4.5. Численное интегрирование. Квадратурная формула Ньютона-Котеса.
Если функция 
непрерывна на отрезке 
и известна ее первообразная 
, то определенный интеграл от этой функции в пределах от 
до 
может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:
(16)
где 
.
не может быть найдена с помощью элементарных средств или является слишком сложной; вследствие этого вычисление определенного интеграла по формуле (16) может быть затруднено или даже практически невыполнимо. Поэтому, важное значение приобретают численные методы вычисления определенных интегралов, использующие ряд значений подынтегральной функции в точках 
. Вычисление однократного интеграла называется механической квадратурой, двойного - механической кубатурой. Соответствующие формулы будем называть квадратурными и кубатурными формулами.
Рассмотрим способы вычисления однократных интегралов.
Если воспользоваться интерполяционным полиномом Лагранжа, то, заменяя функцию полиномом 
, получим равенство
(17)
где 
- ошибка этой квадратурной формулы.
Пусть требуется вычислить интеграл 
, где 
. Выбрав шаг 
, разобьем отрезок 
на 
равных частей с помощью равноотстоящих точек 
, 
, 
, 
. Заменим подынтегральную функцию интерполяционным полиномом Лагранжа 
и получим приближенную квадратурную формулу
(18)
Выведем явные выражения для коэффициентов 
формулы (18). Многочлен Лагранжа 
имеет коэффициенты
, 
.
Вводим обозначения 
и 
и с учетом этих обозначений многочлен Лагранжа запишем в виде:
(19)
Заменяя в формуле (18) функцию 
полиномом в виде (19), получим:
,
где 
.
Так как и 
, то сделав замену переменных в определенном интеграле, будем иметь:
, 
.
Так как , то можно записать коэффициенты Котеса:
, 
(20)
Квадратурная формула при этом принимает вид:
(21)
Рассмотрим частные случаи.
По формуле (20) при 
вычислим:
, 
.
Полученная формула является формулой трапеций для приближенного вычисления определенного интеграла (Рис.10).
По формуле (20) при 
вычислим:
;
.
Следовательно, так как 
, то квадратурная формула для вычисления интеграла имеет вид
.
 |  | ||
Эта формула является формулой Симпсона. Геометрическая интерпретация формулы состоит в том, что происходит замена данной кривой 
параболой 
, проходящей через три точки 
(Рис.11).