3.1. Общие положения

Системы уравнений появляются почти в каждой области прикладной математики. В некоторых случаях эти системы уравнений непосредственно составляют ту задачу, которую необходимо решать, в других случаях задача сводится к такой системе.

Пусть дана система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

Она может быть представлена и в матричной форме:

Аx=b,

где A – матрица коэффициентов, b – столбец свободных членов, а x – вектор неизвестных.

Решить систему – значит найти вектор неизвестных, т.е. найти такой набор неизвестных, при котором все уравнения системы обращаются в верные равенства. Графически решением системы линейных алгебраических уравнений будут координаты точки пересечения прямых (в случае системы, состоящей из двух уравнений с двумя неизвестными), плоскостей (три уравнения с тремя неизвестными) или гиперплоскостей (в случае четырех или более уравнений и переменных).

Чтобы система имела единственное решение, входящие в нее уравнения должны быть линейно-независимыми, т.е. определитель этой системы не должен быть равен нулю.

Классификация методов решения СЛАУ

Применяемые в настоящее время методы решения систем линейных алгебраических уравнений можно разбить на две группы: прямые и итерационные:

- прямыми методами называют такие методы, которые позволяют получить решение системы за конечное количество шагов. Если вычисления ведутся точно (без округлений), прямые методы приводят к точным значением неизвестных. Но, т.к. на практике все вычисления чаще всего ведутся с округлениями, то и значения неизвестных, полученные такими методами, неизбежно будут содержать погрешности. К данной группе методов относятся: метод Гаусса, метод квадратных корней, метод Крамера и др.

- итерационными методами называют такие методы, в которых точное решение можно получить только в результате бесконечного процесса. В связи с тем, что реализовать бесконечный процесс на практике невозможно, итерационные методы позволяют получить решение системы лишь с заданной точностью. К итерационным методам относятся: метод простых итераций, метод Зейделя и др.

В случаях, когда коэффициенты двух (или более) уравнений отличаются незначительно, итерационные методы позволяют получить более точное решение, чем прямые методы (см. рис. 3.1).

Предположим, (х₁^*, х₂^*) – точное решение системы. С помощью прямых методов будет получено приближенное решение , которое значительно отличается от точного решения. Итерационные же методы будут продолжать поиск до достижения необходимой точности.