8.5. Метод Канторовича

Метод Канторовича займає проміжну позицію між точним методом побудови розв'язку і методом Ритца. У процесі застосування методу Канторовича розв'язок також розшукують у вигляді (8.15), але замість невизначених сталих записують функції однієї невідомої змінної, а саме

, (8.28)

або

.

Метод Канторовича має більшу точність побудови наближених розв'язків, ніж метод Ритца. Це пояснюється тим, що клас функцій (8.28) – (8.29) ширше класу функцій (8.15). Тому, серед функцій (8.28) - (8.29) можна краще підібрати функції, які апроксимують розв'язок варіаційної задачі, ніж серед функцій (8.15)

Розглянемо функціонал (2.15)

, (8.30)

де область обмежена прямими , та двома кривими . Наближене рівняння екстремалі функціонала (8.30) розшукуємо у вигляді (8.28), вибираючи функції таким чином, щоб вони оберталися в нуль на границі області за винятком, можливо, прямих .

Підставимо розв'язок (8.28) у функціонал (8.30)

. (8.31)

Зінтергуємо функцію у функціоналі (8.31) за , тоді функціонал (8.31) набере вигляду:

.

Функції підбираються так, щоб функціонал (8.32) досягав екстремуму, а для цього, як відомо, потрібно застосувати необхідні умови екстремуму (2.7)

Довільні сталі при цьому вибираються так, щоб виконувалися граничні умови на прямих .

Більш детально познайомитися з методом Канторовича можна в монографії [3].

Приклад 8.3. До задачі прикладу 8.2 застосувати метод Канторовича. Знайти наближений розв'язок . Отриманий розв'язок порівняти з розв'язками, прикладу 8.2

Розв'язання. Функціонал для задачі Пуассона (-1;1), (Г – конур прямокутника), має вигляд:

.

Наближений розв'язок розшукуємо у вигляді

. (8.33)

Функція задовольняє дві з чотирьох граничних умов, а саме .

Підставимо функцію (8.33) в функціонал даної задачі і інтригуємо отриманий вираз по . Маємо:

.

Останній функціонал є функціоналом від функції однієї незалежної змінної. Для заходження екстремалі цього функціонала запишемо рівняння Ейлера (2.2) і знайдемо його розв'язок:

,

.

Для знаходження сталих на функцію накладемо додаткові умови , які забезпечують виконання граничних умов запропонованої задачі на вертикальних прямих . Маємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження і :

Звідки

і .

Обчислимо значення функції у внутрішніх точках області. Результати запишемо в табл. 8.5.

Таблиця. 8.5.

	0	0,5	1	1,5
0	0,4577	0,4138	0,3930	0,2716
0,5	0,3433	0,3329	0,2947	0,2037

Дані таблиць (8.2) - (8.4) і (8.5) свідчать про те що розв'язок , отриманий за методом Кантаровича практично збігається з розв'язком , отриманий за методом Ритца. Метод Канторовича досить часто називають методом звичайних диференціальних рівнянь.