5.2. Эллипс
Эллипс - геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F1 и F2 той же плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная, равная 2а и большая, чем расстояние между фокусами 2с.
Выведем уравнение эллипса, исходя из данного определения. Выберем систему координат как показано на рис 5.2
 | |||
 | |||
(Расстояния любой точки M(x,y) эллипса до фокусов называются ее фокальными радиусами. Пусть M(x,y) - произвольная точка эллипса, числа r1 и r2 –фокальные радиусы т. M:
r1 =F1M; r2=F2M; r1 +r1=2а (см. рис.5.2), тогда r1= а -
х; r1 = а +х (5.2.1), где 
, а - большая полуось эллипса, с - половина расстояния между фокусами. Формулы (5.2.1) линейно выражают фокальные радиусы любой точки эллипса через ее абсциссу.)
r1 = F1M =
; r2 = F2M =
F1M + F2M =+
= 2а
Это уравнение эллипса приведем к более простому виду: возводя дважды это уравнение в квадрат и преобразуя его, получим:
x2 + 2xc + c2 + y2 = 4a2 - 4a+ x2 - 2xc2 + y2;
xc - a2 =-a; x2c2 - 2xca2 + a4 = a2(x2 - 2xc + c2) + a2y;
x2(c2 - a2) - a2y2 = a2c2 - a4; x2(a2 - c2) + a2y2 = a2(a2 - c2); x2b2 + a2y2 = a2b2,
где положили а2 - с2 = b2. Деля обе части последнего равенства на a2b2, получим каноническое уравнение эллипса; 
(5.2.2)
Как видно из этой формулы эллипс симметричен относительно осей OX и OY, т.к.
вместе с точкой (x,y) ему принадлежат и точки (-x,-y), (-x, y), (x, -y). Точки пересечения с осями называются вершинами эллипса и равны x = 0; y =
b; y = 0; x =a (5.2.3) Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси.
Обозначив эксцентриситет через , получим 
(5.2.4)
Эксцентриситет характеризует форму эллипса. Эксцентриситет эллипса содержится в промежутке (0, 1).
 | |||
 | |||