ДИСКУССИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ1 Воскресенье, 7 сентября 1930 г.

ГАН: Нижеследующее представляет собой всего лишь замечания к дискуссии, и таким образом, по необходимо­сти имеет эскизный характер; поэтому я прошу извинить то обстоятельство, что я не буду говорить с необходимой B этих вопросах точностью.

Если мы хотим принять решение в пользу одного из на­правлений в основаниях математики, которые будут здесь детально мотивированы, то, прежде всего, следует задать себе вопрос: Чего мы ожидаем от оснований математики? И чтобы выразить свое мнение по этому вопросу, я должен предпослать своему выступлению несколько замечаний философского характера.

Единственно возможной точкой зрения на мир пред­ставляется мне эмпиристская точка зрения, которую очень приблизительно можно охарактеризовать следующим об­разом: любое познание, которое обладает содержанием и которое действительно сообщает нечто о мире, может осу­ществляться только посредством наблюдения, посредством опыта; при помощи чистого мышления никоим образом нельзя получить какое-либо знание о действительности; а однократное наблюдение не может дать нам никакого по­знания, которое выходило бы за рамки данного отдельного случая (последнее замечание направлено против всевоз­можных учений о чистом созерцании и усмотрении сущно­сти). Я занимаю эту эмпиристскую позицию не в результа­те выбора из нескольких возможных точек зрения, но по­тому, что она кажется мне единственно возможной, по­скольку для меня любое реальное познание посредством чистого мышления, посредством чистого созерцания, по­средством усмотрения сущности, представляется чем-то абсолютно мистическим.

Проведению этой эмпиристской точки зрения, как ка­жется, противодействует один очень простой факт: а имен­но, факт существования логики и математики, которые, по- видимому, все же предоставляют нам абсолютно надежные и всеобщие знания о мире. Таким образом, возникает ко­ренной вопрос: как совмещается эмпиристская позиция с применимостью логики и математики к действительно­сти? И в русле этого вопроса, на мой взгляд, мы, прежде всего, должны требовать от оснований математики объяс­нения, каким образом применимость математики к дейст­вительности оказывается совместимой с эмпиристской точкой зрения.

Представители интуиционизма и формализма, которые здесь выступали, настолько ясно изложили свои точки зре­ния, что, пожалуй, можно сказать с определенностью: ни интуиционизм, ни формализм это требование не выполня­ют. Я считаю, что исследования Брауэра и Гильберта имеют в высшей степени большое значение в области мате­матики, однако я не считаю, что эти исследования могут служить в качестве оснований математики. Господин Гей- тинг в своем докладе исходит из изначальной интуиции числового ряда; для меня эта изначальная интуиция, по­добно чистому созерцанию или усмотрению сущности, за­ключает в себе нечто мистическое, а значит не годится в качестве исходного пункта для оснований математики. Ну, а господин фон Нейман сказал со всей определен­ностью, что формализм принимает в качестве предпосыл­ки всю финитную арифметику, чтобы, исходя из нее, оправдать классическую математику; однако позицию, ко­торая принимает в качестве предпосылки финитную ариф­метику, нельзя рассматривать в качестве оснований мате­матики.

Изложению моей собственной точки зрения необходи­мо предпослать небольшое разъяснение. Пусть имеется не­которая область предметов, между которыми существуют какие-то отношения; эта область отображается на некото­рую область отображения так, что предметам и отношени­ям исходной области соответствуют предметы и от­ношения из области отображения; тогда мы можем истол­ковать предметы и отношения из области отображения как символы для предметов и отношений исходной области. Если предпринятое отображение является не одно­однозначным, а одно-многозначным, то тогда одному и тому же положению дел исходной области будут соответ­ствовать различные комплексы символов в области ото­бражения; таким образом, будет существовать трансфор­мация этой символики на саму себя, и возникает задача сформулировать правила для преобразования одного ком­плекса символов в другой комплекс символов, который отображает то же самое положение дел исходной области. По моему мнению, именно таким образом язык соотносит­ся с действительностью: язык придает положениям дел, ко­торые имеют место в мире, комплексы символов, и притом не одно-однозначным образом (что имело бы мало смыс­ла), но одно-многозначным образом; а логика предоставля­ет правила, по которым один комплекс символов языка может быть преобразован в другой комплекс символов, ко­торый обозначает то же самое положение дел; именно в этом заключается то, что обозначается как «тавтологиче­ский» характер логики; совсем простой пример представ­ляет двойное отрицание: предложение p и предложение не- не-р обозначают одно и тоже положение дел.

Таким образом, логика совершенно ничего не высказы­вает о мире, но она касается только того способа, которым мы о мире говорим, и становится вполне очевидным, что при таком понимании существование логики полностью совместимо с эмпиристской позицией, в то время как понимание логики как учения о наиболее общих свойст­вах предметов совершенно несовместимо с эмпиристской позицией. B качестве примера, возьмем логическую аксио- му (x) ф (дг) z) ф (у), которая утверждает следующее: что вы­полняется для всех, выполняется также и для каждого в от­дельности. Эта аксиома ^ичего не сообщает о мире; это вовсе не является свойством мира, что все, что выполняет­ся для всех, вьтолняется также и для каждого в отдельно­сти; просто предложение «ф(х) выполняется для всех ин­дивидов» и «ф^) выполняется для каждого отдельного индивида» представляют собой лишь различные языковые символы для одного и того же положения дел; данная логическая аксиома выражает, таким образом, только одно- многозначность символики, используемой в качестве язы­ка; она фиксирует, в каком смысле используется символ «все».

Вернемся теперь к основаниям математики. Логистиче­ская позиция, изложенная господином Карнапом, утвер­ждает, что не существует никакой разницы между матема­тикой и логикой. Если эта позиция осуществима, то данное выше объяснение положения логики в системе нашего по­знания объясняет также и положение математики; в этом случае существование математики, так же как и существо­вание логики, оказывается совместимым с эмпиристской позицией. Именно поэтому, среди трех рассматриваемых здесь направлений в основаниях математики, я выбираю логицистское направление.

Теперь действительно становится понятно, что предло­жения финитной арифметики, например, 3 + 5 = 5 + 3 име­ют такой же тавтологический характер, как и предложения логики; тут необходимо лишь обратиться к определениям символов 3, 5, + и =.

Абсолютистско-реалистская позиция Рассела предпола­гает, что мир состоит из индивидов, свойств индивидов, свойств этих свойств и т.д.; логические же аксиомы пред­ставляют собой высказывания об этом мире. To, что такая точка зрения несовместима с последовательным эмпириз­мом, об этом я уже говорил, и я считаю полностью оправ­данной полемику Витгенштейна и интуиционистов против этой точки зрения; точно также представляется мне невоз­можной и реалистско-метафизическая точка зрения Рамсея, против которой также выступил Карнап.

Хотя я и веду борьбу с философской интерпретацией системы Рассела, я все же полагаю, что формальная сторо­на этой системы по большей части является корректной и в значительной степени подходит для обоснования матема­тики; необходимо лишь найти другую философскую ин­терпретацию. Прежде чем попытаться набросать такую ин­терпретацию, я бы хотел, с целью облегчить понимание, обратить Ваше внимание на одно хорошо известное об­стоятельство. Возьмем какую-нибудь систему аксиом эвк­лидовой геометрии, например, систему Гильберта. Эта система аксиом отлично применима для описания мира; тем не менее, никто не считает, что в мире можно обнару­жить предметы, которые ведут себя как точки, прямые, плоскости эвклидовой геометрии; здесь речь идет именно лишь об идеализациях, о предпосылках, которые прини­маются для нужд подходящего описания мира.

Давайте теперь, вслед за Расселом, предположим, что для описания мира (лучше сказать: среза мира) в нашем распоряжении имеется система пропозициональных функ­ций, пропозициональных функций о пропозициональных функциях и т.д. (при этом я, в отличие от Рассела, не счи­таю, что эти пропозициональные функции являются чем-то абсолютно данным и таким, что может быть обнаружено в мире). Описание мира получится теперь разным, в зависи­мости от того, насколько богатой является эта система пропозициональных функций; и мы принимаем относи­тельно этого определенные допуіцения\ например, мы бу­дем требовать, что если в систему ВХОДЯТ ф(х) И y/(jc), TO это также выполняется для g>(x) v y/(x) и g>(x) л у/(х)\ мы принимаем также, что вместе с q>(x, у) в систему также входит fy)q>(x, у)\ мы можем, например, также принять, что система является настолько богатой, что и выражение типа (ф) ф(х, у) входит в эту систему; в этом смысле и тре­бование, что должна выполняться аксиома бесконечности или аксиома выбора, также является требованием относи­тельно богатства этой системы пропозициональных функ­ций, с помощью которой мы хотим описывать мир. Вся ма­тематика возникает тогда через тавтологическое преобра­зование требований, установленных относительно богатст­ва нашей системы пропозициональных функций. Выполня­ется ли та или иная теорема (например, теорема о мощно­сти множества-степени или теорема о том, что каждое множество можно вполне упорядочить), зависит от требо­ваний, которые выдвигаются относительно богатства лежа­щей в основе системы пропозициональных функций, кото­рые, если угодно, можно называть аксиомами:; вопрос об аб­солютной истинности таких теорем является совершенно бессмысленным.

Теперь, возможно, кто-то захочет задать вопрос: суще­ствует ли такая система пропозициональных функций, о которой здесь велась речь? B эмпирическом смысле (или в смысле реализма Рассела) такой системы, очевидно, не существует: такого рода систему невозможно обнаружить в мире. B конструктивном смысле интуиционистов такой системы также не существует.

Что же будет означать в истолкованном таким образом анализе экзистенциальное утверждение? Оно очевидно ни­коим образом не утверждает возможности построения в интуиционистском смысле; однако является ли оно, в си­лу этого, бессмысленным, как это считают интуициони- сты? Допустим, некоторая экзистенциальная теорема была доказана при помощи трансцендентных (т.е. неконструк­тивных) средств, например, для большей конкретности, теорема «существует непрерывная функция без производ­ной»; будет ли тогда еще кто-нибудь пытаться доказать теорему «каждая непрерывная функция имеет производ­ную»? Я думаю, нет. A потому эта чисто экзистенциальная теорема имеет фактическое значение; не то, что некоторую такого рода функцию можно каким-то образом эмпириче­ски обнаружить в мире; и не то, что ее «можно построить»; а то, я бы сказал, «научно-техническое» значение, которым обладает предупреждающая табличка: не пытайся доказать теорему «Каждая непрерывная функция имеет производ­ную», так как тебе это не удастся. To, что именно в этом состоит роль чисто «экзистенциальных теорем» признают- как я полагаю - большинство коллег, которые активно уча­ствуют в исследованиях, осуществляемых, например, в теории вещественных функций.

B заключение - несколько слов по поводу критики Рас­села со стороны Витгенштейна, о которой здесь доклады­вал господин Вайсман. Я уже говорил, что мне эта критика, в ее существенных пунктах, представляется обоснованной. Тем не менее, я полагаю, что различие тут вовсе не такое большое, как это может показаться из доклада Вайсмана. Согласно Расселу, натуральные числа представляют собой классы классов; точка зрения Витгенштейна кажется со­вершенно иной; однако если принять во внимание то об­стоятельство, что по Расселу символы классов являются неполными символами, которые, дабы установить действи­тельное значение предложения, сначала должны быть эли­минированы, и если эта элиминация осуществляется по установленным Расселом правилам, то становится очевид­ным, что позиции Рассела и Витгенштейна не так уж и от­личаются друг от друга. - Конечно, подчеркнутая Витген­штейном разница между системой и совокупностью, меж­ду операцией и функцией существует, и верно, что в сис­теме Рассела это различие не проводится. Однако операции и функции, системы и совокупности имеют много общего и поэтому вполне могут рассматриваться вместе, с использо­ванием одной и той же символики. Для того, чтобы крити­ка по этим пунктам была действенной, нужно, таким обра­зом, показать, что Рассел заходит слишком далеко в этом совместном рассмотрении, применяет его и в тех случаях, когда оно, в силу эффективных различий, не может больше применяться, и тем самым совершает ошибку.

КАРНАП: Я хотел бы сделать несколько замечаний по поводу отношений, в которых находятся друг к другу три основные направления в исследованиях по основаниям ма­тематики. (Позиция Витгенштейна, о которой докладывал господин Вайсман, содержит важные идеи, однако пока еще не достаточно четко сформулирована.) Некоторые слушатели вынесли из трех докладов удручающее впечат­ление, будто данная проблемная ситуация является запу­танной и бесперспективной: имеются три направления, ко­торые не понимают друг друга и каждое из которых желает строить математику совершенно по-разному.

B действительности же, как мы увидим, дело обстоит вовсе не так уж плохо.

Разницу между этими направлениями можно, пожалуй, объяснить через разницу в требованиях, которые предъяв­ляются к построению математики со стороны различных точек зрения. Логик (представленный в первую очередь Фреге, позднее Расселом, а в определенном смысле и Брау­эром) требует: «каждый знак языка, а значит и математи­ческой символики, должен иметь определенное, сообщае­мое значение». Ему противостоит математик (представ­ленный Гильбертом): «мы не хотим быть обязанными да­вать отчет о значении математических знаков; мы требу­ем для себя права произвольным образом оперировать ак­сиомами, т.е. устанавливать аксиомы и предписания для операций относительно какой-нибудь математической об­ласти и затем формальным образом выводить отсюда след­ствия».

Эти два требования кажутся несовместимыми. Они вы­ражают противоположность между логицизмом и форма­лизмом. Однако эта противоположность, как я полагаю, может быть преодолена. Путь к этому открывает третье требование, выдвиіаемое физиком. Последний требует от логико-математической системы, чтобы она не только была внутренне согласованной, но также и применимой в облас­ти эмпирической науки. Ибо собственный смысл этой сис­темы состоит в том, чтобы установить, каким образом мы можем осуществлять выводы, т.е. какие преобразования предложений являются допустимыми. Так, например, мы будем требовать, чтобы логико-математическая система позволяла нам переходить от предложений

«Все люди смертны»

и

«Все греки-люди»,

к предложению

«Все греки смертны».

И, действительно, в любой из известных логико­математических систем это преобразование является до­пустимым. Однако мы будем требовать от этих систем также, чтобы они позволяли нам преобразовывать предло­жение

«В этой комнате находятся только люди Ганс и Петер» в предложение

«В этой комнате находится два человека».

Ибо в противном случае мы не сможем применять арифметику к эмпирической реальности. Конечно, матема­тик не должен в рамках своей области заботиться об этом применении. Однако в рамках науки в целом мы естест­венно должны требовать возможности применения ариф­метики к предложениям о действительности; ведь в про­тивном случае нельзя было бы вообще заниматься физи­кой. Удовлетворяют ли этому требованию логицистская и формалистская системы? При фреге-расселовском способе определения чисел указанный выше логический вывод мо­жет быть осуществлен. При гильбертовском аксиоматиче­ском введении чисел это не гарантировано, поскольку его аксиоматическая система еще не сформулирована в точном виде. Ho в любом случае эта система может быть допол­нена посредством введения определенных аксиом таким образом, чтобы разрешить преобразования указанного ви­да. Таким образом, я считаю, что противоположность меж­ду логицизмом и формализмом может быть определенным образом преодолена при условии, что будет осуществле­но указанное необходимое дополнение формалистской системы.

Сначала рассмотрим построение логико-математиче- ской системы, осуществленное по методу Гильберта. Су­щественным пунктом этого метода мне представляется разделение на формальную математику (включая логику) и содержательную метаматематику. При этом математика состоит из формул, значение которых не учитывается; ме­таматематика устанавливает допустимые преобразования формул и исследует систему формул, выводимых из акси­ом. Этот метод деления на две части имеет то большое преимущество, что освобождает математика в рамках его области исследования от обременительных требований ло­гика учитывать значение знаков; при этом, однако, Зна­чение знаков рассматривается> в содержательной части,

а именно в метаматематике, которая соответствует фи- нитистски-конструктивистским требованиям.

Логицизм же требует, чтобы не только метаматематика, но и сама математика была осмысленной [bedeutungsvoll]. При указанном способе построения это требование, на пер­вый взгляд, нарушается. Однако я полагаю, что оно все же может быть выполнено постфактум. A именно, если к ло- гико-математической системе осуществить добавления, не­обходимость которых была обоснована выше, то дополни­тельный логический анализ нашего построения должен дать нам возможность выяснить значение первоначально чисто формально вводимых математических знаков. Так, например, логический анализ тех формул, которые позво­ляют преобразовать предложение о Гансе и Петере в пред­ложение о двух людях, приведет к результату, что знак «2» имеет как раз то значение, которое придает ему логицизм. Таким образом, формалистское введение натуральных чи­сел получило бы логицистскую интерпретацию.

После натуральных чисел формалистское построение вводит и остальные виды чисел. B эту систему входят ак­сиомы, которые устанавливают отношения между нату­ральными числами и дробями, между дробями и действи­тельными числами, между действительными числами и комплексными числами, между натуральными и трансфи­нитными числами. Задача логического анализа состояла бы тогда в том, чтобы шаг за шагом следовать за этим по­строением и таким образом раскрыть значение всех мате­матических знаков. Формалистское построение не может не дать правил для оперирования математическими знака­ми, т.е. предписаний, которые определяют употребление этих знаков не только внутри математики, но и в эмпири­ческой науке. Установлением подобных правил имплицит­но устанавливается и значение всех знаков. Ибо (как это ранее уже подчеркнул господин Вайсмап) значение поня­тия заключается в его употреблении.

Итак, мое предположение, если сформулировать его бо­лее точно, состоит в том, что логический анализ формали­стской системы приведет к следующему результату (если предположение подтвердится, то, несмотря на формалист­ский способ построения, логицизм оказался бы оправдан­ным, а противоположность между двумя направлениями - преодолена):

1. Для каждого математімеского знака найдется одно или несколько значений, а именно - чисто логические значения.

2. Если система аксиом является непротиворечивой, то всякая математическая формула, если вместо каждого ма­тематического знака подставить соответствующее логиче­ское значение (или же любое из различных значений), пре­вратится в тавтологию (общезначимое предложение).

3. Если система аксиом является полной (в смысле Гильберта: никакую невыводимую формулу нельзя доба­вить непротиворечивым образом), то анализ значений (Be- deutungsanalyse) является вполне определенным; каждый знак получает в точности одно значение; тем самым фор­малистское построение было бы преобразовано в логици- стское.

Изложенные идеи можно попытаться осуществить только тогда, когда гильбертовская логико-математическая система аксиом будет сформулирована в полном виде. Ес­ли бы при этом была не только сформулирована сама ак­сиоматическая система, но и осуществлено вожделенное доказательство непротиворечивости этой системы или ее определенных частей, то задача логического анализа зна­чений была бы тем самым существенно облегчена. Ибо, на мой взгляд, каждое доказательство непротиворечивости явно или неявно содержит отсылку к некоторой формаль­ной модели (Гильберт сам, в одном случае, дал указание в этом направлении, Logik S. 65). Ну, а при построении та­кой модели, как я полагаю, стало бы очевидным логиче­ское значение формалистских знаков.

Когда я выражаю надежду на единение противополож­ных направлений, то вовсе не хочу завуалировать все еще существующие на данный момент противоположности и трудности. Наоборот: самым лучшим будет, если каждое направление постарается как можно более строго и после­довательно разработать свои основные идеи. Я считаю, что, в конце концов, эти разработки приведут к общему ре­зультату.

фон НЕЙМАН: По поводу Вашей интерпретации не­противоречивости я бы хотел заметить, что сомневаюсь, что дела обстоят так, как Вы описали. Ситуация такова: Гильберт действительно вводит символы, лишенные смысла. Однако введение лишенных смысла символов не является для Гильберта самоцелью. Удобство оперирова­ния положительными целыми числами не дает оснований для слишком большого оптимизма, когда речь заходит о дальнейших шагах. Если Гильберту удастся осуществить доказательство непротиворечивости, сомнительно, чтобы это предоставило нам и возможную интерпретацию. Чтобы некоторая аксиоматическая система оказалась непротиво­речивой, достаточно, чтобы непротиворечивым было ее конечное подмножество. Потому и пытаются построить возможную интерпретацию для конечных подмножеств этой системы. Постоянные колебания этих временных ин­терпретаций доказывает, что от них не так-то просто пе­рейти к определенной интерпретации. Итак, вполне можно получить доказательство непротиворечивости без того, чтобы найти какую-либо интерпретацию для математики. Таким образом, я не считаю, что достаточно иметь доказа­тельство непротиворечивости. Я бы хотел спросить госпо- дина Гана: отвергаетли его позиция аксиому сводимости?

ГАН: Да.

фон НЕЙМАН: Тогда классическую математику нель­зя обосновать при помощи логических средств. Возможно, мы получим нечто большее, чем интуиционизм, но класси­ческую математику мы не получим.

ГАН: Аксиома сводимости нужна только для того, что­бы свести разветвленную теорию типов к простой теории типов. Однако разветвленная теория типов нужна лишь для объяснения противоречий, которые имеют неэкстенсио­нальный характер. Поскольку математика имеет чисто экс­тенсиональный характер, для ее обоснования нужна лишь простая теория типов, следовательно, здесь никакой ак­сиомы сводимости не нужно.

КАРНАП: Попытка интерпретации формальной аксио­матической системы не кажется мне бесперспективной. Если для каждой конечной подсистемы возможна интер­претация такая, что эта интерпретация определяется неко­торым общим законом, то посредством этого закона, по существу, задается также некоторая интерпретация всей системы в целом. Ибо интерпретация может иметь также и дизъюнктивную форму («данный знак в этой взаимосвязи имеет это значение, а в той взаимосвязи - то значение»), а значит быть заданной и функционально.

B математической системе должны быть правила для каждого отдельного математического знака, которые дела­ют возможным выводить из реальных предложений без этих знаков такие предложения, которые эти знаки содер­жат. Здесь мы как раз можем применить тезис Витген­штейна, согласно которому смысл символа проявляется в его употреблении, а точнее тезис, что каждое составное ре­альное предложение представляет собой функцию истин­ности тех элементарных предложений, из которых OHO со­стоит. Если мы представим себе комбинаторную схему «истинностных возможностей» тех реальных предложений, которые не содержат того или иного математического зна­ка, то правила вывода позволяют из одних истинностных возможностей (которые являются строками этой схемы) вывести такое реальное предложение, которое содержит этот математический знак, а из других - нет. Рассмотрим затем множество тех истинностных возможностей, при ко­торых такой вывод является возможным. Дизъюнкция предложений, образующих это множество, дает нам тогда значение предложения с этим математическим знаком, хо­тя сама эта дизъюнкция этого знака не содержит. Как мне кажется, тем самым была бы найдена интерпретация этого математического знака.

ШОЛЬЦ: Если мы представляем формализм в виде схемы, то предложение, будучи правильным, является реа­лизуемым также и в счетной области. Можно было бы ска­зать, что излишне выходить за рамки счетных множеств, поскольку аксиоматическая система, если она вообще яв­ляется реализуемой, может быть реализована и в счетной области. Однако как же обстоят дела с тем, что множество действительных чисел имеет большую мощность, чем множество рациональных чисел?

фон НЕЙМАН: Континуум в целом не является счет­ным, если применять только те функции, которые могут быть образованы чисто логически. Однако это отображе­ние можно образовать извне при помощи других функций. Здесь нет никакого противоречия.

ГЕЙТИНГ: Важным результатом данной конференции является для меня то, что полностью прояснилось взаимо­отношение между формализмом и интуиционизмом. Я вполне могу присоединиться к точке зрения фон Неймана. Итак, каково же это взаимоотношение? Оба направления сами по себе возможны, оба имеют определенное право на­зываться математикой, поскольку они оба выросли из клас­сической математики, истолковав ее по-своему. Хотя слово «математика» в одном случае означает мысленную конст­рукцию, а в другом - игру с формулами. Между обоими направлениями существуют определенные отношения, формализм нуждается в интуиционизме, по крайней мере, частично, как только речь заходит о целых числах и полной индукции. C другой стороны: как только получено доказа­тельство непротиворечивости, формализм может служить интуиционизму в качестве инструмента для осуществления доказательств, поскольку формальные знаки могут быть истолкованы интуиционистски как математические данно­сти. To, что это взаимопонимание является возможным, основывается на том факте, что для обоих направлений ма­тематика существует прежде, чем она применяется к при­роде, к действительности. По этой же причине пока еще не может быть достигнуто взаимопонимание с логицизмом. Здесь, прежде всего, нужно объяснить, как математика мо­жет быть применена к действительности. Этот вопрос пока еще полностью не разрешен. Логицисты не хотят отказать­ся от того, чтобы уже при построении математики исполь­зовать понятие мира. Поэтому окончательное прояснение пока еще невозможно.

ГЁДЕЛЬ: Согласно формалистской точке зрения, к ос­мысленным предложениям математики добавляются трансфинитные (псевдо-) высказывания, которые сами по себе не имеют смысла, а служат только для того, чтобы сделать систему завершенной, также как в геометрии при­ходят к завершенной системе посредством введения беско­нечно удаленных точек. Эта точка зрения предполагает, что, если добавить к системе осмысленных предложений S систему трансфинитных предложений и аксиом Г, а затем предложение из S доказать окольным путем через предло­жения из T’ то это предложение будет также содержатель­но правильным, или, что при добавлении трансфинитных аксиом никакие содержательно ложные предложения не станут доказуемыми. Это требование обычно заменяют на непротиворечивость. Я хотел бы только отметить, что эти два требования ни в коем случае не могут считаться безо­говорочно эквивалентными. Ибо если в непротиворечивой формальной системе A (например, классической математи­ки) осмысленное предложение p является доказуемым с помощью трансфинитных аксиом, то из непротиворечиво­сти A следует только то, что в рамках системы A не может быть формально доказано не-р. Тем не менее, вполне мож­но себе представить, что не-р может быть обосновано по­средством некоторых содержательных (интуиционистских) рассуждений, которые не могут быть формально представ­лены в системе А. B этом случае, несмотря на непротиво­речивость системы A, в A было бы доказуемо предложение, ложность которого может быть обоснована посредством финитных рассуждений. Впрочем, нечто подобное не мо­жет иметь места, если понятие «осмысленное предложе­ние» формулировать достаточно узко (например, ограни­читься областью финитных уравнений). Наоборот, вполне возможной была бы, например, ситуация, в которой можно доказать при помощи трансфинитных средств классиче­ской математики предложение вида (Ex) F(x), где F есть финитное свойство натуральных чисел (такую форму име­ет, например, отрицание теоремы Гольдбаха), а с другой стороны через содержательные рассуждения можно обос­новать, что все числа имеют свойство не-F, и, на что я как раз и хотел обратить внимание, это возможно даже тогда, когда доказана непротиворечивость формальной системы классической математики. Ибо ни о какой формальной системе нельзя с уверенностью утверждать, что в ней пред­ставимы все содержательные рассуждения.

фон НЕИМАН: Это не означает, что все интуициони­стски допустимые способы рассуждений могут быть вос­произведены формалистски.

ГЁДЕЛЬ: Можно даже (при условии непротиворечиво­сти классической математики) привести примеры предло­жений (а именно, таких как теорема Гольдбаха или теорема Ферма), которые хотя и являются содержательно правиль­ными, но недоказуемы в формальной системе классической математики. Поэтому, если добавить к аксиомам классиче­ской математики отрицание такого предложения, то полу­чится непротиворечивая система, в которой содержательно ложное предложение является доказуемым.

РЕЙДЕМАЙСТЕР: Я хотел бы завершить дискуссию несколькими замечаниями, которые не несут ничего ново­го, а скорее призваны выделить из этой дискуссии лишь три пункта, которые предстали как особо важные для про­яснения трех основных позиций и их взаимоотношений:

1. Какую роль в системе Рассела играет аксиома своди­мости? Обмен мнениями между фон Нейманом и Ганом показал, что здесь мы имеем один совершенно конкретный вопрос, который затрагивает фактический материал этой полностью разработанной логической теории. B немецкой литературе этот вопрос разработан недостаточно ясно. Я могу сообщить, что доклад на эту тему запланирован на ближайшее время. Bce это распространяется также и на так называемый тезис экстенсиональности.

2. Как соотносится интерпретация, которую Ган дал системе Рассела, с формалистской интерпретацией этой же системы? Формалисты также утверждают, что то содержа­тельное истолкование, которое Рассел дал своей системе, вовсе необязательно связано с этой системой, напротив, они разделяют формальную систему и ее значение. Каким образом, однако, с логической точки зрения, может быть образовано основное вспомогательное средство этого но­вого истолкования, а именно, понятие высказывания, су­щественным образом лишенное значения? Как может быть лишенное значения высказывание понятно для тех, кто не занимает чисто интуиционистскую точку зрения, в соот­ветствие с которой логика является частью комбинаторики, а предложения могут быть образованы из знаков?

3. Что представляет собой значение высказывания в ин­туиционистском и логицистском смысле? Я опираюсь на одно замечание Карнапа, высказанное им в ходе дискус­сии, о том, что вполне возможно, что на основании доказа­тельства непротиворечивости, удастся найти способ при­дания значение формалистской системе. Какой смысл име­ет здесь «значение»? Bo всяком случае, не то, что понимает под значением интуиционист. Наиболее серьезная проти­воположность между обоими лагерями как раз и состоит в том, что слово «значение» трактуется столь по-разному. Это не всегда достаточно ясно признается представителями логистики, и таким образом важной задачей является про­ведение четких границ между этими совершенно разными трактовками понятия «значение».

ПРИЛОЖЕНИЕ

Редакторы журнала «Erkenntnis» попросили меня дать резю­ме результатов моей статьи «ОЬег formal unentscheidbare Satze der uPrincipia Mathematica” und verwandter Systeme», опубликованной недавно в журнале «Monatsh. f. Math. u. Phys.», Bd. XXXVIII, ко­торые еще не были представлены на Кёнигсбергской конферен­ции. B этой работе речь идет о проблеме двоякого рода, а именно 1. о вопросе полноты (дефинитной разрешимости) формальных математических систем, 2. о вопросе доказательства непротиво­речивости для таких систем. Формальная система называется полной, если каждое выразимое в ее символах предложение яв­ляется формально разрешимым на основе аксиом, т.е. если для каждого такого предложения A существует построенная по пра­вилам логического исчисления конечная цепочка вывода, кото­рая начинается какой-либо аксиомой и заканчивается предложе­нием A или предложением не-А. Система S называется полной относительно определенного класса предложений K, если, по меньшей мере, каждое предложение из K является разрешимым на основе аксиом системы S. B вышеупомянутой работе показа­но, что не существует системы с конечным набором аксиом, ко­торая была бы полна лишь относительно арифметических пред­ложений.[9] Под «арифметическими предложениями» здесь пони­маются такие предложения, в которые не входят никакие другие понятия кроме +, \ = (сложение, умножение, равенство и т.д. применяемые к натуральным числам), далее логические связки исчисления высказывания и, наконец, знаки общности и сущест­вования, но применяемые лишь к переменным, область пробега которых составляют натуральные числа (поэтому в арифметиче­ские предложения вообще не входят никакие другие переменные, кроме переменных для натуральных чисел). Даже для систем, ко­торые имеют бесконечное число аксиом, всегда существуют не­разрешимые арифметические предложения, если только «акси- омные правила» удовлетворяют определенным (очень общим) предпосылкам. B частности, из сказанного следует, что во всех известных системах математики - например, «Ргіпс. Math.» (вместе с аксиомами сводимости, выбора и бесконечности), ак­сиоматических системах теории множеств Цермело-Френкеля и ф. Неймана, формальных системах школы Гильберта - сущест­вуют неразрешимые арифметические предложения. Касательно результатов о доказательствах непротиворечивости, следует, прежде всего, принять во внимание, что здесь речь идет о непро­тиворечивости в формальном (гильбертовском) смысле, т.е. не­противоречивость понимается как чисто комбинаторное свойство определенных знаковых систем и выполняющихся для них «пра­вил игры». Комбинаторные факты можно, однако, выразить в символах математических систем (например, «Ргіпс. Math.»). Поэтому высказывание, что определенная формальная система

S является непротиворечивой, зачастую само оказывается выра­зимым в символах этой системы (в частности, это выполняется для всех вышеназванных систем). Что мы теперь показываем, так это следующее: для всех формальных систем, для которых выше утверждалось существование неразрешимых арифметических предложений, высказывание о непротиворечивости соответст­вующей системы принадлежит, в частности, к предложениям, ко­торые в этой системе являются неразрешимыми. Иными словами, доказательство непротиворечивости для этой системы S можно осуществить только с помощью таких способов рассуждений, которые не формализованы в самой системе S. Итак, для систе­мы, в которой формализованы все финитные (т.е. интуиционист­ски безупречные) формы доказательств, финитное доказательст­во непротиворечивости, которое ищут формалисты, вообще не­возможно. Впрочем, остается сомнительным, является ли столь всеобъемлющей какая-нибудь из до сих пор построенных систем, например «Ргіпс. Math.» (или же, существует ли такая всеобъем­лющая система вообще).

Kypm Гёдель, Вена