Формула Бернулли
Обратим еще раз внимание, что формула имеет место в рамках схемы Бернулли: серия независимых испытаний с постоянной вероятностью успеха p.
Доказательство формулы Бернулли можно представить так: пусть в серии из n независимых испытаний интересующее нас событие A произошло ровно m раз. В силу независимости испытаний, можем найти вероятность как произведение вероятностей:
Расположить испытания, закончившиеся успехом, можем способами, что и дает нам формулу вероятности m успехов при n испытаниях.
Вышеприведенный слайд демонстрирует подсчет вероятностей для различных формулировок задач.
Для каждого числа успехов m при n испытаниях мы можем подсчитать свою вероятность.
Если изобразим на плоскости, то получим так называемый многоугольник вероятности. Выделим наибольшую вероятность. Число успехов, которому она соответствует, будем называть наивероятнейшим числом успехов (в схеме Бернулли).
Мы можем оценить это наивероятнейшее число, исходя из простого условия: максимум в этой точке достигается при условии, что отношение максимальной вероятности к вероятностям в соседних точках должно быть больше 1:
Подставим вместо вероятностей их выражение по формуле Бернулли, произведем очевидные сокращения и воспользуемся тем, что p+1=1. Получим неравенство, определяющее наивероятнейшее число успехов: