Наименьшее общее кратное

Всякое целое, кратное всех данных чисел, называется их общим кратным. Наименьшее положительное общее кратное называется наименьшим общим кратным. Здесь мы будем рассматривать только общие кратные двух положительных чисел.

Пусть (a, b) = d, a = da₁, b = db₁ и, следовательно (п. 2, Теорема 6), (а₁, b₁) = 1. Пусть М - какое-либо общее кратное чисел а и b. Так как М кратно a, то M = ak, где k - целое. Но М кратно и b. Поэтому

должно быть целым и, следовательно (п. 2, Теорема 8), k должно делиться на b₁. Поэтому k = b₁t, где t - целое, причем для М получается формула

. (1)

Обратно, очевидно, что М, представляемое формулой (1) при любом целом t, будет общим кратным a и b, и, таким образом, формула (1) дает общий вид всех общих кратных чисел а и b.

Наименьшее положительное из этих общих кратных, т. е. наименьшее общее кратное, получаем при t = 1. Оно будет

. (2)

Теперь формулу (1) можно переписать так:

M = mt. (3)

Формулы (3) и (2) приводят к теоремам.

Теорема 1: Совокупность общих кратных двух чисел совпадает с совокупностью кратных их наименьшего общего кратного.

Теорема 2: Это наименьшее общее кратное двух чисел равно их произведению, деленному на их наибольший общий делитель. 4