2.3 Переменная рента

2.3-1.

1-Н

где v —

где R — выплата в конце первого года, а — постоянное годовое прира- Современная стоимость такой ренты определяется суммой:

Сумма в последнем выражении является суммой арифметико-геометрической прогрессией, которая вычисляется по формуле;

= і//, І і--

П - Rtsn _ паи7* + au" a (l -

н

i-i ГГГТГГ'^^"

v и v

Учитывая, что

I-1 = 1-Н_1 = г, a Г»

запишем последнюю формулу и виде;

д = [d+i)-+І^ьнг^і] _ oaf..

Так как п ,

= (Ы-.i]

г

,-rt+l

1- (l + i)

1- (1 + 0 +*<*+*)"

4-"I"

=

где an;i — коэффициент приведения постоянной годовой ренты, то формулу для соп ременной стоимости годовой ренты с изменениями платежей по закону арифметической прогрессии можно записать в виде:

+ (2.43)

Если известна современная стоимость годовой ренты, то её наращённая сумма может быть определена по формуле:

ГТодстааив в эту формулу выражение для современной стоимости (343), получим:

(Я+(3.44)

так как

4- »)" = (1 +0" = ^ = -«І.

Ї *

То ^о-алд = 1- муомлесия.

Пример 2,22. Ожидается, что сбыт продукции будет увеличиваться каждый год на 2,5 тыс. руб.(или уменьшаться на 2,5 тыс. руб.) в течение 10 лет при поступлении денег в конце каждого года. Первая выплата равна 50 тыс. руб. Начисление процентов производится но ставке 12 % годовых. Определить современную стоимость и наращённую сумму переменного потока платежей.

Решение, Современная стоимость исследуемого потока платежей определяется по формуле (2.43). Предварительно найдём коэффициент приведения постоянной ренты an.jt\

«„.„= і^і+ІП = i^p = 5,6502225.

Для а =2,5 тыс.

А = (бОООО-I- 5,6502225 ~ ^333146,33 руб.

\ 0,12 j 0,12 ¦ 1Д2

Для а — —2,5 тыс. руб. современная стоимость потока платежей равна:

А — ГбО ООО - ^ 5 650222 5 + ^-^^ = 231875,93 руб. V 0Д2 / 0,12 а,1210

Наращённая сумма исследуемого потока платежей определяется по формуле (2,44). Предварительно найдём коэффициент наращения постоянной ренты

.10

Sn;j ш = = 17,548732.

Для а = 2,5 тыс, руб, наращённая сумма потока платежей равна:

S = (&OG0Q + 17,543 732 - = 1034701,9 руб.

\ J 0,12

Для а — -2,5 тыс. руб, наращённая сумма потока платежей равна:

S = ^51

S = [50 000- 17,548 732 + ^^ = 720171,35 руб.

2.3.2. Годовая рента постнумерандо с изменением выплат по закону геометрической прогрессии, Пусть выплаты изменяются по закону:

Я; Rq\ fig2-,

где R — выплата в конце первого года, q — темп роста ренты или знамена гель профессии, п — срок ренты.

Современная стоимость такой ренты определяется суммой:

v =

Л = Rv + Rqv1 + -f ... + Rqn~x-n

- Ru (1 + qt/ + q2u2 + ... -h vn~l) =

„n ,, тП П П 1

= Rvg = Rq " -1. g^-l (j-l-t

Если темп роста ренты представить в із и де:

q = 1 + Др

где Л —темп прироста ренты, то формулу для современной стоимости годовой ренты с изменениями платежей по закону геометрической прогрессии можно записать в виде:

(1±4У -1 1 - г^у

л = Д V 1 + і > , = я Vі +, (2.45)

1 + Д-1-Ї i-A V '

Бели известна современная стоимость годовой ренты, то её наращённая сумма может быть определена по формуле;

5 = А(1 + 0П-

Подставив в эту формулу выражение для современной стоимости (2,45)} получим;

1

-ШЇ

S. R + = + (2.46)

I - А 4 ' г - Д v '

Пример 2.23. Ожидается| что сбыт продукции будет увеличиваться каждый год на 5 % (или уменьшаться на 5 %) в течение 10 лет при поступлении денег в конце каждого года. Первая выплата равна 50 тыс. руб. [Зачисление процентов производится по ставке 12 % годовых.

Решение. Современная стоимость исследуемого потока платежей определяется по формуле (2.45). Для Л = 0,05 с о ере глеи лая стоимость потока платежей равна:

т _ /1 + 0,05 У0 Л = 50 ООО —- 339 671,43 руб.

Для Д = -0,05 современная стоимость потока платежей равна:

2 _ /1-0,ОЕ"

А = 50 ООО Д**»-' = 237 418>47 ^

-j- и,и&

Наращённая сумма исследуемого потока платежей определяется но формуле (2.40). Для Д = 0,05 наращённая сумма потока платежей рашга:

g = д(1+>Г- (1+АГ д др pop 1Д2"-1,0В" __ 1054 966 6 руб,

г - Л 0,12 - 0,05

Для Л — —0,05 наращённая сумма потока платежей равна:

s = Н{1 + І]П + — 5Q ооо 1Д2І° ~°і95ІО= 737385,55 руб. ¦ і-А 0,12 + 0,05

2.3.3. Непрерывные переменные потоки платежей. На практике часто бывает удобным представить переменный поток в виде Еіепрерьівного. В этом случае поток является функцией времени

я, - ЯМ, (2.47)

где t — время (см. рис. 2.7). Срок инвестиций равен п. Промежуток времени от произвольной точки і на оси времени до п равен п — 1

О t dt п t

Рис. 2.7

Наращённая сумма (см. 1.19) для момента п при выплате в момент і определяется выражением:

dS = Я(і)еНп^ dt.

Здесь J — сила роста, R(t)dt — величина выплаты в момент i, dt — бесконечно малый отрезок времени. Проинтегрировав это выражение в промежутке от начала инвестиций до их окончания, получим формулу для наращённой суммы непрерывного переменного потока платежей:

п

S = j dt (2,48)

о

Аналогично находят формулу для современной стоимосги непрерывного переменного потока платежей:

п

А = J R(t)e~6tdt, (2.49)

о

Полученные выражения (2.48) и (2.4U) позволяют определить связь между наращённой суммой и современной стоимостью непрерывного переменного потока платежей. Для определения этой связи в (2.48) постоянный коэффициент вынесем за злак интеграла:

ТІ

S = е'п dt.

а

Интеграл в этом соотношении равен современной стоимости потока (см.

S=Ae6ti. (2.50)

Рассмотрим случай, когда поток не изменяется во времени, то есть Я(і) = R = const. В этом случае формулы для наращенной суммы (2.48) и для современной стоимости (2,49) можно представить в виде:

-St

= ReSn 1 ~ ? - R - ;

8

5

S = ReSn \e-Stdt ^ Re*n-

П -6 T

1 - t

A =

R(t)e~st dt - a

Полученные результаты совпадают с результатами, полученными в разделе 2.2.5.2.

2.3.3.1. Линейно изменяющиеся непрерывные попюісгі платежей. Поток платежей (2.47) в этом случае представим ъ виде:

Rt = Я(і) = R + at. (2.51)

Co и рем енная стоимость линейно изменяющегося не [фе рыв но го потока платежей определяется по формуле (2.49) путём подстановки туда (2.51):

А =

п і -sn 7 (Я + dt = Я + а I te~6t dt.

1 -

Т&к как a(rt;j) = ^ (см. раздел 2.2,5.2), а последний интеграл

п -in

"a -Jt Л

te dt - ' ¦ г—, то современ-

? о

в предыдущем выражении

пая стоимость линейно изменяющегося непрерывного потока платежей определяется по формуле;

А = J4..4 + « - ^ = (Л + |) «(„,„ " (2.52)

Наращённая сумма линейно изменяющегося непрерывного потока платежей определяется по формуле (2-50):

s = лв- = (Я +1) bfH - f = (я+ ,[М1 - (2.53)

е*п-1

ГДЄ = —д •

Пример 2.24. Линейно изменяющийся непрерывный поток платежей (2,51) имеет следующие параметры: базовый уровень выпуска

R = 20 тыс. руб. /год, ежегодное увеличение потока платежей а = - 1 тыс. руб., сила роста & — 10 %. Срок этого потока платежей составляет 5 лет. Определить современную стоимость потока и его наращённую сумму.

Решение. Современная стоимость потока определяется по формуле (2.52);

~Sn ґ 1000\ 1 - е~ц1 s

Л - (л+^сцр.,,- (20000 +

V 0,1 } од

_ 1000'5 ¦ е"^1*8 — 37714 29 руб, ОД

Наращённая сумма потока определяется формулой (2.53):

[ б) " Т - I,20000 + Ж) ~~од о^ "

= 144616,4 руб.

Проверить результат можно по формуле (2,50);

S ~ Ае5п - 87 714,29 - е*1"5 = 114 616,4 руб. ¦