7.1. Показатели качества переходного процесса

Если САУ устойчива (см. разд.5), то переходные процессы в ней затухают с течением времени, т.е. обеспечивается принципиальная возможность прихода системы в некоторое установившееся состояние при любом внешнем воздействии.

Однако далее требуется, во-первых, чтобы это установившееся состояние было достаточно близко к заданному (см. разд.6), и во-вторых, чтобы затухание переходного процесса было достаточно быстрым, а колебания при этом были бы невелики.

Поэтому после обеспечения устойчивости системы надо позаботиться о требуемом качестве процесса управления, в понятие которого входят, в частности: точность системы в установившемся состоянии, качество переходного процесса.

В понятие качества системы входит ряд показателей, таких как:

1. Установившаяся ошибка (6.5)

.

2. Время регулирования или длительность переходного процесса (быстродействие).

Теоретически переходной процесс в устойчивой линейной системе затухает в бесконечности, т.е. разница между текущим значение выходной величины и установившимся значением стремится к нулю

при .

Практически же длительность переходного процесса ограничивают тем моментом, когда отклонения становятся пренебрежительно малыми, например, величина наперёд заданного отклонения не составит более от установившегося значения

; где .

3. Время максимального перерегулирования – момент времени, когда текущее значение достигает своего максимума.(*)

4. Максимальное перерегулирование

.

5. Количество колебаний за время переходного процесса .(*)

6. Период колебаний .(*)

замечание. Показатели качества переходного процесса, отмеченные *, не являются основными.

Все перечисленные характеристики переходного процесса приведены на рис.7.1.

Рис.7.1. Показатели качества переходного процесса

Как же определить показатели качества переходного процесса?

§ Прямой путь определения показателей качества переходного процесса из аналитического выражения переходной процесса или аналитического выражения переходного процесса для ошибки .

Установившееся состояние выходной величины определяется при из

.

Установившаяся ошибка определяется при из аналитического выражения переходного процесса ошибки

или из выражения (6.7) через коэффициенты ошибки.

§ Показатели качества переходного процесса также можно определить непосредственно из графика переходного процесса, (см. рис.7.1.) полученного экспериментальным путем или путем моделирования численными или аналоговыми методами.

§ Приближенные или косвенные оценки качества переходного процесса определяются корневым методом, если известен характеристический полином замкнутой системы управления (см. подразд.4.4.).

Если известно аналитическое выражение характеристического полинома , то всегда можно определить его корни, и представить их распределение на комплексной плоскости, как показано на рис.7.2.

Рис.7.2. Распределение корней на комплексной плоскости

На рис.7.2. введены следующие обозначения.

1. Степень устойчивости , действительная часть минимального корня характеристического полинома взятая по абсолютной величине.

2. длительность переходного процесса связана со степенью устойчивости следующей зависимостью

. (7.1)

3. Колебательность переходного процесса определяется величиной , где – максимальное по абсолютному значению отношение. Т.е .

4. количество колебаний за время переходного процесса определяется с помощью по формуле

.

5. Период колебаний переходного процесса оценивается .

6. Время максимального перерегулирования равно .

7. Максимальное перерегулирование связано с колебательностью переходного процесса следующей зависимостью .

Возникает вопрос, почему в формуле (7.1) оценки длительности переходного процесса системы взят интервал ? Чтобы ответить на него рассмотрим промер оценки времени регулирования апериодического звена первого порядка, передаточная функция которого . Соответствующий характеристический полином имеет вид . Корень этого характеристического полинома равен . Запишем дифференциальное уравнение относительно выходной координаты и решим его, при следующих начальных условиях и задающем воздействии .

, . (7.2)

График переходного процесса изображен на рис.7.3.

Рис.7.3. Пример переходного процесса апериодического звена первого порядка

Из решения дифференциального уравнения (7.2) следует, что установившееся состояние выходной величины при .

и определим длительность переходного процесса .

Если требуется оценить время регулирования с точностью не хуже, чем 1%, то длительность переходного процесса равна .

Таким образом, если допустимая наперед заданная точность расчета равна 5%, то при оценках длительности переходного процесса по формуле (7.1) выбирается нижняя граница интервала . Такая точность расчета характерна для большинства технических систем. Если же рассчитывается высокоточная система, используется 1%-й допуск, и, следовательно, выбирается верхняя граница интервала .

пример определения косвенных оценок качества переходного процесса системы управления, используя выражение передаточной функции.

Пусть передаточная функция разомкнутой части системы имеет вид

.

Тогда, согласно (4.8) передаточная функция замкнутой системы будет равна

, (7.3)

а передаточная функция для ошибки по задающему воздействию согласно (4.10) имеет вид

.

Определим установившуюся ошибку через коэффициенты ошибки по формуле (6.7)

.

Из формулы (6.6) следует, что

,

,

.

Таким образом, установившаяся ошибка при задающем воздействии будет равна

.

Исследуемая система обладает астатизмом нулевого порядка , ().

Корни характеристического полинома

Равны .

следовательно, степень устойчивости . И можно оценить время регулирования .

Также, зная корни характеристического полинома, можно определить колебательность переходного процесса .

количество колебаний за время переходного процесса не превышает .

период колебаний переходного процесса равен .

Время максимального перерегулирования определяется по формуле .

Величина максимального перерегулирования оценивается по формуле

.

На рис.7.4. представлены результаты моделирования переходной функции по задающему воздействию и для ошибки в среде Mat lab. Из анализа графиков следует, что предварительные оценки качества переходных характеристик практически совпадают с результатами моделирования.

Рис.7.4. Графики переходной функции и

переходной функции для ошибки