деления ренты между двумя участниками. Пусть годовая рента посту мерапдо, имеющая год оную выплату ft и cptf* п, делится между двумя участниками (например, наследниками). ггричїЧі вначале получасг выплаты первый участник. Причитающаяся Шу ДО.ІЯ о г каииіаііиировашіой стоимости ренты равна х. Второй уча» гни^ гюл чает ооіаьіпиеся платежи ренты. Его доля раи-

на 1 — I- Определить время получения ренты первым Tl И вторым П2 участниками. Если известно время получения ренты первым участником] то время получения вторым определяется по формуле;

Пг = га-*пі. (2.39)

Из условия задачи следует соотношение — = Раскрыв это

выражение, получим: х ~х

/і ЧЛ»1-Л±ІГ"1 „l-tt + i)"11' 1

Учитывая соотношение (2.39)і а также следующее из условия задачи равенство — t, полученную формулу можно переписать в виде:

= 1 -ЛГ 4-1(1 -hi)'71. Прологарифмирован последнее выражение, найдем:

-71! )n(l + t) = In [1 -х+ х(1 + i)-n]. Окончательно получим:

1п(1 + г;

Пример 2,19. Пусть годовая рента постнумерандо со сроком 20 лет делится между двумя участниками, причем первый участник получает 25 % от капитализированной стоимости ренты. Процентная ставка принимается равной 15% годовых. Определить длительность периодов получения ренты первым: и вторым участниками.

Решение, Срок получения ренты первым участником определяется формулой (2,40):

Пі in (1 +1) In 1,15

_ In [1 - я + з(1 +г)~Ч _ In (1 -0,25 + 0,25-1,15-™)

= 1,01 ад 2 года.

Доля второго участника — следующие 18 лет, ¦

2.2*8, Вечная рента. Формула для вычисления современной стоимости р — срочной вечной ренты с начислением процентов но несколько раз в году следует из соотношений (2.21) и (2,22) при и —I -f оо:

1-МГ"

и У г и Л* г (2'41)

где Я — годовая выплата, j — номинальная процентная ставка, р — количество выплат в году, m — количество начислений процентов в году. Вечная рента используется при больших сроках платежей или в тех случаях, когда срок конкретно не оговаривается, например, при начислении пенсии.

Пример 2,20. Определить цепу р — срочной вечной ренты, выплаты по которой и конце каждого месяца составляют 2 тыс. руб. при номинальной процентной ставке 12% годовых и начислении процентов один раз с году.

Решение. Ид условия задачи следует р — 12, тп — 1, j = і — 0 Д2. Подстав ни резуль-тты в формулу (2.41), получим:

2О00 12 = 210774i8pj6. .

л112) =

12 (іД21/11 ™ lj

Формула для вычисления современной стоимости годоіюй ренты следует из (2.41) при подстановке туда р = ly m — 1, j = Ї:

(2.42)

- *

¦"оо -* ¦

Пример 2.21, Определить цену годовой вечной ренты, выплаты но которой в конце каждого года составляют 24 тыс. руб. при процентной ставке 12 % годовых.

Решение, Подставив данные примера в формулу (2.42), получим:

А» = = 200 ООО руб. ¦

<< | >>
Источник: Кузнецов Б.Т.. Финансовая математика: Учебное пособие для вузов / Б.Т. Кузнецов. — М.: Издательство «Экзамен»,2005. — 128 с. (Серия «Учебное пособие для вузов»). 2005

Скачать готовые ответы к экзамену, шпаргалки и другие учебные материалы в формате Word Вы можете в основной библиотеке Sci.House

Воспользуйтесь формой поиска

2.2. Постоянная рента

релевантные научные источники:
  • Возникновение и развитие экономической теории
    | Ответы к зачету/экзамену | 2016 | Россия | docx | 1.9 Мб
    Экономика ПРЕДМЕТ И МЕТОДЫ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ Политическая экономия и экономикс Типы экономических отношений Главная функция экономики Экономический кругооборот МЕТОДЫ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ 2
  • Ответы на вопросы по оценке стоимости предприятия
    | Ответы к зачету/экзамену | 2016 | Россия | docx | 0.05 Мб
    1.Роль оценки объектов и прав собственности в условиях рыночной экономике. Понятие объекта оценки. 2.Субъекты оценки. Участие в саморегулируемых организациях оценщиков. 3.Обязательность и
  • Ответы к экзамену по микроэкономике
    | Ответы к зачету/экзамену | 2016 | Россия | docx | 0.41 Мб
    Предмет микроэкономики. Принципы и законы микроэкономики. Понятие и виды потребностей. Производственные ресурсы. Экономические проблемы. Проблема выбора. Трансакционные издержки. Совершенная
  • Ответы на экзамен - Гражданское право
    | Ответы к зачету/экзамену | 2016 | Россия | docx | 0.16 Мб
    1. ПОНЯТИЕ, ВИДЫ, ХАРАКТЕРИСТИКА И ЗНАЧЕНИЕ ДОГОВОРА КУПЛИ‑ПРОДАЖИ. ПРАВА И ОБЯЗАННОСТИ СТОРОН 2. ЭЛЕМЕНТЫ ДОГОВОРА КУПЛИ‑ПРОДАЖИ 3. ОТВЕТСТВЕННОСТЬ СТОРОН ПО ДОГОВОРУ КУПЛИ‑ПРОДАЖИ
  • Гражданское право РФ - ответы на экзамен
    | Ответы к зачету/экзамену | 2016 | Россия | docx | 0.07 Мб
    1. Понятие и виды обязательств. 2.Основания возникновения обязательств. 3. Субъекты обязательства и их характеристика. 4. Принципы исполнение обязательств. 5. Перемена лиц в обязательстве 6.
  • Ответы на гос.экзамен - Менеджмент организации
    | Ответы к госэкзамену | 2017 | Россия | docx | 1.34 Мб
    1. Сущность и состав основного капитала. Структура основных фондов. 2 . Учет и оценка основных фондов. 3. Износ основных фондов. Виды износов. 4. Амортизация. Методы начисления амортизации. Порядок
  • Инвестиции, финансы, риски. Лекции
    | Лекция | | Россия | docx | 3.57 Мб
    Разработка инвестиционного проекта 1. Общие положения График 1. Классификация инвестиций 2. Источники привлечения капитала 2.1. Инвестиции за счет собственных средств 2.2. Кредиты 2.3. Создание
  • Ответы к экзамену по предмету Финансовый менеджмент
    | Ответы к зачету/экзамену | 2016 | Россия | docx | 0.11 Мб
    Финансовый менеджмент и функции финансового менеджера 2. Финансовая отчетность: формы и элементы 3. Пользователи финансовой отчетности 4. Активы предприятия и их структура и понятие 5. Классификация
  • Ответы к экзамену по бизнес-планированию
    | Ответы к зачету/экзамену | 2016 | docx | 0.07 Мб
    Сущность и содержание планирования в рыночных условиях. Виды внутрифирменного финансового планирования. Бизнес-планирование. Структура бизнес-плана: Понятие стратегического планирования. Текущее
  • Ответы на вопросы к экзамену по Экономике предприятия
    | Ответы к зачету/экзамену | 2016 | Россия | docx | 0.12 Мб
    Структура национальной экономики. Понятие предприятия: признаки и задачи. Классификация предприятий. Производственная и организационная структура предприятия. Внешняя и внутренняя среда предприятия.