3.1. Роль колебаний и волнв процессах самоорганизации
Данте
(3.1)
X = ax - bxy, У = -cy + dxy.
Здесь X и y — соответственно производные по времени от x и у.
Ясно, что прирост «жертв» в единицу времени X пропорционален их количеству, но уменьшается пропорционально численности, как «жертв», так и «хищников». Отсюда знак «минус» во втором слагае-мом первого уравнения из системы (3.1). Прирост «хищников» в единицу времени у, напротив, тем выше, чем больше их численность и больше «жертв» для своего пропитания они имеют. Но при этом не-Рассмотрим классическую модель самоорганизующейся системы «хищник — жертва», описанную итальянским математиком В. Вольтерра (1931) и сходную в общих чертах с моделью автоката-литической химической реакции американского математика А. Лотки (1926). Пусть в некотором ареале расселения численность «жертв» (например, зайцев) равна x, а численность питающихся этими «жертвами» «хищников» (например, волков) равна у. Пренебрегая истощением пищевых ресурсов для «жертв» и насыщением «хищников», скорость прироста тех и других можно представить в виде
обходимо уменьшить результат на величину, пропорциональную численности «хищников», чтобы учесть их конкуренцию друг с другом в борьбе за обладание пищей (см. второе уравнение системы (3.1)). a,b,c,d — некоторые константы, определяемые условиями задачи.
Стационарному (т.е. независящему от времени) состоянию системы соответствует обращение в нуль левых частей уравнений (3.1), из чего параметры такого состояния получаются следующими:
х0 = c/d, y0 = a/b. (3.2)
Рассмотрим теперь слабые возмущения стационарного состояния, связанные с внешним воздействием на систему (засушливое лето, падеж из-за болезни животных, браконьерство и т.п.):
х = x0 = x1(t), x1 << Xo; y = Уо + У1(ї), У1 << Уо. (3.3)
Подставляя (3.3) в (3.1) и опуская члены второго порядка малости, получаем
bc
X1 =-—У1.
. ad (3-4>У1 = TX1-
Дифференцируя по времени одно из уравнений (3.4) и используя другое, получаем
X1 + с0 X1 = 0 (35) [ У1 + с0 У1 =
где со0 = ac.
Решение уравнений системы (3.5) имеет вид гармонических колебаний с циклической частотой с 0 :
X1 = AX cos(c01 + ( X [У1 = Ay cos(c01 + (.).
Чтобы удовлетворить в (3.4) соотношению между знаками, второе колебание должно отставать по фазе от первого на п / 2. Если, например, начальная фаза первого колебания (х = 0, то начальная фаза второго колебания (py =-п / 2:
(3.6)
\x1 = Ax cos(0t, у = Ay sin (t
На рис. 3.1а показаны графики этих колебаний. Выражая из (3.6) cos(01 и sin (о01 и используя известное тригонометрическое соотно-
2 2
шение cos а + sin а = 1, получаем
+
= 1.
(3.7)
Х1
A
2
2
А
Л ,
v J
Это уравнение эллипса, изображенного на рис. 3.16. Амплитуды колебаний Ax и Ay равны полуосям эллипса. Данный рисунок является
фазовым портретом гармонических колебаний. Происхождение термина связано с тем, что величины x1 и у1 определяют состояние (по греч. phasis) системы в данный момент времени.
Рис. 3.1. Графики колебаний слабых возмущений численности «жертв» x1 и «хищников» у1 (а) и их фазовый портрет (б)
Возвращаясь по формулам (3.3) к первоначальным переменным x и у, фазовый портрет системы «хищник — жертва» можно представить в виде рис. 3.2. Следует отметить, что колебания численности «жертв» и «хищников» относительно стационарных значений x0 и у0 будут гармоническими лишь при слабых возмущениях x1 и у1 системы. Фазовый портрет в этом случае будет иметь вид эллипса. С ростом возмущений фазовый портрет системы будет все больше отличаться от эллипса, а колебания в системе — от гармонических.
Рис. 3.2 помогает также понять, что вмешиваться в процессы, происходящие в самоорганизованной системе, следует крайне осторожно и продуманно.
Допустим, мы захотели помочь бедным «жертвам» и резко сократили численность «хищников». Это позволит «жертвам» вначале беспрепятственно размножаться, но вскоре оставшиеся «хищники» возьмут реванш, и их поголовье резко возрастет. Закончится же наш эксперимент тем, что размножившиеся в благоприятных условиях «хищники» снова сократят число «жертв».
Рис. 3.2. Фазовый портрет системы «хищник — жертва» в модели Лотки - Вольтерра для различных начальных условий
Процесс распространения колебаний в среде называется волнами. Колебания и волны представляют очень распространенный вид самоорганизации в природе. В соответствии с общими законами синергетики, всякая замкнутая система стремится перейти в равновесное состояние, в котором ее энтропия (мера беспорядка) максимальна. Это состояние энергетически выгодно, так как в нем система имеет минимальную, свободную энергию, за счет которой она могла бы совершить работу. В открытых системах равновесие невозможно, но могут иметь место стационарные состояния. В 1947 г. бельгийский физико-химик русского происхождения И. При- гожин доказал теорему, согласно которой при фиксированных внешних параметрах скорость производства энтропии в стационарном состоянии минимальна. Это означает, что возмущенная система стремится перейти в одно из возможных стационарных состояний. Однако, благодаря инерции, она проскакивает мимо него, снова возвращается к стационарному со-стоянию, опять проскакивает мимо и т.д. В системе возникают колебания, в общем случае, затухающие.