3.4. Надежность процессов и оборудования

Основные термины и понятия теории надежности

Безотказность — свойство устройства сохранять работоспособ­ность в течение заданного интервала времени при определенных условиях эксплуатации.

Вероятность отказа — вероятность того, что в течение заданного интервала времени работы при определенных условиях эксплуатации возникнет хотя бы один отказ устройства.

Внезапный отказ — отказ, возникший в результате скачкообраз­ного изменения значений одного или нескольких основных парамет­ров устройства.

Восстанавливаемое устройство — устройство, работа которого после отказа может быть возобновлена в результате проведения необходимых восстановительных работ.

Время восстановления — продолжительность перерыва в работе восстанавливаемого устройства при устранении отказа.

Время безотказной работы — время, в течение которого устрой­ство, выполняя свои функции, безотказно работает.

Наработка до отказа — случайный интервал времени с момента окончания очередного восстановления и начала работы устройства до следующего отказа.

Интенсивность восстановления — условная плотность вероятнос­ти восстановления в некоторый момент при условии, что к этому моменту устройство не восстановлено.

Интенсивность отказов — условная плотность вероятности отказа устройства в некоторый момент времени при условии, что до этого момента отказа не было.

Коэффициент готовности — вероятность того, что восстанавлива­емое устройство будет работоспособно в любой, произвольно выбран­ный момент времени в стационарном процессе функционирования.

Математическое определение основных показателей надежности

В данном подразделе для всех показателей надежности приведены два определения — вероятностное и статистическое. Через z обозна­чен статистический показатель, соответствующий аналогичному показателю z.

Рассмотрим основные показатели надежности.

1. Вероятность безотказной работы устройства в интервале време­ни от 0 до t0.

Вероятностное определение: где P(t0) — вероятность того, что устройство проработает безотказно в течение требуемого интервала времени t0, начав работать в момент времени t = 0, или вероятность того, что случайное время работы устройства до отказа окажется больше требуемого интервала времени работы; θ — случайное время безотказной работы устройства до появления отказа; — функция распределения слу­чайной величины θ.

Статистическое определение: где N(t0) — число реализаций, для которых время безотказной работы устройства больше t0; n(t0) — число реализаций, для которых время безотказной работы устройства меньше t0; n(t0) — общее число реали­заций безотказной работы устройства.

2. Вероятность отказа устройства в интервале времени от 0 до t0. Вероятностное определение: вероятность того, что устройство откажет в течение требуемого интервала времени начав работать в момент времени t = 0, или вероятность того, что случайное время работы устройства до отказа окажется меньше требуемого интервала времени безотказной работы t0.

Статистическое определение (рис. 3.8):

3. Частота отказов (плотность распределения F(t)) устройства в момент времени t.

Рис.3.8. Временная диаграмма испытаний Рис.3.9. Временная диаграмма испытаний

Вероятное определение: , где f(t) — плотность вероятности того, что случайное время безотказной работы устройства окажется меньше t, или плотность вероятности отказа для момента времени t.

Статистическое определение (рис. 3.9): , где n(t+Δt) — число

устройств, отказавших до момента - число устройств, отказавших до момента t.

4. Интенсивность отказов устройства в момент времени t.

Вероятностное определение: - условная

плотность вероятности отказа устройства для момента времени t при условии, что до момента времени t отказа устройства не произошло.

Используя вероятностное определение частоты отказов, получим

Статистическое определение (рис. 3.9) где N(t) — число

неотказавших устройств до момента t.

5. Интенсивность восстановления устройства в момент времени t, отсчитывемый от момента начала восстановления.

Вероятностное определение: --------------------------------------------------- где μ(t) —

плотность условной вероятности восстановления устройства.

для момента времени t, отсчитываемого от момента начала восстанов­ления при условии, что до момента времени i восстановление устрой­ства не произошло;

— функция распределения случайного времени восстановления

устройства; - плотность распределения FB(t).

Статистическое определение: где

— число восстановившихся устройств до момента (t + Δt); nB(t) — число восстановившихся устройств до момента t; NB(t) — число невосстановившихся устройств до момента t.

6. Коэффициент готовности устройства μ.

Для любых распределений времени между отказами F(t) и време­ни восстановления FB(t), имеющих конечные средние значения соот­ветственно Т и τ, всегда выполняется следующее соотношение: η = Т/(Т + τ).

Структурные компоновки автоматических линий

Автоматическая линия (AJI) — это система машин (комплекс основного и вспомогательного оборудования), автоматически выпо­лняющая в определенной технологической последовательности и с заданным ритмом весь процесс изготовления или переработки продук­ции производства. По структурной компоновке различают следующие AJI: однопоточные синхронного действия (рис. 3.10, а); двухучастковые однопоточные асинхронного действия (ОД AJI) (рис. 3.10, б); однопоточные асинхронного действия (рис. 3.10, в); многопоточные многоучастковые асинхронного действия без накопителей (рис. 3.10, г); многопоточные многоучастковые AJI асинхронного действия с накопителями (рис. 3.10, д).

Проектная производительность AJI: Qnp = Qkήл , где Qk — номи­нальная производительность выпускающего участка; ήл — коэффици­ент готовности AJI.

Существующие расчетные методы определения коэффициента готовности AJI основаны на использовании в качестве исходных данных характеристик надежности встроенного оборудования. Анализ структурных компоновок AЛ показывает, что в качестве участка или потока могут быть использованы или отдельный станок, или же АЛ синхронного действия. В теории производительности каждый элемент характеризуется следующими основными параметрами надежности:

интенсивностью потока отказов где tpi — среднее время безотказной работы i-гo элемента;

интенсивностью потока восста­новлений — сред­нее время

восстановления i-го элемента;

коэффициентом готовности, определяющим конструктивное совершенство i-го элемента, где Bi внецикловые потери,

предоставляющие собой простой, при­ходящиеся на единицу времени безотказной работы элемента.

Рис.3.10 – Компоновка АЛ

Определим коэффициент готовности AJI синхронного действия (см. рис. 3.10, а). В АЛ синхронного действия отказ любого агрегата приводит к отказу всей системы, поэтому число возможных состоянии будет равно к + 1. Следовательно: 1-е состояние — все элементы системы работают (вероятность этого состояния Р0); 2-е состояние — 1-й элемент системы отказал, а остальные элементы работоспособны (вероятность этого состояния к-е состояние — (к — 1)-й элемент системы отказал, а остальные элементы работоспособны (вероятность этого состояния Рк-1); (к + 1) - е состояние — к-й элемент системы отказал, а остальные элементы работоспособны (вероятность этого состояния Pk.

Ориентированный граф состояний AJI синхронного действия пока­зан на рис. 3.11. На основании графа получают следующую систему уравнений для определения вероятностей состояний:

Рис. 3.11. Ориентированный граф состояний АЛ синхронного действия

(3.10)

При этом выполняется следущее нормирующее условие: С его учетом решение системы уравнение (3.10) запишется в виде:

(3.11)

При этом интенсивность потока отказов и интенсивность потока восстановления АЛ синхронного действия соответственно можно вычислить по следующим формулам: где - коэффициент готовности АЛ [вычисляется по формуле (3.11)]; - интенсивность восстановления АЛ; - интенсивность отказа АЛ.

Метод расчета надежности и производительности однопоточных АЛ с накопителями

Рассмотрим алгоритм получения нижней оценки коэффициента готовности однопоточной AJI. С этой целью проанализируем, как функционирует трехучастковая AJ1 (рис. 3.12, а).

На рис. 3.12 приняты следующие обозначения: — соот­ветственно собственные коэффициенты готовности 1, 2 и 3-го учас­тков; B1, В2, В3 — соответственно удельные потери 1, 2 и 3-го участков;, Пз — соответственно коэффициенты готовности 1, 2 и 3-го участков в составе AJI.

Как известно, в рассматриваемой AJI коэффициент готовности линии будет равен коэффициенту готовности 3-го участка АЛ. Допустим, что в рассматриваемой ли­нии 1-й участок отсутствует или надежность этого участка равна единице. В этом случае коэффи­циент готовности рассматривае­мой линии будет равен коэффи­циенту готовности двухучастковой линии, состоящей из 2-го и 3-го участков (рис. 3.12, б).

Рис. 3.12. Пример получения нижней и верхней оценок коэффициента готов­ности однопоточных

Можно записать, что ηл < η2,3, так как в этом случае мы не учли потери, которые в реаль­ной системе передаются с 1-го участка на 2-й. В этом случае фонд времени 3-го участка на единицу времени работы.

(3,12)

В действительности, для получения искомого значения коэффици­ента готовности всей линии нужно уменьшить надежность 2-го учас­тка таким образом, чтобы фонд времени 3-го участка на единицу времени работы был равен искомому (рис. 3.12, в), т.е.

(3,13)

Сравнив (3.12) и (3.13), получим, что . Это объяс­няется тем, что надежность 3-го участка осталась прежней, а надеж­ность 2-го участка стала меньше, в результате выросла вероятность простоя 3-го участка по вине 2-го участка. Для определения оценки В2 рассмотрим линию из 1-го и 2-го участков без учета влияния 3-го участка или надежность 3-го участка примем равной единице. В этом случае (рис. 3.12, г) фонд времени 2-го участка на единицу времени его работы

(3.14)

В исходной системе, когда надежность 3-го участка меньше едини­цы, коэффициент наложения потерь δ1,2 будет меньше, так как это равносильно тому, что надежность 2-го участка будет несколько меньше, чем η2. Поэтому влияние 1-го участка на 2-й участок умень­шается, что равносильно уменьшению коэффициента наложения потерь. Следовательно, в исходной системе доля потерь 1-го учас­тка, передаваемых на 2-й участок будет меньше, чем δ1,2 B1 [см. (3.14)]. Тогда

Теперь в исходной линии 1-й и 2-й участки заменим участком с коэффициентом готовности

Структура такой АЛ приведена на рис. 3.12, д. Для полученной структуры фонд времени 3-го участка на единицу времени его работы

Можно утверждать, что , так как

Следовательно, или

На основании полученного результата можно разработать алго­ритм расчета нижней оценки коэффициента готовности для однопо- точной структуры АЛ с накопителями (рис. 3.13, а). Предлагаемый метод заключается в следующем. Из всей структуры АЛ выделим 1-й и 2-й участки и вычислим коэффициент готовности этой двухучастковой АЛ. Коэффициент готовности () узла, состоящего из 1-го и 2-го участков, на основании сделанного вывода о действии наложен­ных потерь будет меньше, чем коэффициент готовности этого же узла в составе АЛ ().

Теперь в исходной структуре 1-й и 2-й участки заменим одним участком с коэффициентом готовности () и объединим с 3-м учас­тком. Для полученной двухучастковой AJI вычислим коэффициент готовности () который заведомо будет меньше, чем коэффициент готовности узла (состоящего из 1, 2 и 3-го участков) в системе . Далее 1, 2 и 3-й участки заменим одним участком с коэффициентом готовности и объединим его с 4-м участком. Для полученной двухучастковой AJI вычислим коэффициент готовности который будет меньше, чем коэффициент готовности этого узла в составе AJI. Если этот процесс продолжить до последнего участка, то в итоге получим нижнюю оценку коэффициента готовности . Схема определения показана на рис. 3.13, б.

Одним из основных моментов в предложенном методе расчета нижней оценки коэффициента готовности АЛ является определение характеристик надежности объединенного (эквивалентного) участка; интенсивности остановки 𝜆э, интенсивности окончания остановки μэ и номинальной производительности qэ, Номинальная производитель­ность эквивалентного участка, естественно, равна производительности выпускающего (последнего) из объединенных участков, т.е. qэ = qi при объединении i участков.

Рис.3.13. Схема алгоритма расчет нижней ойенки коэффициента готовности АЛ

Для определения интенсивности отказов и восстановлений эквива­лентного участка воспользуемся решением для коэффициента готов­ности двухучастковой АЛ и ориентированным графом состояний. Так как случайный процесс функционирования двухучастковых АЛ является эргодическим, то среднее время пребывания в каждом состоянии будет равняться обратной величине суммарной интенсив­ности ухода из этого состояния. Поэтому на основании ориентирован­ного графа состояний и по известным значениям вероятности пребы­вания в каждом состоянии можно определить среднее время работы между двумя остановами однопоточной двухучастковой АЛ (ОДАЛ). На основании ориентированного графа состояний двухучастковой АЛ среднее время работы до отказа и среднее время восстановления будут вычисляться соответственно по следующим формулам:

(3,15)

где аj - возможное состояние AJI; — суммарная интенсивность выхода из состояния αj; (z) — вероятность того, что AJI находит­ся в состоянии{ αj ; z}; = 0, если в αj -м состоянии АЛ простаива­ет; = 1, если в вум состоянии АЛ работает; — среднее время восстановления ОДАЛ; ηл — коэффициент готовности ОД АЛ;

— среднее время между простоями ОДАЛ.

На основании формулы (3.15) эквивалентные параметры объеди­ненного (эквивалентного) участка будут вычисляться по следующей формуле:

Структурная схема алгоритма, реализующая изложенный метод, приведена на рис. 3.14.

В качестве примера на рис. 3.15 показан ориентированный граф состояний для двухучастковой АЛ с равными производительностями участков. Значения параметров

приведены в табл.3,1. Как следует из таблицы,

Где - вероятности пребываниря АЛ в состояниях

Рис. 3.14. Структурная схема алгоритма вычисления нижней оценки коэффициента готовности AJI

Таким образом, получены формулы, необходимые для расчета нижней оценки коэффициента готовности однопоточной многоучас­тковой AJI с накопителями.

Теперь определим верхнюю оценку проектной производительности AJI с однопоточной структурой. Для этого проанализируем работу трехучастковой линии (см. рис. 3.12). Допустим, что в рассматривав- мой линии 3-й участок отсутствует (см. рис. 3.12, г). В этом случае на основании формулы (3.14) можно записать,

(3,16)

Производительность 2-го участка с учетом (3.16) в этом случае с будет вычисляться по формуле: , где q2 - номинальная производительность 2-го участка.

В реальной системе вследствие дополнительных потерь по вине 3-го участка

(3,17)

где ή2 — коэффициент готовности 2-го участка в составе исход­ной АЛ.

На основании (3.17) можно записать производительность 2-го участка исходной AJI.

Теперь допустим, что в рассматриваемой системе 1-й участок отсутствует (см. рис. 3.12, б). Тогда производительность 3-го участка исходной АЛ, — производительность 3-го участка, когда 1-й участок не влияет на работу 2-го и 3-го участков.

Производительность исходной линии

(3.18)

где qл — производительность АЛ, ηл — коэффициент готовности АЛ.

Так как в АЛ отсутствует отбор изделий по ходу обработки, т.е. все детали проходят через всю АЛ, то действительные производитель­ности участков выравниваются. Поэтому

(3.19)

где — производительность i-го участка АЛ.

Для рассматриваемого примера с учетом (3.19) можно утверждать, что производительность АЛ не может быть больше, чем меньшая из производительностей

(3.20)

Используя (3.18) и (3.20), получим, что коэффициент готовности рассматриваемой АЛ

(3.21)

Формулу (3.21) можно применять для однопоточных АЛ с произ­вольным числом участков. В этом случае коэффициент готовности АЛ с произвольным числом участков qk — номинальная производительность k - го (выпускающе­го) участка; qi-1,i производительность i-го участка двухучастковой АЛ, состоящего из (i — 1)-го и i-гo участков исходной линии.

Структурная схема алгоритма вычисления верхней оценки коэф­фициента готовности АЛ с произвольным числом участков приведена на рис. 3.16.

Необходимо отметить, что при расчете нижней и верхней оценок коэффициента готовности многоучастковой АЛ необходимо уметь рассчитывать коэффициент го­товности трех вариантов двуху- частковых АЛ: когда участки с равными производительностя- ми; когда производительность 1-го участка больше, чем 2-го участка; когда производитель­ность 1-го участка меньше, чем 2 –го участка.

Рис. 3.16. Структурная схема алгоритма вычисления верхней оценки коэффици­ента АЛ

Граф состояний этих АЛ при­веден на рис. 3.15, 3.17 и 3.18, а формулы для расчета коэффици­ента готовности и вероятностей состояний приведены ниже.

При расчете коэффициента готовности двухучастковых АЛ приняты обозначения: F111 (z) — вероятность состояния, когда 1-й и 2-й участки, а также накопи­тель находятся в работоспособ­ном состоянии, а запас заготовок в накопителе находится на про­межуточном уровне; F101(z) — вероятность состояния, когда 1-й участок и накопитель находятся в работоспособном состоянии, 2-й участок отказал, а запас заготовок в накопителе находит­ся на промежуточном уровне; F011(z) — вероятность состояния, когда 2-й участок и накопитель находятся в работоспособном состоянии, 1-й участок отказал, а запас заготовок в накопителе находится на промежуточном уровне; F110 (z) — вероятность состояния, когда 1-й и 2-й участки находятся в

работоспособном состоянии, накопитель отказал, а запас заготовок в накопителе находится на промежуточном уровне; FQ1Q(z) — вероят­ность состояния, когда 1-й участок и накопитель отказали, 2-й учас­ток находится в работоспособном состоянии, а запас заготовок в накопителе находится на промежуточном уровне; F100(z) — вероят­ность состояния, когда 2-й участок и накопитель отказали, 1-й участок находится в работоспособном состоянии, а запас заготовок в накопителе находится на промежуточном уровне; F111(0) — вероят­ность состояния, когда 1-й и 2-й участки, а также накопитель нахо­дятся в работоспособном состоянии и накопитель пуст; F110(0)— вероятность состояния, когда 1-й и 2-й участки работоспособны, накопитель отказал и он пуст; F011(zm)— вероятность состояния, когда 2-й участок и накопитель находятся в работоспособном состоянии, 1-й участок отказал и накопитель пуст F111(zm)— вероятность состоя­ния, когда 1-й и 2-й участки, а также накопитель находятся в рабо­тоспособном состоянии и накопитель полон; F110(zm)— вероятность состояния, когда 1-й и 2-й участки находятся в работоспособном состоянии, накопитель отказал и он полон; F101 (zm) — вероятность состояния, когда 1-й участок и накопитель находятся в работоспособ­ном состоянии, 2-й участок отказал и накопитель полон; zm — вместимость накопителя; q1, q2 - цикловая производительность соответ­ственно 1-го и 2-го участков; τ1, τ2 — длительность цикла действия соответственно 1-го и 2-го участков; 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3 — интенсивность отказа соответственно 1-го, 2-го участков и накопителя; μ1, μ2, μ3 интенсивность восстановления соответственно 1-го, 2-го участков и накопителя; η — коэффициент готовности двухучастковой AJI.

Коэффициент готовности двухучастковой АЛ с равными цикловы­ми производительностями участков

Вероятности возможных состояний АЛ рассчитывают по формулам:

где величины вычисляются по следующим формулам:

Коэффициент готовности двухучастковой AJI с большей цикловой производительностью 1-го участка

Вероятности возможных состоянии AJI рассчитывают по формулам:

Величины С1, G1, G2 …, G11 вычисляются по формуле:

Коэффициент готовности двухучастковой АЛ с большей цикловой производи - тельностью 2-го участка

Вероятности возможных состояний АЛ рассчитывают по формулам:

align=left hspace=15>

Величины C1, G1, G2, ..., G11 вычисляют по следующим формулам: