Площадь гладкой поверхности.

Гладкую поверхность G описывает уравнение z = f(x,y). Она имеет верхнюю, нижнюю стороны и границы. Ее проекция на плоскость хОу занимает область D, а нормальный вектор касательной плоскости к любой точке поверхности имеет вид

( 1 )

где и знак вектора зависит от выбора стороны поверхности.

Опр. Площадью криволинейной поверхности наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения поверхности на малые участки и проектирования их на касательные плоскости, проведенные к каждому элементу поверхности

( 2 )

Для вычисления интеграла проекцию элемента поверхности на касательную плоскость еще раз проектируют на координатную плоскость xOy . Отношение площадей этих поверхностей равно косинусу угла между ними Di /Si = сos, т.е. углу между i и Oz. Если вторая проекция - прямоугольник, то его площадь

Di =xiyi . Тогда xiyi = сos dxdy = cosdS или dS = dxdy.

( 3 )

Опр. Поверхностным интегралом 1-ого рода от функции f(x,y,z) по поверхности z =z(x,y) наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения поверхности на малые участки и проектирования их на касательные плоскости.

Такая интегральная сумма отличается от ( 2 ) дополнительным множителем f(Mi) перед каждым и

( 4 )

Замена переменной z на z(x,y) дает переход к значениям функции на самой поверхности.

Пример 1. Вычислить J = , где G: x + y + z = 1 , x 0, y0, z0

Решение. z = 1 – x – y, = -1, = -1,=

D: x + y = 1, x = 0, y = 0 ; Точки пересечения (0;0), (1;0), (0;1)

Выберем коридор || Оу , его ширина 0 x 1 ,

а движение по коридору от y = 0 до y = 1 - x.

D: 0 x 1 , 0 y 1 - x

J = xy(1 – x – y) dxdy = xy(1 – x – y)dy ,

J1 = xy(1 – x – y)dy = x(1 – x)3/6 , J = /6 x(1 – x)3 dx = /120 .