СТРУКТУРА ДИАЛЕКТИЧЕСКОГО МЕТОДА В МАРКСОВОМ АНАЛИЗЕ ОТКРЫТИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Между тем особенный интерес к исследованиям К. Маркса по алгебре и дифференциальному исчислению, объясняется, с философской точки зрения, тем, что здесь мы можем обнаружить не просто отдельные элементы диалектического метода в действии, но приложение к математике целостного диалектического воззрения, которое к тому же применяется не стихийно, но вполне осоз-нанно. Рукописи К. Маркса дают возможность проследить, как работают такие фундаментальные понятия диалектики, как движение и самодвижение, законы отрицания отрицания и перехода количественных изменений в качественные, понятия конечного и бесконечного, закона, взаимопереход теории и практики, обращение логического и исторического методов и т. д. Все эти понятия, законы, принципы диалектики связываются в единую целостную картину, определяемую отчасти осо-бенностями диалектического мышления, отчасти приро-дой рассматриваемого предмета.

Прежде чем проанализировать названные элементы диалектики, изложим вкратце основные способы дифференцирования, вокруг которых вращаются исследования Маркса.

Этих способов он выделяет четыре: способ Ньютона — Лейбница, Даламбера, Лагранжа и свой собственный.

Способы Ньютона и Лейбница совпадают по сущест-ву и различаются только по обозначению. Учитывая удобство и общепринятость лейбницевских обозначений, продифференцируем функцию у = х2. Лейбниц х увеличи-вает на «бесконечно малую» dx, в соответствии с чем и зависимая переменная у увеличивается на dy. Получает* ся y+dy= (x-\-dx)2=x2+2xdx+ (dx2). Вычитая из обеих сторон первоначальную функцию, получаем приращение dy = 2xdx-\-(dx2). С правой стороны второе слагаемое — бесконечно малая второго порядка, она, согласно Лейбницу (и Ньютону), исчезает, по сравнению с бесконечно малым в первой степени; поэтому названные математики отбрасывают ее и получают dy = 2xdx. Это и есть диф-

ференциал данной функции от х. Если разделить обе стороны на dx, получим производную dyjdx = 2х.

Известно, сколько споров вызвало глубоко противо-речивое понятие «бесконечно-малая величина». После-дующие математики старались устранить его мистичес-кий характер и заменить более рациональным. В качест-ве такого «рационального дифференциального исчисле-ния» К. Маркс выделяет способ Даламбера. Даламбер в ньютоно-лейбницевский способ дифференцирования вносит «фундаментальную поправку» (Маркс), именно, он заменяет dy и dx конечными приращениями — Ау и Дх. Тогда дифференциальный процесс совершается так:

у = х\ у + Ау = (х + Ал:)2; у + Ау = х2 + 2хАх + (Дл:)2; Ау = 2хАх+(Ах)2\ Ау/Ах = 2х + А

Если АХ = 0, ТО 0/0, или dyldx=2x.

Лагранж заметил, что производная в обоих этих спо-собах дифференцирования получается путем разложе-ния бинома, в данном случае (x + dx)2, или \х + Ах)2. В разложении этого бинома производная сразу имеется во втором члене разложения (в 2хАх, или 2 xdx)9 и весь дальнейший процесс направлен на то, чтобы освободить уже готовую производную. «Весь дальнейший ход диф-ференцирования,— пишет К. Маркс, — как в 1), так и в 2) способах есть, следовательно, роскошь. Отбросим поэтому в сторону этот бесполезный балласт» (с.

129

9 - 6-37

К. Маркс, вначале вполне согласный с лагранжевым способом, позже отказался от него, ибо при таком под-ходе исчезла специфика дифференциального исчисления и употребление символов dy и т. д. стало «делом номен-клатуры», простого обозначения. Эти символы превратились в пустые знаки без реального содержания. Он пред-ложил способ, в котором дифференциальные символы

выводятся из алгебраического процесса и в то же время сохраняется отличие алгебры от анализа. Суть его спо-соба такова: пусть имеем функцию у = х2 (1). Возросшее х обозначим через хи а у — соответственно через у\\ Уi = *i2 (И). Берем, по методу К. Маркса, разность нара-щенной и первоначальной функций:

Ух — У = х\ — х2=(х1 — х) (х{ + х). (III)

Делим обе стороны на (х{—х):

(у1-у)/(х1-х)=х1 + х. (IV)

Полагаем xi = xy откуда Xi—х=0 и ух—у = 0, тогда 0/0, или dy/dx= {х+х) =2х.

Таковы технические различия способов дифференци-рования. Перейдем к их анализу.

Очевидно, что весь процесс основывается на том, что первоначальная функция возрастает на некоторую величину, изменяется. Поэтому Маркс говорит: «Все сводится к тому, как выражено возрастание х» (с. 219).

Так как в дифференциальном исчислении речь идет о переменных величинах, это дает возможность приме-нить к ним философское понятие изменения и вскрыть недостатки его трактовки в предшествующем научном развитии.

Согласно Марксу, изменение, или возрастание, величины, а стало быть ее разность, может быть выражена двояко: положительно и отрицательно. Так, у Даламбе- ра исходная величина есть, скажем, х, а возросшая — у Лейбница, соответственно, х и x-\-dx. С другой стороны, у Маркса исходная величина JC, измененная, воз-росшая Х\. Поэтому само возрастание имеет отрицательную форму: Х\—х. «Разность, следовательно, может быть выражена двояко: непосредственно, как разность между возросшей переменной и ее состоянием до возрастания,— и это есть ее отрицательное выражение — и положитель-но, как приращение, как результат: как приращение х к тому ее состоянию, когда она еще не возросла,— и это есть положительное выражение» (с.

Принципиальное различие названных форм состоит в том, что в отрицательной форме «Х\ есть сама возрос-шая JK, ее рост от нее не отделен; Х\ есть совершенно неопределенная форма ее возрастания; эта форма отличает возросшую х, т. е. Jti, от ее первоначальной формы до возрастания, от х, но она не отличает х от ее приращения, как такового. В силу этого, отношение между Х\ и х может быть выражено лишь отрицательно, как разность, как Х\—х». В противоположность этому в Х\=х-\-Ах разность выражена положительно, как сумма.

Маркс развивает мысль, что в отрицательной форме возрастание есть изменение самой ху т. е. самовозраста-ние, самоизменение. «Здесь возросшая х, т. е. х\9 отличается от самой себя, какой она была до возрастания, т. е. от х, но ХІ не выступает как х, возросшая на Ах; поэтому ХІ остается на самом деле столь же неопределенной, как х» (с. 159).

А диалектика и стремится постичь и описать самодви-жение вещей, величин и т. п. Этого нет в положительной форме. В самом деле, если Х\ есть сама возросшая х> то, если Хі=х+Ах, х осталась неизменной, а ее изменение присоединено к ней извне в виде АЛ:. Маркс образно вы-ражает это так: «Хотя в х+Ах Ах по величине является столь же неопределенной, как и сама неопределенная переменная х, тем не менее Д* определена как отличная от х особая величина, как плод рядом с матерью до того, как та забеременела» (с. 159). Приращение не раз-вито из исходной величины, что получается, если рас-сматривать АЛ: как результат разности (х\—х)=Ах.

На философском языке это означает, что в первом случае возрастание величины выражено диалектически, во втором — механистически. Эта противоположность в самом исходном пункте ведет к дальнейшим существен-ным различиям.

9*

131Если возрастание выражено как сумма, то исходная величина становится биномом (в нашем примере (л;+ +Дх)2) и производная находится путем его алгебраиче-ского разложения, т.

путем применения теоремы о биноме, т. е. умножения, и притом потому, что наращенная х\ с самого начала сама фигурирует как бином, как (х + Дл;)» (с. 159). Именно применение биномиальной формы разложения привело Лагранжа к мысли о том, что само дифференцирование есть балласт и сводится к обозначению коэффициентов в разложении бинома.

Таким образом, намечается, что именно форма само-возрастания, отрицательная форма движения величины существенна для специфики дифференцирования.

Но с формой бинома связано и дальнейшее.

Если разложить наш бином (х + Ах)2, то получим х2 + 2хАх + (Ал:)2. После нескольких операций мы получим производную dy/dx = 2x. Но 2х уже есть в указанном разложении бинома. В чем же, в таком случае, смысл дальнейших операций? В том, чтобы освободить уже готовую производную от ее окружения (Дх) и ее соседа (Д*)2. Это обстоятельство имеет место равным образом у Ньютона — Лейбница и Даламбера.

Однако этого нет у К. Маркса. Соответствующий да- ламберовскому этап дифференцирования по способу К. Маркса, как мы видели, таков: у\—у= (х{—х) (х\+х). У Даламбера: Ау = 2хАх-\- (А*)2. В первом случае производной 2х еще совсем нет, во втором — она уже налицо. И, как сказано, здесь все дальнейшее движение есть ос-вобождение ее от побочных элементов.

К. Маркс обсуждает это различие многократно, все снова и снова к нему возвращается. «В то время, — пишет он, — как прежде заменою х в первоначальной функции на (х+Ах) производная доставлялась биномом в совершенно готовом виде, хотя и наделенная множителем Ах и выступающая предводителем других членов в х с множителями Ах2 и т. д., теперь из непосредственной формы одночлена xzu наращенной х, столь же мало можно* что-нибудь непосредственно вывести, как и из хЪ (с.

В другом месте мы видим конкретизацию диалектической идеи К. Маркса о развитии производной: «Вся задача состоит теперь в том, чтобы высвободить не какую-то существующую лишь в зародыше, а совершенно готовую fl(x) от ее множителя h и других ее соседних членов» (с. 221. Ср. с. 223, 227, 233). Развитие из заро-дыша он противопоставляет неизменности производной в способах своих предшественников.

Обобщенно данную идею Маркс формулирует в положении: «Таким образом, это метод не развития, а высвобождения» (с. 187). К. Маркс же старается, как мы видим, провести в понимании производной диалектический метод развития.

"Помимо сказанного, развитие производной происходит по ступеням. К. Маркс выделяет в нем две ступени: предварительную, или подготовительную, и окончательную. На первой производная находится в процессе становления, на второй — она возникла. Он пишет: «Когда y = f(x)1 причем на правой стороне уравнения находится функция х в ее развернутом алгебраическом выражении, то мы называем это выражение первоначальной функцией от ху его первую модификацию, полученную путем полагания разности, — предварительнсй «производной» функцией ху а окончательный вид, который оно принимает в результате дифференциального процесса, — «про-изводной» функцией от х» (с. 33). Сравнивая свой спо-соб дифференцирования с даламберовским и подчерки-вая, что в последнем производная дана сразу в готовом виде, Маркс пишет, что у него «напротив, сначала получается некоторая предварительная производная делением обеих сторон на Х\—x( = h). Наконец, положительное полагание xi=x дает нам окончательную производную» (с. 225). Если взять наш пример, то предварительная производная получается из уравнения У\—У= (Х\—Х) (xi + x) делением, о котором пишет Маркс: (у\—у)1 (x\—x)=xi + x, а окончательная — полаганием х\ = х: OIO = 2x=dy/dx.

Этим К. Маркс подчеркивает диалектический развивающийся характер производной, ее процессуальность.

Все до сих пор рассмотренное движение и развитие совершило некоторый круг. В самом деле, дифференцирование началось с полагания разности Х\—x=h, а теперь эта разность снята. Иначе говоря, первоначальная функция претерпела изменение, подверглась отрицанию, а теперь это отрицание снято. Понятие отрицания здесь особенно уместно, ибо речь идет именно об изменении функции, о ее модификациях.

Замечательно поэтому, что К. Маркс в диалектическом законе усматривает, в данном пункте, тайну диффе-ренциального исчисления. С. А. Яновская в предисловии к «Математическим рукописям» справедливо писала: «Подлинная тайна дифференциального исчисления состоит, по Марксу, в том, что для определения значения производной функции в точке х (в которой производная существует) нужно не только выйти в окрестность этой точки, в отличную от х точку хи и образовать отношение разностей f (х\)—f(x) и Х\—х, т. е. выражение (f(x\) — —f(x))l(x і—х)> н0 и вернуться затем обратно в ту же точку х\ однако вернуться не непосредственно, а*некоторым особым образом, связанным с конкретным определением функции f(x), поскольку простое полагание х\=х в выражении (f(xі)—f(x))/(xі—х) обращает его в (f(x)— —f(x))/(x—x)y т. е. в 0/0, иначе говоря, в бессмыслицу» (с. 13).

К. Маркс иллюстрирует эту идею на примере функции у = ах. Если х возрастает до хи то У\=ахи и У\—у= = а (х\—х). Если теперь произвести дифференциальную операцию, т. е. дать Х\ уменьшиться до ху то Х\—x=0 и а(х!—х) = а-0 = 0. С другой стороны, так как у возросло до у і вследствие увеличения ху то результатом равенства х\=х будет равенство уі=у, откуда у\—у = а(хі—х) и превратится в 0 = 0.

К. Маркс заключает: «Сначала полагание разности, а затем обратное ее снятие приводят, таким образом, буквально к ничему. Вся трудность в понимании дифференциальной операции (как и в понимании отрицания отрицания вообще) заключается именно в том, чтобы уви- деть, чем она отличается от такой простой процедуры и как ведет поэтому к действительным результатам» (с. 29).

Оставляя в стороне закон «отрицания отрицания вообще», рассмотрим его действие в процессе дифференци-рования и выясним, в чем здесь трудность его понимания. Это особенно интересно тем, что здесь совершенно наглядно, правда, на конкретной математической операции, а не вообще, видно действие данного закона.

Согласно исследованиям К. Маркса, нужно различать простое, или непосредственное, и опосредованное отрицание. Пример простого мы только что видели. Опосре-дование вообще состоит в том, что между звеном а и с находится среднее звено в. Применительно к данному случаю это означает, что после первоначального пола- гания разности Х\—x=h и до ее снятия (х\ = х) диффе-ренцируемая функция должна претерпеть некоторые из-менения. Каковы они?

Рассуждая общим образом, безотносительно к конкретной функции, можно заметить основной характер их. А именно: так как в функцию после начала дифференцирования входит разность, то функция имеет вид у\— = Р(хі—х) (она не может быть вида Р+(х\—х), так как в таком случае возрастание аргумента относилось бы только к некоторой части функции, что исключается характером дифференцирования, которое изменяет всю функцию). Следовательно, если ПОЛОЖИТЬ Х\=Х, мы получим то, что утверждал Маркс: 0 = 0. Значит, чтобы этого не случилось, нужно удалить Х\—х. Очевидно, это можно сделать делением: (у\—у)!{х\—х) = Р. Теперь снятие разности дает 0/0, или dy/dx=P. Маркс об этом пишет: «Полагание Л (т. е. Х\—х)=0 недопустимо прежде, чем первая производная функция от х} в данном случае 2х, не будет путем деления освобождена от множителя Л» (с. 151. Подчеркнуто мной. — М. Б.).

Может, однако, случиться, что при разложении определенных функций на правой стороне сохраняется отношение Х\—х. Так, при выводе производной от у=ах мы получаем

{yx-y)!{xv-x) = a^{a-\) + + iXi~i*l~l

Полагание х\=х дает

0/0 = dy/dx = а* {(,а — 1) - 1/2 (а — I)2 + 1/3 (а- I)9—

Получился, как видно, положительный результат. Но чтобы это имело место, эти Х\—х, остающиеся еще на правой стороне, «не могут быть связаны с другими элементами выражения Р как множители (как мультипликаторы)» (с. 163). Если же у\— у = Р(х\— х), то 0=0, т. е. ничто.

Наконец, если х и Х\ образуют мультипликаторы, то они могут «сочетаться в них только в положительных выражениях, каковы х\+х9 ххху х\\х, ^ххх и т. д.» (1968, с. 163).

Таким образом, значения аргументов должны входить в положительные комбинации или они не должны быть множителями. В целом, положенная разность (отрицание) должна быть так или иначе удалена, чтобы получился положительный результат.

Повторяем, что анализ К. Маркса интересен тем, что в нем совершенно наглядно показана необходимость тех действий, которые делают отрицание не формальным, а содержательным принципом. Это в значительной мере объясняется точностью математических операций. В не-математических науках и примерах увидеть это не так просто, а потому исследование опосредующих механизмов в отрицании отрицания — еще большая работа.

Если полагание разности есть изменение первоначальной функции на конечную величину, то обратное снятие ее создает движение в Х\—x=h, в котором h становится «бесконечно малой» и в конце концов исчезает как величина, как некоторое количество. С этой стороны и на этом этапе процесс дифференцирования выступает как изменение количества, или количественное изменение, которое, согласно известному закону диалектики, должно перейти в изменение качественное. Количество должно перейти в качество.

Однако прежде чем это случится, само количество должно достичь предела своих изменений. Понятие предела, таким образом, оказываемся тесно связанным с данным законом диалектики.

Но что означает этот предел? Мы пока оставим математику в стороне и займемся законом в чистом виде. Количество, о котором в нем трактуется, может выступать в двух видах: как связанное с качеством и как абстрагированное от него. Примерами первого может быть количественное изменение какой-либо конкретной вещи или состояния: нагревание воды, увеличение или уменьшение ручки, стола и т. д. Скажем, ручка может увеличиваться или уменьшаться как этот качественно определенный предмет, пока она может выполнять свою функцию орудия письма (ибо в этом состоит ее качество). Ясно поэтому, что она не может изменяться неограниченно, не теряя своей определенности. Так же воду нельзя нагревать «до бесконечности» — при 100° С она переходит в пар, а несколько выше — физически разлагается; 100° С предел ее жидкого состояния и т. п. Определенное (конечное) количество, при котором происходит изменение качества, основывается на природе самого качества, т. е. перерыв количественного движения совершается потому, что количество связано в конк-ретных вещах с качеством.

Иначе обстоит дело, если от качества отвлечься. Если взять пример «чисто» количественного движения, скажем, натуральный ряд чисел, то, сколько бы мы ни двигались в этом ряду, он не перестанет быть натуральным рядом, не потеряет своей определенности. По сравнению с предыдущим случаем, здесь «нет предела» для количественного изменения. Точнее говоря, так как здесь ничего кроме количества нет, то пределом может быть только исчерпывание самого количества и количественного отношения; так, если взять отношение приращений аргумента И функции (У\— у)/(Х\— х)у то пределом изменения и числителя, и знаменателя будет 0.

В специальном фрагменте «О неоднозначности понятий «предел» и «предельное значение»» Маркс настаивает на том, что предел есть такое значение, к которому функция приближается как угодно близко, не достигая его однако. Так, в «предварительной производной» (г/і—у)/(хі—х) = 3х2+3xh + h2 пределом правого выраже-ния будет ЗА:2, когда h стремится к нулю. Но если h = 0, то функция перестает отличаться от ее предела и гово-рить о последнем здесь было бы, согласно Марксу, «пошлой тавтологией» (с. 217).

Это не значит, что h не становится равным нулю; наоборот, для получения «окончательной производной» в строгом смысле слова 0. Однако в этом случае его нельзя называть пределом, ибо изменявшаяся функция (У\—У)1(х\—x» = Ay/h сама исчезла в своем пределе (с. 217, подчеркнуто мной.— М. Б.). Вместо отношения конечных разностей (определенных количеств) выступает отношение 0/0, в котором количество исчезло. Предваряя последующее изложение, скажем, что, согласно Марксу, отношение нулей есть качественное отношение. Сейчас же, учитывая это, отметим, что все количественное изменение совершается в известных «границах»: верх-няя «граница» — величина возрастания аргумента (Xi—Л:) И функции (у\—У), а нижняя — 0. Это, так сказать, дистанция от количества к качеству. В алгебраических функциях эта величина неопределенна: нельзя сказать, чему, в общем случае, равно А у или Дл;. Эту не-определенную величину между наращенными функцией и аргументом и нулем Маркс называет «мерой измене-ния». Он пишет: «В числителе у нас разность между функциями от х, в знаменателе —разность между пер-воначальной и наращенной величинами самой перемен-ной величины х; в знаменателе — мера изменения х, в числителе — мера изменения его функции» (с. 289).

Это определение меры согласуется с общеупотреби-тельным (мера есть единство количества и качества), потому что названная разность показывает, в каких пре-делах (границах) должно измениться количество, чтобы оно перешло в качество и тем самым обнаружило свое единство с последним.

Здесь важны два момента. Во-первых, данное единство есть некоторое движение, изменение, о котором и идет речь в диалектике; во-вторых, то, что для превращения количества в качество первое должно достичь некоторого предела, здесь равного нулю. Этим обозначается место категории предела в диалектике исследуемых категорий. Определенное, конечное количество имеет тенденцию своего изменения в направлении предела, что подготав-ливает переход его в качество. Сам переход совершает-ся, когда оно становится равным нулю. Предел есть ис- чезание количества и выступление качества.

Понятие предела имеет большое значение не только в математике, но и в философии. Дифференциальное ис-числение занимается изучением переменного количества независимо от конкретной природы тех или иных предметов, т. е. чистым количественным движением. Но имен- но о последнем идет речь и в теоретическом описании диалектического закона перехода количественных изменений в качественные. Поэтому здесь математическое исследование его буквально срастается с философским. Этим объясняется то, что Маркс в своем анализе диффе-ренциального исчисления сознательно и плодотворно использует данный закон диалектики.

Неслучайно поэтому и Гегель, изучая в «Науке логики» «количественный бесконечный прогресс», т. е. ко-личественное изменение, в обширном исследовании выясняет природу дифференциального исчисления, в особенности понятия количественного отношения, дифференциального коэффициента dy/dx и т. д.

Изучение этих понятий есть не просто один из «при-меров диалектики», но органически входит в последнюю как ее собственный предмет.

Мимоходом можно заметить, что в современных ис-следованиях по диалектике именно переход количества в качество, его механизм далеко еще не выяснен. Пред-ставляется, что немалое значение может для этого иметь именно исследование математического анализа Марксом и Гегелем .

Понятию предела, в котором количество исчезает, Маркс придает решающее значение в истолковании процесса дифференцирования (это же, добавим от себя, имеет большое значение и для понимания диалектики коли-чества и качества вообще). Он много раз возвращается к обсуждению этого вопроса. Вызвано это его борьбой с «мистическим дифференциальным исчислением». Дело в том, что в способе Ньютона — Лейбница дифференциальные частицы dy и dx рассматривались как некоторые величины, именно «бесконечно малые величины». Это понятие было противоречивым, так как оно обозначало некоторые количества, хоть и малые. Ведь когда, скажем, в функции х2 х получает приращение dx, то интуитивно предполагается, что оно не равно нулю; иначе х2=(х + + dx)2= (х + 0)2 = х2 и мы не сдвинулись с места. Когда в разложении бинома x2-\-2xdx+(dx)2 последний член отбрасывается, то производная получается совершенно точная, а это возможно только если dx = 0 и dy = 0. Да это и ясно: ведь «бесконечная малость» есть нуль.

Таким образом, это понятие соединяет в себе взаимо-исключающие признаки, что и заставило Маркса выяс-нить его природу.

Мы видели в способе дифференцирования Маркса, который он называет алгебраическим, что для получения производной нужно ПОЛОЖИТЬ Х\—Х = 0 и У\—У = 0.

В связи с этим Маркс отмечает два обстоятельства, первое из которых гласит: «Для получения «производной» необходимо положить х\=х, стало быть, в строгом математическом смысле хх—х = 0 без всяких уверток насчет лишь бесконечного приближения» (с. 35).

В другом месте он пишет, что «члены, которые образуют отношение, являются исчезающими и что они дейст-вительно исчезли или обратились в 0/0, как только мы получили 2ах» (с. 333). Речь идет о дифференцировании функции у=ах2.

Для Маркса это обращение приращения в нуль — непреложный факт, и он считает, что этот факт лишь по видимости обходят посредством того, что на нем не за-держиваются. Видимости он противополагает сущность. «Нужно, следовательно, раскрыть сущность, — резюмирует К. Маркс, — секрет, который содержится в скрытом виде в примененном нами методе» (с. 457', 465).

Необходимо отметить здесь, что, как известно, видимость и сущность не только противоположны, но и находятся в единстве. В. И. Ленин в конспекте «Науки логики» Гегеля, касаясь положения немецкого философа, что «кажимость (видимость) есть сама сущность в определенности бытия», пишет: «Кажущееся есть сущность в одном ее определении, в одной из ее сторон, в одном из ее моментов. Сущность кажется тем-то» (т. 29, с. 119).

Применительно к данному случаю это означает: dy и dx кажутся не равными нулю, потому что само диф-ференцирование, сущность его требует прежде всего первоначальную функцию нарастить. Здесь эта видимость неравенства нулю вытекает из сущности математического анализа. Но характерно то, что дифференциальные частицы от начала их принятия, введения в виде суммы x+dx и y + dy, и до получения производной не переживают никакой истории, остаются неизменными: dx или dy в производной — отношение dy/dx имеют тот же ха- рактер, что и вначале. Между тем дифференциальный процесс состоит как раз в том, что, как показывает К. Маркс, сначала dx и dy — конечные величины, а в результате они нули, «без всяких уверток насчет лишь бесконечного приближения». В способе Ньютона — Лейбница этого превращения нет. Неизменность названных частиц на протяжении всего процесса означает, что эти математики трактуют их метафизически, между тем как Маркс старается сознательно вскрыть диалектику. Так как получить производную без обращения в нуль первоначальных приращений нельзя, а между тем в метафизической трактовке приращения остаются неизменными, приходится удалять их исходя из метафизических, а не математических соображений, т. е. так же как они вводились, ибо, как показал К- Маркс, символы не были выведены строго математическим путем.

Основное метафизическое соображение, которое приводится в оправдание отбрасывания, состоит в относительности понятия бесконечно малого. К. Маркс пишет: «Но самым удивительным является рассуждение, посредством которого этот член насильственно отбрасывается именно в силу того, что используется относительность понятия бесконечно малого; dxdx отбрасывается потому, что он бесконечно мал по сравнению с dx, а следовательно, и с 2xdx...» (с. 153).

Как бы мал ни был этот член, естественно кажется, что полученная производная, в силу такого отбрасывания, будет приближенной. Естественно потому, что, как мы сказали, неравенство нулю этого члена вытекает из конечности dx и dy. Между тем оказывается, что такая производная совершенно точная. Значит, предположение, что dx и т. д. не равны нулю, вступает в противоречие с сущностью дифференцирования.

Поэтому в целом картина выглядит так:

Видимость, что dx-^=0, вытекает из сущности математического анализа — из необходимости, чтобы в выражении x + dx второй член не равнялся нулю.

Но это только одна сторона процесса дифференцирования, — вторая, и не менее важная, состоит в полага- нии этого приращения равным нулю. Этот второй момент не учитывается в метафизической трактовке производной, так как дифференциальные частицы на протяжении всего процесса остаются неизменными. Поэтому видимость, что (1хф0 вступает в про- тиворечние с сущностью, что dx должно стать равным нулю.

Противоречие должно быть разрешено — иначе не получится производной. Это противоречие выражено в самом символе dx: с ним поступают и как с нулем, и как с величиной,отличной от нуля.

Разрешается противоречие отбрасыванием «бес-конечно малых высших порядков». Отбрасывание это насильственное, т. е. оно не выводится, не развивается диалектически и математически из хода дифференцирования, а исходит из внешних, метафизических рассуждений.

Кажется, что этот неточный метод делает неточным и результат. Но эта кажимость тоже противоречит сущности, ибо результат оказывается совершенно точным. Значит, по видимости неточное действие вытекает из сущности (видимость выражает сущность), ибо последняя требует положить dx = 0; но так как этого не делают (не осознают сущность), то совершают неточное действие, ведущее к точному результату.

Это противоречие и способ его устранения, поскольку они нарушают логику и, несмотря на это, достигают истинных результатов, кажутся чудом, создают види-мость чуда. О нем К. Маркс пишет: «Но это чудо вовсе не чудо. Наоборот, было бы чудом, если бы насильственное отбрасывание хх [обозначение Ньютона для dxdx] не давало бы точного результата. Отбрасывается-то ведь только некоторая ошибка в вычислении, являющаяся, однако, неизбежным следствием метода, позволяющего вводить неопределенное приращение, например А, переменной сразу же как дифференциал dx или х, как готовый оперативный символ...» (с. 153).

Можно сказать, что снятие видимости, о которой говорит К. Маркс, возможно только через погружение в сущность дифференциального исчисления, а так как оно оперирует символами dx, dy, то надо объяснить их про-исхождение. Но об этом речь будет дальше.

Сейчас мы видим, что если по величине названные символы не полагаются равными нулю в конце процес-са дифференцирования, то возникает противоречие ви-димости и сущности.

Обращение же их в нули — предел их количественного изменения. Маркс использует тут понятие грани- 142 цы. Так, он пишет что «переменная х{ убывает, пока не достигнет границы своего убывания, т. е. пока не станет равной х» (с. 35), отчего приращение Х\—х станет равным нулю.

Итак, количественное изменение достигает своей гра-ницы. Каково то качество, в которое оно переходит?

В функции можно выделить три элемента. Во-первых, неопределенные количества, скажем х и у, а также определенные — числа натурального ряда—1, 2 и т. д. Например, в функции у = х2 наличны неопределенные количества х и у, а также определенное — число 2. Во-вторых, операции, которые связывают эти количества. Ими являются различные алгебраические действия — сложение, вычитание, деление, умножение, извлечение корня — и комбинации этих действий. В функции у= (x2+z2)l(х2—z2) представлены все указанные действия. Наконец, в-третьих, функциональная зависимость, согласно которой одни величины являются независимыми переменными, другие — зависимыми. Первые является следствием вторых.

Первый из этих элементов образует количественный момент функции, вторые два — качественный, ибо ни пе-речисленные действия, ни отношение зависимости не являются количествами. Эти-то моменты и выступают наружу, когда совершается предельный переход для получения производной.

Маркс исследовал их специально в фрагментах «О замене символа 0/0 символами dy/clx, d2y/dx2, d3y/dx3 и т. д.» и «О качественном различии выражений вида 0/0 в алгебре и dy/dx в дифференциальном исчислении».

Суть взглядов Маркса на качественную сторону диф-ференцирования состоит в следующем.

Для получения производной нужно положить У\—У = 0. Но это можно сделать только в том случае, если Хі—х становится равным 0, потому что у вообще есть зависимая величина. Ее изменение зависит от изме-нения аргумента. Поэтому в отношении 0/0 = fl(x) нуль в числителе есть результат нуля в знаменателе. Маркс пишет: «Таким образом, даже в исчезновении Ду про-является зависимость функции у от переменной величины х... и заключительное превращение ее в 0, ее окончательное исчезновение, само остается следствием исчезновения Ах — приращения переменной величины х;

вплоть до нулификации сохраняется зависимость функции у от переменной величины х (с. 290). Он подчеркивает далее: «Но в выражении 0/0 это качественное отношение между функцией у и переменной величиной X, функцией которой она является, также исчезло». Мар*с имеет в виду не то, что его нет, а то, что оно не выражено, что в отношении нулей «стерся всякий след качественного различия между числителем и знаменателем» (с. 291). Это ясно из следующего места: «Качественное отношение, существующее, поскольку 0 в числителе есть лишь следствие 0 в знаменателе, ...не выражено» (с. 292).

Важность этих мыслей состоит в том, что в обычной функции, например в у=х2, отношение аргумента к функции, т. е. качественная природа последней, не выражено, у здесь — только обозначение для х2. Качество же функции состоит в отношении между х и х2. В производной функции оно становится специальным предметом исследования. Производная, в нашем случае 2х, и выражает это отношение, качество; причем путь к выявлению его лежит через приращение аргумента и функции. Но для того чтобы выявить качество, закон функциональной связи, нужно обязательно положить приращения равными нулю. Почему именно так? Объясняется это следующим.

Наращиваем х и у и соотносим их приращения, полу-чаем для функции у = х2 Ау/Ах=2х+Ах. Это соотношение вытекает из функции у + Ау=(х+Ах)2 = х2 + 2хАх+ + (Дд:)2. Действительно, поскольку у = х29 то Ау = 2хАх+, + (Дх)2, а поделив обе части на Ах, получаем наше со-отношение.

Однако данная функция (у+Ау) отличается от исходной на Ду и Ах. Поэтому указанное соотношение будет только приблизительно верным для функции у=х2. Абсолютно верным оно станет, если положить Ах=0\ тогда Ау = 0 и 0/0 = 2х. Это и есть точное отношение аргумента и функции в нашем уравнении, тот закон, который связывает переменные х и у. Этот закон находится на правой стороне (у нас он равен 2х) и называется производной, отношение же на левой стороне 0/0 указывает путь, способ получения этого закона или этого качества. Что же касается второго момента, входящего в ка-

чественную определенность функции, то он также представлен в производной: последняя будет иметь различный характер в зависимости от того, в каких комбинациях находится он в функции. К. Маркс отмечает это в словах: «Частное значение как 0/0, так и х зависит каждый раз от тех определенных условий или функции, в которой это 0/0 или х фигурирует, и тех определенных условий, которые ведут к возникновению 0/0 или к изменению х» (с. 292).

Последнее обстоятельство крайне важно. Оно упирается в вопрос: почему в дифференциальном исчислении исследуются именно отношения деления Ау/Ах, а не какие-либо другие [(Ау + Ах), Ду, ДА: И Т. П.]? Выбор деления определяется не самим математическим анализом, а интересом, лежащим за его пределами, именно тем, что дифференциальное исчисление возникло из задач определения касательных к кривым, определения мгновенных скоростей движущихся тел и т. п.

Мыслимо исчисление, в котором изменение незави-симой переменной могло бы принять форму х-Ах, а не х + Ах и т. п.

Итак, в процессе дифференцирования яснейшим образом видно действие закона перехода количественных изменений (тут отношений) в качественные (закон, который К. Маркс сознательно применяет для объяснения сущности исследуемых им математических процессов). Именно, переменные количества в отношении Ду и ДЛ; убывают до тех пор, пока не станут равными нулю, а когда они достигают этой границы (это фиксируется в символе 0/0), на правой стороне появляется производная — закон, или качественное отношение, в скрытом виде существующее в исходной функции.

С этой точки зрения все дифференциальное исчисление есть наука о способах посредством количественных изменений получать, выявлять качественную природу функций. Диалектический закон выступает здесь как определенная форма деятельности, закрепленная в пра-вилах, технике дифференцирования.

Наглядно он представлен в уравнении производной 0/0 = /'(*), в нашем примере—0/0 = 2х.

145

Ю-6-37

На левой стороне здесь положено отрицание коли-честв приращений функции и аргумента, на правой — следствие этого — качественное отношение, закон обра-

зования функции. Знак равенства имеет здесь двоякий смысл: во-первых, чисто алгебраический, ибо данное равенство справедливо при любой производной: всегда 0/0 = /'(*)» ибо 0 =/'(*)• 0 дает 0 = 0; во-вторых, количество полагается равным нулю, т. е. снимается, следствием чего является обнаружение качества. Если обозначить следование стрелкой, то та же формула имеет вид

o/N'W-

Однако прежде чем количество стало нулем, т. е. прежде чем оно снято, подвергнуто отрицанию, оно было положено как неопределенная конечная величина, что выражается отношением Ау/Ах. Последнее предшествует отношению нулей. Итак, сначала полагается разность (отрицание первоначальной величины), затем следует ее снятие (отрицание этого отрицания), наконец следствие снятия — качество. Формально это выглядит так:

f(x)-+Ay/Ax^0/0 или Р(х).

Первые два движения представляют чисто количественное движение — и оно, как мы видели, описывается законом отрицания отрицания, третье — есть переход этого количества в качество. Таким образом, весь процесс (три его ступени) в целом описывается законом пе-рехода количества в качество, а первые две ступени — законом отрицания отрицания. Поэтому логически (и математически) отрицание отрицания в марксовском анализе дифференциального исчисления предшествует переходу количества в качество.

Выявление этого перехода — большая заслуга Маркса. Отмеченный нами двоякий смысл отношения равенства не был вполне ясен до него. Уяснение его требует, помимо математического, философского анализа — применения диалектики категорий качества и количества.

Итак, производная, выражающая качество функции, есть результат процесса дифференцирования. Но в конечной формуле, толкуемой количественно, алгебраически, т. е. в равенстве 0/0 = 2x = f'(x)t этот процесс угас и никак не выражен. В символе 0/0 процесса не видно. А взятый сам по себе, изолированно, он «не есть вообще выражение, имеющее какое-нибудь значение» (с. 217). Здесь результат выступает без процесса, ведущего к не-му. Конечно, цель всего процесса — результат. Однако «не результат есть действительное целое, а результат вместе со своим становлением; ...голый результат есть труп, оставивший позади себя тенденцию» (Гегель, т. 4, с. 2). Таким «трупом» выступает здесь 0/0. Поэтому, чтобы выразить происхождение и смысл отношения ну-лей, т. е. постигнуть его в связи со всем процессом диф-ференцирования, числитель и знаменатель отношения заменяют символами, указывающими, результатом ка-кого процесса они являются. Именно вместо нуля в чис-лителе ставят dy, вместо нуля в знаменателе — dx. «Следовательно, — пишет Маркс, — dy/dx есть не толь-ко символ для 0/0, но одновременно и символ процесса, из которого при данных определенных условиях перво-начального уравнения получилось 0/0, и оно [dy/dx] вы-ражает то, чего не может выразить 0/0, а именно, что превращение Дг/ в 0 проистекает из качественного отношения функции у к переменной величине х и превращение Ду в dy есть поэтому следствие превращения Ддг в dx» (с. 291). И К. Маркс резюмирует: «В отрицании, таким образом, удерживается то качественное отношение, отрицанием которого это превращение является» (с. 291) . Это происходит, если иметь в виду и символически вы-разить процесс. «Наоборот, в 0/0 не указано, что исче-зает, здесь выражена лишь количественная сторона, именно, что исчез числитель, а также и знаменатель, и тем самым исчезает самое отношение» (с. 291—292). Дальше К. Маркс делает важное замечание, что к сим-волу dy/dx нас привело не только исследование процес-са возникновения 0/0, но также и результат, получаю-щийся из первоначального уравнения. Именно, равенст-во dy/dx = f (х) есть указание на то, что производная есть результат всего процесса дифференцирования, а не только на то, что равенство 0/0=/'(*) правильно с ко-личественной точки зрения.

Так происходит превращение символа 0/0, обозначающего результат дифференцирования, в dy/dx, обозначающий его вместе с процессом, тенденцией, ведущей к нему. Благодаря этому удерживается не только количественная, но и качественная природа дифференциального процесса. Совершенно очевидно, что требование брать результат вместе с его становлением есть одно из основных положений диалектики. Поэтому так подробно К. Маркс его проводит в своем анализе.

Названному превращению символов Маркс придавал решающее значение, потому что именно неясность и про-тиворечивость дифференциальных частиц dx и dy, с ко-торых начинался процесс у Ньютона и Лейбница, по-родил эпоху мистического дифференциального исчисления. У них приращение сразу выступает в форме dx, «где dx предполагается с помощью метафизического разъяснения. Сперва существует, а затем разъясняется» (с. 165). В противоположность этому, К. Маркс прослеживает историю рождения символа и таким образом развенчивает его мистический характер, вскрывает тайну дифференциального исчисления. Он применяет здесь свой «метод выведения», согласно которому каждое явление должно быть прослежено в процессе его становления, происхождения.

Способу дифференцирования, примененному Далам- бером, он потому придавал такое большое значение и выделил его в самостоятельную ступень в истории математического анализа, что Даламбер, начав с отправного пункта Ньютона и Лейбница х\ = х + dx, сразу внес «фундаментальную поправку: Х\=Х+АХУ т. е. х — неоп-ределенное, но прежде всего конечное приращение, ко-торое он называет h» (с. 169).

Символ же dx он уже выводит. Превращение h в dx «у него лишь конечный результат развития или по крайней мере его заключительная стадия, тогда как у мистиков и инициаторов исчисления оно является исходным пунктом» (с. 169).

Мистика исчезает и уступает место рациональному познанию вследствие того, что объясняется история предмета, в данном случае дифференциальных частиц. У Даламбера и совершается этот переход, потому что «символ... выведен на этот раз математическим путем» (с. 173), а не вводится из метафизических, т. е. абстрактно-философских, соображений.

Итак, символ выведен. Здесь мы подошли к одному из важнейших пунктов Марксова анализа, который он обозначил термином «обращение метода».

До сих пор все исследование Маркса было направлено на выяснение того, как возникают дифференциальные символы, как получаются формулы дифференцирования, т. е., в общем виде, как возникает дифференциальное исчисление. Метод, применяемый Марксом, если рассматривать его с общефилософской стороны, есть метод выведения.

Но из чего выводится это исчисление? Мы видели, что Марксов метод с математической стороны есть метод алгебраический, ибо ничего, кроме операций алгебры, не применялось вплоть до получения символов ис-числения.

Маркс подчеркивает: «Нужно помнить, что 0/0 = f'(x) было получено чисто алгебраическим путем, без применения дифференциального исчисления, что скорее, наоборот, из алгебраического результата 0/0 = f'(x) было развито символическое дифференциальное выражение dy/dx для 0/0» (с. 297, ср. с. 107).

Таким образом, дифференциальное исчисление, согласно Марксу, выводится, развивается из алгебры. Таблица формул дифференцирования получается таким образом, что берут основные, элементарные функции и путем полагания и снятия приращения получают формулы, выводят технику исчисления. Так, к примеру, для функции у = хп эта формула имеет вид dy/dx = nxn~l. Левую сторону этого уравнения Маркс называет символическим эквивалентом, правую — реальным эквивалентом. Слева — дифференциальный символ, справа — алгебраи-ческое выражение. Движение, в результате которого по-лучается формула, направляется от алгебраических операций к символу. Но если взять функцию y = uz (она основная у Маркса в рассматриваемом отношении), картина резко меняется; ее производная имеет вид:

dy/dx = zdu/dx + udz/dx.

Здесь на правой стороне также появились символы, а реального эквивалента для них нет. Он получается, если вместо и и z подставить определенные функции, скажем, для простоты и = х2 и z=x3. Тогда будет dy/dx = 2х4 + 3х4 = 5х4. Значит, стоящие в правой части уравнения символы лишь указывают способ, посредством которого надо найти еще неизвестные реальные эквиваленты. Здесь, таким образом, движение начинается с символов и от него идет к алгебраическому выражению.

Различие двух названных движений Маркс сводит к трем пунктам.

Во-первых, во втором из них «символические диффе- ренциальные коэффициенты наравне с переменными са-ми в свою очередь становятся содержательным элемен-том вывода, объектами дифференциальных операций» (с. 109). В первом случае такими объектами были пере-менные, например 2х в производной dy/dx=2x.

Во-вторых, «оборачивается постановка вопроса, по-скольку вместо того, чтобы искать символическое выражение для реальных дифференциальных коэффициентов (для /'(*))» ищется реальный дифференциальный коэффициент для его символического выражения». Тут речь идет о том, что сначала мы получаем, скажем, 0/0 = 2х, а потом для реального коэффициента 2х ищем символ 0/0 = dy/dx. Теперь, наоборот, сначала дан символ, потом его алгебраический эквивалент.

Наконец, в-третьих, раньше символы были результатом операций над реальными функциями, теперь, наоборот, «играют ... роль символов, указывающих на дифференциальные операции, которые должны быть выполнены над реальной функцией х, т. е. становятся, таким образом, оперативными символами» (с. 109); формула становится «символическим оперативным уравнением», или просто «оперативным уравнением» (с. 85, 105, 109, 111 и др.)- К. Маркс постоянно подчеркивает оперативный, действенно-поисковый характер полученных формул дифференциального исчисления, говорит Q символе как об обозначении «стратагемы действий» и обобщенно выражает свою идею, вводя понятие «оперативный метод» (с. 508) — метод, начинающий с символов, подлежащих выполнению операций. Противоположный метод Маркс называет методом непосредственного вывода (с. 133,), кратко его можно назвать «метод выведения».

Итак, «первоначально возникший как символическое выражение «производной», т. е. уже выполненных опе-раций дифференцирования, символический дифференциальный коэффициент теперь играет роль символа тех операций дифференцирования, которые только предстоит еще произвести» (с. 57).

Символ становится «самостоятельным исходным пунктом», вследствие чего дифференциальное исчисление оперирует уже самостоятельно на собственной почве (с. 55, 57). Происходит, таким образом, «оборачивание метода». Маркс показывает, что оно не субъективно.

В реальной истории математики существовали две школы, каждая из которых следовала одному из назван-ных методов. Школа Ньютона и Лейбница исходила из символа, Даламбер и Лагранж следовали методу вы-ведения. Маркс подчеркивает: «И притом эти различные способы трактовки дифференциального исчисления, исходящие из противоположных полюсов и представ-ляющие две различные исторические школы, здесь воз-никают не из изменения нашего субъективного метода, а из природы подлежащей рассмотрению функции иг... Я не думаю, чтобы какой-нибудь математик — на столь элементарной функции, как иг, или какой бы то ни было другой — доказал или хотя бы заметил необходимость этого перехода от первого, алгебраического метода (исторически второго)» (с. 107).

Объективно диалектический характер этого процесса классически формулируется в словах: «Это оборачивание метода получилось здесь как результат алгебраического дифференцирования иг. Алгебраический метод, таким образом, сам собой превращается в противоположный ему дифференциальный метод» (с. 57).

- Очевидно, что основной закон диалектики, который здесь действует, есть закон единства и борьбы противо-положностей. А учитывая предыдущее изложение, мы получаем такую последовательность методологического применения всех трех законов диалектики: отрицание отрицания — переход количества в качество — превращение противоположностей.

Исследование указанного превращения очень богато философским содержанием. Помимо отмеченного, основного пункта подчеркнем еще несколько моментов.

Методологически важной является связь символов с понятием деятельности. Как мы видели, у К. Маркса эта связь такова, что символ как результат обозначает со-вокупность операций дифференцирования, ведущих к появлению производной, т. е. здесь он обозначает действие, уже совершившееся, находящееся в прошлом. С другой стороны, символы как исходный пункт есть «стратагема действий», подлежащих еще выполнению, реализации на конкретных определенных функциях. Са-ми по себе символы «остаются столь же неопределенными, как и могущее принимать любое значение 0/0» (с. 93). Неопределенность символа позволяет обозначать общие действия безотносительно к конкретному предме- ту, функции. Она выражает действие в чистом виде, саму форму действия, что делает поле его приложимости очень широким. Форма вообще, помимо прочего, отличается от содержания тем, что обладает большей общностью. Это и делает ее активным началом по отношению к предмету (момент, который в свое время подчеркивал Аристотель). Из этого следует, что активный момент деятельности имеет так или иначе формальный (формализованный) характер. И в известном смысле можно сказать, что чем более развита и всеобща деятельность, тем более она формализована, расчленена на четкую последовательность шагов, приближается к ал-горитму.

Пример математики и математической логики ярко об этом свидетельствует. При этом, разумеется, не надо представлять себе дело так, что слово «формальный» означает бессодержательный: форма есть то же содержание, но более общее, чем «материя», предмет, к которому она применяется. Тот же смысл имеют и понятия формулы, оперативного уравнения и т. п. Они выражают общую связь какого-либо действия и указывают способ действия по отношению к конкретному предмету.

По отношению к этому символу, обозначающему форму действия, предмет образует реальный эквивалент. В «Математических рукописях» К. Маркса мы-постоянно встречаем противопоставление символического и ре-ального (с. 103, 105, 108 и др.),

Реальность везде здесь означает определенность: определенная функция является предметом для приложения символических уравнений, неопределенных и имеющих общий характер.

Этот смысл понятия «реальность» имеет значение и для его философского толкования. Когда мы отличаем реальное от идеального, то последнее выступает как совокупность идей, т. е. неразвитых понятий, не реализованных в виде теории, материального предмета и т. п. Материя есть реальность, обладающая абсолютной определенностью, и в этом смысле превосходит теорию и знание вообще.

В Марксовом анализе «оборачивания метода» неоднократно встречается понятие априорного («а priori»). Оно, как известно, играло известную роль в истории философии, в частности в учении Канта.

«Рукописи» Маркса дают возможность по-научному оценить это понятие. Маркс употребляет его в положи-тельном и отрицательном смысле. Он критикует априо-ризм в учении Ньютона и Лейбница: «Мистическое диф-ференциальное исчисление сразу превращает (х + Ах) в

(x + dx) или, по Ньютону, в х + х... Превращение А* в dx

или х допускается a priori, вместо того, чтобы быть математически выведенным, почему впоследствии становится возможным мистическое отбрасывание членов развернутых биномов» (с. 221).

В философии Канта априорным называлось знание, независимое от опыта, ему противополагалось выведенное из опыта, апостериорное знание. Это противопоставление имеет место и у К. Маркса с тем, разумеется, существенным различием, что К. Маркс, как видим, противник априоризма, который, по его мнению, ведет к мистике в первоначальном истолковании дифференциального исчисления.

- Правда, у К. Маркса речь идет не об опыте в соб-ственном смысле слова, а об алгебраическом диффе-ренцировании, из которого должны быть выведены символы. Однако сама алгебра в конечном счете опи-рается на опыт, и выводить из нее правила нового ис-числения— значит, в конечном счете, выводить их из опыта.

Можно было бы поэтому различать апостериорное знание двух ступеней: непосредственное, которое прямо исходит из опыта, и опосредованное, связанное с ним через дедуктивное (здесь логико-математическое) движение мысли.

Как видим, К. Маркс выведение (метод выведения) противополагает априорным предположениям.

Однако в своих исследованиях он отмечает также по-ложительную сторону в целом неправильных, мисти-ческих приемов инициаторов исчисления. «Благодаря a priori предположенным в качестве самостоятельных изолированных приращений от х и у дифференциалам

dx, dy и т. д. или ху у и т. д., я получаю огромное преимущество, позволяющее дифференциальному исчислению с самого начала выражать все функции переменных в дифференциальных формах» (с. 147).

Выведение есть путь получения формулы, посредством которой можно действовать — находить производные наиболее экономным способом. Ньютон и Лейбниц сразу и начинают с формул, символов. Поэтому даже в этом отношении есть позитивный смысл в их способе дифференцирования.

Но особенно интересным сточки зрения методологии является использование Марксом понятия a priori применительно к своему собственному способу. А именно, после того, как формулы выведены, получены, их применение не требует повторных выводов. Оперативные формулы теперь уже не выводятся, а предпосылаются как готовые и данные некоторой определенной функции. Получив такое уравнение, «мы знаем теперь a priori, что если в y = f(x) [n]dy = df(x) выполнить над f(x) ука-занную посредством df(x) дифференциальную опера-цию, то результатом будет dy = f (x)dx»... (с. 65).

Из этой мысли видно, что априорное знание К. Маркс не просто отбрасывает, он рассматривает его как момент в анализируемом обращении метода- если формула выведена, т. е. получена апостериорно (тут: математически правильно), то затем она предпосылается опыту, предваряет его, т. е. становится априорным знанием.

Если Кант под априорным понимал знание,-абсолютно независимое от опыта, то К. Маркс рассматривает его как относительный момент: «теперь (т. е. после выведения) a priori знаем». Апостериорное превращается в априорное, но последнее снова входит в контекст опыта и питается им, развивается дальше. Так, если полученная (теперь априорная!) формула наталкивается на неподдающуюся ей функцию, она становится в этом (только в этом!) отношении полностью априорной и творческим усилием ума уточняется или заменяется новым оперативным уравнением, выводимым из данной функ-ции и т. д. Вообще само применение формулы есть ее вхождение в опыт, слияние с ним, так что такое приме-нение есть переход априорного в апостериорное.

Априорное и апостериорное образуют моменты це-лостного процесса познания и деятельности, и только диалектическое их понимание позволяет избежать как априоризма кантовского типа, так и «ползучего эмпи-ризма», боящегося выйти за пределы данных фактов, со- зерцательного отношения к ним, игнорирующего де-ятельный, оперативный подход к изучению предмета.

Все вышесказанное, начиная с понятия изменения переменных величин и кончая обращением метода, есть логический анализ дифференциального исчисления. Мы видели, однако, что по каждому пункту, развивая свое понимание вопроса, К. Маркс в то же время противополагает его существовавшим до него точкам зрения. Поэтому логическое исследование Маркса имеет сугубо критический характер. Здесь положение такое же, как в «Капитале». «Капитал» не случайно имеет подзаголовок «Критика политической экономии», ибо логический анализ буржуазного производства постоянно сопровождается критическим переосмыслением истории политической экономии. Так и здесь. К. Маркс не только дает логику предмета, но одновременно критически освещает историческое развитие математического анализа. Его интересует не отдельная точка зрения, а вся история предмета, взятая в общих чертах. Поэтому можно сказать, что его критика здесь есть систематическое сопоставление и противопоставление логики и истории диф-ференциального исчисления.

Мы проследили это на каждом отдельном пункте. Теперь можно обрисовать общую картину соотношения логического и исторического.

В самом деле, мы видели, что К. Маркс выделяет четыре эпохи в «историческом ходе развития» дифференциального исчисления: 1) мистическое дифференциальное исчисление; 2) рациональное; 3) чисто алгебраическое; 4) исчисление, учитывающее превращение алгебраического метода в дифференциальный.

Первое исходит из символов dx и dy, не объясняя математически их происхождения; второе развивает их из конечных приращений, т. е. обращается к алгебраической основе исчисления; третье вообще устраняет специфику дифференцирования и сводит его к чистой алгебре. Такова последовательность методов истории. По-следняя ее ступень — логический метод Маркса — прямо противоположна этому ходу развития.

Маркс начинает с алгебры, как Лагранж; затем по-лагает конечные приращения, как Даламбер; и, наконец, из них выводит дифференциальные символы, опе-ративные формулы Лейбница и Ньютона.

Конец логического анализа есть начало исторического хода развития. Оба подхода—логический и исторический — следуют в противоположных направлениях, соединяясь в исследовании Маркса посредством критики.

Здесь картина аналогична той, которую Маркс обри-совал в своем «Введении» (в «Экономических рукопи-сях 1857—1859 годов»); именно там Маркс подчеркивал, что последовательность категорий политической экономии в логической системе капитала и в истории не может вполне совпадать, даже может быть противоположной. Так, исторически рента предшествует капиталу, а логически — следует из него. Исторически, в процессе становления, оперативные символы предшествуют процессу дифференцирования, логически — следуют из него; в общем, в истории открытия дифференциального исчисления дифференциальный метод предшествует алгебраи-ческому, а в исследовании Маркса следует из него (с. 107). Другими словами, логически дифференциальный метод выводится из алгебраического (у Маркса), а исторически предшествуют ему (у Лагранжа). Центральный пункт Марксова анализа — обращение метода; наоборот, в истории, по словам Маркса, «на этот поворот, на это оборачивание ролей никто из математиков не обратил внимания» (с. 101).

Мы видим, следовательно, что оборачивалие двух математических методов, о котором писал Маркс, есть в общефилософском плане оборачивание логического и исторического.

Возникает важный вопрос: чем объяснить такое оборачивание?

Прежде всего попытаемся понять причины каждой последовательности в отдельности, а затем их соотно-шение.

Что касается логической последовательности, пред- ставленной в исследованиях Маркса и проанализированной выше, то обусловленность ее, очевидно, двоякая: математическая и методологическая (философская).

К началу XIX в. остро встал вопрос об основаниях математического анализа. Ф. Энгельс говорил, что Ньютон и Лейбниц завершили развитие дифференциального исчисления. Это значит, что в их работах оно приобрело характер самостоятельной науки с развитой техникой дифференцирования. В течение XVIII и XIX вв.

эта наука развивалась, конечно, и дальше, но это был экстенсивный, количественный рост. Математический анализ был незавершен в том смысле, что не было стро-гого обоснования его фундамента, понятия производной, дифференциала и т. д. Математики, правда, не были удовлетворены лейбнице-ньютоновским введением первоначальных понятий анализа, о чем свидетельствует история попыток дать его обоснование в работах Далам- бера, Лагранжа и других ученых. Эти попытки, однако, не были вполне успешными, хотя определенные шаги вперед и были сделаны, что и подчеркивал К. Маркс в своих рукописях.

Создание теории пределов (Коши и др.) решило этот вопрос.

Если спросить, почему раньше этого не было сделано, то, возможно, ответ содержится в различении периодов творческих и критических в истории математики, проведенное Ф. Клейном. Во времена первых требования строгости, обоснованности отступают на задний план, в критические периоды они начинают играть главную роль.

XVIII в. в этом отношении, несомненно, есть творческий период, XIX в. от Коши до Кантора — век критический, обосновывающий. Прежде чем последний наступил, дифференциальное исчисление должно было достичь относительного завершения в своем количественном росте.

Основная связь, которую К. Маркс считал решающей для обоснования анализа, было выведение его из алгебры. О ней он пишет, что «подлинные и в силу этого простейшие взаимосвязи нового со старым открываются всегда лишь после того, как это новое само приобретет уже завершенную форму, и можно сказать, что в дифференциальном исчислении это возвращение (отнесение) назад было осуществлено теоремами Тейлора и Маклорена» (с. 199). Он полагает, что только Лагран- жу пришла в голову мысль свести новое исчисление к строго алгебраической основе, хотя и считал его неудов-летворительным, почему и предложил свой собственный метод.

Итак, дифференциальное исчисление должно было приобрести завершенную форму, чтобы заняться своим обоснованием — отнесением назад, к алгебре. Это пер- вая, чисто математическая причина относительно поздней разработки проблемы обоснования исчисления — причина объективная.

Вообще новое знание обычно не возникает как результат логической дедукции из старого, ибо не существует (может быть, пока) логики творчества. Эта дедукция дается «задним числом», когда оно уже возникло и развилось.

Вторая причина — философско-методологическая. Дело в том, что К. Марксу не были известны работы Коши, Вейерштрасса и других по обоснованию диффе-ренциального исчисления, поэтому стимул его занятий в этом направлении был дан отнюдь не работами Коши. Как показывают рукописи К. Маркса, основная субъективная причина обращения к обоснованию анали-за лежала, в этом случае, в философской области. Как в исследованиях теории и истории политической эконо-мии, так и в математике К. Маркс старался проследить диалектику становления и развития понятий и тех сто-рон действительности, которые в них отражаются.

Маркс сознательно применил к математике диалек-тический метод, как он применял его в своих экономи-ческих работах. А здесь неизбежно встал вопрос о про-исхождении понятий математики, их генезисе, истории. Предыдущее изложение, очевидно, свидетельствует именно об этом направлении поисков Маркса. Пред-шественником К. Маркса в этом отношении является только Гегель, давший в своей «Науке логики» деталь-ный диалектический анализ дифференциального исчис-ления.

Рассмотрим теперь причины исторической последовательности. Если Ньютон не выводил логически дифференциальные коэффициенты, то, спрашивается, из каких соображений он их выводил? Мы видели, что, согласно К. Марксу, из соображений метафизических. Но последние были только средством. Цель, которая при этом преследовалась — решение задач на проведение касательных и проблемы механики. «Как свидетельствуют его первые элементарные формулы исчисления, Ньютон явно пришел к ним первоначально, отправляясь от механических, а не принадлежащих чистому анализу исходных пунктов» (с. 199).

Отдельные задачи из геометрии и механики умели решать и без дифференциального исчисления. Это подсказывало, что надо в разложениях биномов отбрасывать некоторые члены, что математически казалось неверным, но оправдывалось в результате. «Итак, сами верили в таинственный характер новооткрытого исчисления, которое давало правильные (и притом в геометри-ческом применении прямо поразительные) результаты математически положительно неправильным путем» (с. 169).

Таким образом, прямое обращение к уже готовому, подтвержденному практикой знанию, стало быть апелляция к практике,— есть одна из причин того, что история нового исчисления начинается с операций, логическое доказательство которых было дано значительно позже.

Нечто аналогичное имело место и в механике Ньютона, который полагал, что основные понятия и принципы его теории вытекают прямо из опыта, почему и утверждал: «Гипотез не измышляю». Понятия массы, инерции, силы, абсолютного пространства и времени казались прямо заимствованными из опыта. Очень показательна оценка характера ньютоновской теории, данная А. Эйнштейном: «Мы видим, правда, из формулировки Ньютона, что понятие абсолютного пространства, включающее в себя понятие абсолютного покоя, приносило ему мало радости. Он знал то обстоятельство, что в опытах этому последнему понятию ничего не соответствовало. Неприятное чувство у него возникло и при введении силы дальнодействия. Но громадные практические ре-зультаты его учения препятствовали как ему, так и физикам XVIII и XIX вв., признавать умозрительный ха-рактер основ его теории» (с. 63). «Умозрительный» здесь имеет тот же самый смысл, что и «метафизиче-ский» (абстрактно-философский) у К. Маркса, который говорит о том, что дифференциальные коэффициенты были порождены математической метафизикой (с. 127). У А. Эйнштейна речь идет о физической метафизике. Изречение Ньютона «Физика, берегись метафизики!» парадоксальным образом относилось и к его собственному учению — как физическому, так и математическому.

Это объективная причина. Субъективная состоит в том, что вообще мыслитель, открывающий новое, вос- принимает его прежде всего с точки зрения его противоположности старому. К. Маркс отмечает, что творцы дифференциального исчисления «сами себя мистифицировали и тем более ценили новое открытие, тем более бесили толпу старых ортодоксальных математиков и вызывали с их стороны враждебные вопли, будившие отклик даже в мире неспециалистов и необходимые для прокладывания пути новому» (с. 169) .

Эта новизна открытия, конечно, направляла основное внимание не на связь нового со старым, а на их различие и заставляла разрабатывать дифференциальное исчисление на его собственной почве. К. Маркс, поставив вопрос о том, не вывел ли уже Ньютон из биноминальной (алгебраической) теоремы теорему, носящую имя Тейлора, отвечает: нет. Ибо «он был еще слишком поглощен разработкой самих дифференциальных опе-раций» (с. 199).

На протяжении XVIII в. эта разработка, а особенно приложение нового исчисления к различным дисциплинам (геометрии, механике, физике) продолжается. Вот почему последователи Ньютона (и Лейбница) еще слишком поглощены экстенсивным развитием анализа, чтобы объяснить его основания.

Яркий свет на это движение проливает Марксово сравнение истории дифференциального исчисления с историей немецкой классической философии: '«Таким же образом Фихте примыкал к Канту, Шеллинг — к Фихте, Гегель — к Шеллингу, причем ни Фихте, ни Шеллинг, ни Гегель не исследовали общей основы Канта, идеализма вообще; иначе они не смогли бы развивать ее дальше» (с. 209). Каждый последующий мыслитель опирается на идеи предыдущего, и все развитие до известного критического момента совершается на общей основе, без коренного исследования последнего.

Итак, практика непосредственно стимулирует рождение дифференциального исчисления, разработку «опе- ративных уравнений». Но это порождает и его мисти-ческое истолкование, что, разумеется, заставляет искать математическое обоснование. История новооткрытого исчисления есть ряд попыток свести его к некоторой логико-математической науке, и в конечном счете у Лаг- ранжа (а до него у Джона Ландена) оно сводится к алгебре.

Тем самым открывается теоретический источник диф-ференциального исчисления и возникает осознание необходимости вывести его из этой основы и затем путем «обращения метода» снова погрузить в практическую деятельность. Все движение образует круговорот: восходящая ветвь развития (практика-^дифференциальноеис- числение->-алгебраический анализ) и нисходящая (ал- гебра->-дифференциальное исчисление->-практика).

Начало и конец этого круговорота — практическая деятельность. Она есть общее основание, на котором совершается оборачивание исторического и логического, и в конечном счете стимулирует весь процесс: прямо со-действует появлению нового исчисления, в виду возни-кающей при этом мистики направляет поиски рациона-льного обоснования, ведущего к алгебре, и т. д. пока все движение вновь не возвращается в практику как свою конечную цель.

Подведем итоги. Исследования К. Маркса представляют собой сознательное применение диалектики к анализу математического знания, открывают возможность научного освещения его логики и истории, а также их взаимоотношения. Причем оно оказывается полезным не только для дифференциального исчисления, но и для философии. Так, учение о пределе (границе) проливает немало света на общую теорию перехода количествен-ных изменений в качественные, полагание и снятие при-ращений функции и аргумента дают возможность по-нять механизм действия закона отрицания отрицания, соотношение логики и истории дифференциального ис-числения, несомненно, помогает уяснить причины оборачивания логического и исторического вообще.

«Математические рукописи», несмотря на их извест-ную незавершенность, позволяют вскрыть в применяе-мом К. Марксом философском методе весьма четкую структуру (см.с. 162). 161

Ц-6-37 Структура диалектического метода в Марксовом анализе открытия дифференциального исчисления л

Я 4

§ s

| о.

Si

2 к к * ь <и

* К

си Н

s eg п

со е* со

Q«

Об

а

Категория изменения (разность и ее различные формы) Самодвижение переменных величин (пола-

О) К

я S

ж ®

СЯ S

a- g

к Я

О, Он

ь ?

о о

? о

? Р « -

_ cd

X л о

CU

о с

гание разности количеств) Количественное изменение (уменьшение

4> I

№

~ да

Si

Д* и А у) Граница, предел изменения Снятие количества (выведение символа 0/0) Обнаружение качества (выведение производной)

Обобщение всего предыдущего — рождение символа dy/dx (дифференциального коэффициента)

о

W а

а>

Оборачивание метода (превращение алгебраического метода в дифференциальный, «метода выведения» в «оперативный метод»)

— s я

- л\

« 5 ? 2 « ? 5

ж да сз

К К «»

Н О. Я

« О

О) н я

Ч о <и

я s a

я Ї

Ч S в1

Оборачивание (противоположность) логического и исторического (анализ истории исчисления) Единство (взаимопереход) логического и исторического на основе практической деятельности (диалектика основания и обоснованного) Общий вывод: взаимовлияние философии и математики