АКСИОМА ЛОБАЧЕВСКОГО

Система аксиом геометрии Лобачевского состоит из аксиом евклидовой

геометрии без пятого постулата (абсолютной геометрии) и аксиомы

Лобачевского.

Аксиома Лобачевского.

Пусть дана прямая и точка $.

существует не менее двух прямых, проходящих через и

не пересекающих

Упражнение 1.

Во всяком треугольнике сумма внутренних углов

Доказательство.

По теореме Саккери-Лежандра . Если предположить,

что , то окажется справедливым пятый постулат, что

противоречит аксиоме Лобачевского.

Упражнение 2.

Доказать, что сумма углов выпуклого четырехугольника меньше .

Теорема.

Сумма углов треугольника непостоянна.

Определение 1. Величина называется дефектом треугольника .

Теорема. Через точку в плоскости проходит бесчисленное

множество прямых, не пересекающих прямую .

Упражнение 3.

Доказать, что два перпендикуляра к прямой не пересекаются.

Определение 2. Прямые , обладающие свойствами:

1) не пересекают прямую ,

2) все прямые пучка с центром в , проходящие внутри одной пары

вертикальных углов, образованными прямыми

пересекают , а проходящие внутри другой не пересекают ,

называются параллельными прямой

Определение 3. Прямые называются расходящимися, если они не пересекаются и не параллельны.

На плоскости Лобачевского различают три пучка прямых:

1) эллиптический – прямые пересекаются в точке,

2) параболический – прямые параллельные в данном направлении,

3)гиперболический – прямые ортогональные данной прямой ( расходящиеся

прямые).

Замечание.

В 1862 году Бельтрами показал, что "кусок" плоскости Лобачевского

можно реализовать на поверхности постоянной отрицательной гауссовой

кривизны, называемой псевдосферой. Это поверхность вращения

трактрисы вокруг оси.

Псевдосфера Бельтрами Задачи

1. Доказать, что если внутренняя точка отрезка , то .

2. Дефект , .

так, что . Доказать, что и не пересекаются.

3. На стороне острого угла отложены равные отрезки

и через проведены прямые перпендикулярные .

Пусть пересекают в точках . Доказать, что если , то .