Важнейшие свойства характеров

a. В первую очередь отметим три следующих свойства характеров:

1) χ(1) = 1.

2) χ(a₁a₂) = χ(a₁)χ(a₂).

3) Из а₁ ? а₂(mod m) следует χ(a₁) = χ(a₂).

Доказательство: свойство 1) найдем из (1), п. 1, положив a = 1. При (a₁a₂, m) = 1 равенство 2) следует из (1), п. 1 и теоремы с, п. 7, глава VI, а при (a₁a₂, m) > 1 оно обращается в тождество 0 = 0. Наконец, свойство 3) является следствием определения системы индексов, данного в п. 7, главы VI.

b.

Теорема 1:

Число различных характеров по модулю m равно φ(m).

Доказательство: Указанным в а, п. 1 способом получим cc₀c₁...c_k характеров. При этом при φ(m) > 1 у каких-либо двух из них, пусть у χ'(a) и χ"(a), будут различны значения R' и R" по меньшей мере одного из корней R, R₀, R₁, …, R_k. Для числа a, у которого все индексы равны нулю, кроме лишь одного, отвечающего этим R' и R", равного 1, будем иметь χ'(a) = R' и χ"(a) = R". Поэтому характеры χ'(a) и χ"(a) различны и наше утверждение верно.

c.

Теорема 2:

Имеем

Доказательство: Применяя формулу (1), п. 1, находим

,

где γ, γ₀, γ₁, …, γ_k пробегают наименьшие неотрицательные вычеты по модулям c, c₀, c₁, ..., c_k.

Если χ(a) - главный характер, то правая часть равна cc₀c₁...c_k = φ(m). Если же χ(a) - не главный характер, то по меньшей мере один из корней R, R₀, R₁, ..., R_k не равен 1 и соответствующая ему сумма правой части равна нулю.

d.

Теорема 3:

Распространяя суммирование на все φ(m) различных характеров, имеем

Доказательство: Теорема верна при (a, m) > 1, так как в этом случае имеем χ(a) = 0. Теорема верна и при a ? 1(mod m), т.е. в случае γ = γ₀ = γ₁ = … = γ_k = 0; это следует из 1), а, п. 2 и b, п. 2. Остается рассмотреть лишь случай (a, m) = 1, но при условии, что a не сравнимо с 1 по модулю m, т. е. при условии, что среди чисел γ, γ₀, γ₁, …, γ_k имеется по меньшей мере одно γ', не равное нулю. Но из (1), п. 1 следует равенство

,

которое и доказывает теорему, так как среди сомножителей его правой части имеется сумма, отвечающая указанному γ', равная нулю.

e. Характеры по модулю m обладают следующими свойствами:

1) Если χ₀(a) и χ(a) - характеры, χ₀(a)χ(a) - также характер.

2) Если χ₀(a) - характер и χ(a) пробегает все характеры, то χ₀(a)χ(a) также пробегает все характеры.

3) При (l, m) = 1 имеем

Доказательство: Пусть R', R'₀, R'₁, ..., R'_k и R, R₀, R₁, ..., R_k - значения корней, входящих в определение характеров χ₀(a) и χ(a). Тогда χ₀(a)χ(a) - характер, у которого соответствующими значениями корней являются R'R, R'₀R₀, R'₁R₁, …, R'_kR_k. При этом, если каждое R, R₀, R₁, ..., R_k пробегает все свои значения, то и каждое R'R, R'₀R₀, R'₁R₁, …, R'_kR_k в некотором порядке пробегает те же самые значения.

Далее, найдя l' из условия ll' ? 1(mod m), выводим

Свойство 3) также установлено.

f. Характером по модулю т является всякая функция ψ(a), определенная для всех целых a и удовлетворяющая условиям:

1) ψ(a) = 0, если (a, m) > 1,

2) ψ(a) не равна тождественно нулю,

3) ψ(a₁a₂) = ψ(a₁)ψ(a₂),

4) ψ(a₁) = ψ(a₂), если a₁ ? a₂(mod m).

Доказательство: Согласно 2) существует такое a₀, для которого ψ(а₀) не равно нулю. Из a₀ = a₀∙1 согласно 3) находим ψ(a₀) = ψ(a₀)∙ψ(1). Отсюда, разделив почленно на ψ(a₀), получим ψ(1) = 1.

Пусть a - любое число с условием (a, m) = 1. Определив a' сравнением аа' ? 1(mod m), согласно 3) имеем ψ(а)∙ψ(а') = 1. Отсюда следует, что ψ(а) не равно нулю.

Заставляя a пробегать приведенную систему вычетов по модулю m, а χ пробегать все φ(m) различных характеров, рассмотрим сумму

.

Замечая (d), что U_а = φ(m) при a ? 1(mod m) и U_a = 0 в противном случае, получим Н = φ(m), откуда, представляя H в виде

,

убедимся в существовании по меньшей мере одного χ = χ₀ с V_x, не равным нулю. При этом при каждом a₁ с условием (a₁, m) = 1 будем иметь

;

отсюда и из 1) следует, что функция ψ(a₁) для каждого a₁ совпадает с характером χ₀(a₁).

Пример: Построим все φ(5) = 4 характеров по модулю 5 (для каждого характера выписываем значения, отвечающие числам полной системы вычетов по модулю 5).

,

,

,

.

А таблица индексов по модулю 5 (с основанием 2) будет

Поэтому таблица значений характеров, отвечающих корням ρ₀, ρ₁, ρ₂, ρ₃, будет

Пример: Укажем все φ(21) = 2∙6 =12 характеров по модулю 21. Здесь корень уравнения имеет 2 значения: ; s = 0, 1, а корень уравнения имеет 6 значений: ; s = 0, …, 5. При этом характер, отвечающий какой-либо из 12 пар значений и , будет (пример, e, п.

N	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
χ	1		0	1		0	0	1	0	1
N	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
χ		0	1	0	0	1		0	1

Здесь значение характера, отвечающее какому-либо числу N, взаимно простому с 21, получаются перемножением степеней чисел и , помещенных ниже этого числа N.